Добавил:
baraevaliza
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ИДЗ 2025 / Бараева Елизавета 2383 ИДЗ 1
.pdf
Студентка: Бараева Елизавета
Группа: 2383
Вариант: 3
Дата: 17 марта 2025 г.
Элементы функционального анализа
Индивидуальное домашнее задание №1
Задание 1. В условии задано 6 вершин многогранника W: vk, k = 1, ..., 6, в первом квадранте многогранник симметричен относительно всех координатных плоскостей, поэтому если точка (x, y, z) является вершиной, то точка (±x, ±y, ±z)
также является вершиной. Требуется вычислить норму, которую задает многогранник W для точек a, b и a + b, а также проверить для них неравенство
треугольника.
Вершины многогранника в первом квадрате:
(5, 3, 0), (9, 0, 9), (0, 3, 7),
171
, 0, 0,
14
0,
543
146
, 0,
0, 0,
153
.
10
Требуется вычислить норму, индуцированную многогранником W , для точек:
a = (6, −5, 9), b = (−9, 7, 5), a + b = (−3, 2, 14).
Решение. Нормой в линейном пространстве X называется любая функция, отобра-
жающая пространство X в множество вещественных неотрицательных чисел x →
∥x∥ такая, что:
(1) Для любого x ∈ X и для любого k ∈ X выполнено равенство ∥kx∥ = |k|∥x∥
(2) Для любого x, y ∈ X справедливо неравенство ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥
(3) Для любого x ∈ X справедливо неравенство ∥x∥ ≥ 0, причем равенство ∥x∥ =
0 возможно только для x = 0
Пусть W - выпуклое множество в линейном пространстве X. 0 является его внутренней точкой и точкой симметрии, и для любого x ∈ X, x = 0 существует положительное число k такое, что
x
∈ W , тогда Нормой Минковского, порожденной
k
множеством W называется:
o
∥x∥ = infnλ :
x
∈ W, λ > 0
λ
Теорема Минковского
Если W - множество описанное выше, то выражение ∥x∥ = infλ :
x
∈ W, λ > 0
λ
задает норму в пространстве X.
Единичный шар в линейном нормированном пространстве является выпуклым
ограниченным множеством и 0 является его внутренней точкой.
У многогранника W всего 18 вершин. Точка (0, 0, 0) выступает центром симметрии для W . Более того, он симметричен относительно координатных плоскостей,
следовательно:
∥(x, y, z)∥ = ∥(±x, ±y, ±z)∥.
1
Далее запишем все точки:
Точка x y z
v1 5 3 0
v2 9 0 9
v3 0 3 7
v4
v5 0
v6 0 0
171
14
0 0
543
146
153
v7 -5 3 0
v8 -9 0 9
v9 −
171
14
0 0
0
10
Точка x y z
v10 5 -3 0
v11 0 -3 7
v12 0 −
v13 9 0 -9
v14 0 3 -7
v15 0 0 −
v16 -5 -3 0
v17 -9 0 -9
v18 0 -3 -7
Таблица 1. Координаты точек
Грани для квадрантов задаются следующим образом:
Квадрант Грань Точка 1 Точка 2 Точка 3
543
146
0
153
10
1 1 1 2 3
1 2 1 2 4
1 3 1 3 5
1 4 2 3 6
4 5 2 4 10
4 6 2 6 11
4 7 2 10 11
4 8 10 11 12
8 9 4 10 13
8 10 10 12 18
8 11 10 13 18
8 12 13 15 18
5 13 1 4 13
5 14 1 5 14
5 15 1 13 14
5 16 13 14 15
2
Квадрант Грань Точка 1 Точка 2 Точка 3
2 17 3 5 7
2 18 3 7 8
2 19 3 6 8
2 20 7 8 9
3 21 6 8 11
3 22 8 11 16
3 23 8 9 16
3 24 11 12 16
7 25 9 16 17
7 26 12 16 18
7 27 15 17 18
7 28 16 17 18
6 29 5 7 14
6 30 7 9 17
6 31 7 14 17
6 32 14 15 17
Таблица 2. Список граней в квадрантах
Для построения плоскости P (x, y, z) = Ax + By + Cz + D необходимо вычислить
нормаль N = (A,B,C ) по формуле:
N = (v2− v1) × (v3− v1)
D = −N · v
1
Проверим, что все нормали внешние, т.е. выполняется P (x,y,z) ≤ 0 для всех точек. Так как все числа в таблицах удовлетворяют этому условию, следовательно, W
является выпуклым.
3
Точка v
1
v
2
v
3
Грань 1 0 0 0 −
Грань 2 0 0 −
Грань 3 0 −
Грань 4 −
Грань 5 −
Грань 6 −
189
2
2727
7
5427
10
105
2
0 0 −
0 −
0 −
135
2
0 −
6399
14
2241
5
−
Грань 7 −438 0 −438 −
−
105
2
1215
7
17115
146
−210 −
8289
−
14
19005
−
73
−
Грань 8 −210 −
Грань 9 −
2727
7
Грань 10 −210 −
Грань 11 −438 −270 −648 −
Грань 12 −
5427
10
−486 −
Грань 13 0 −
Грань 14 0 −
1215
7
17115
146
−
−
4131
5
405
2
3675
73
−
−
Грань 15 0 −270 −210 −
Грань 16 −
Грань 17 −
189
2
3675
73
−486 −378 −
20895
−
146
0 −
Грань 18 −210 −378 0 −
Грань 19 −
567
2
Грань 20 −270 −486 −
Грань 21 −
7317
10
−
−
1701
5
1701
5
0 −
135
2
2241
−
5
−
−
Грань 22 −648 −378 −438 −
Грань 23 −
Грань 24 −
Грань 25 −
Грань 26 −
Грань 27 −
4617
7
19005
73
4617
7
19005
73
7317
10
−486 −
20895
−
146
4617
−
7
30345
−
146
4131
−
5
6399
14
−210 −
8289
−
14
19005
−
73
4131
−
5
−
−
−
−
Грань 28 −648 −648 −648 −
Грань 29 −
3675
73
Грань 30 −270 −
−
30345
146
4617
7
−
−
3675
73
405
2
−
−
Грань 31 −210 −648 −210 −
Грань 32 −
567
2
−
4131
5
−378 −
v
4
135
2
0 −
20055
292
729
4
0 −
729
4
135
2
20055
292
0 −
20055
292
135
2
729
4
0 −
20055
292
135
2
729
4
55965
292
1161
2
12879
20
4617
7
12879
20
1161
2
4617
7
55965
292
4617
7
55965
292
12879
20
1161
2
55965
292
4617
7
1161
2
12879
20
v
−
25785
0 −
39501
−
1167669
2044
1008747
−
1460
1191
−
19005
−
1167669
2044
19005
−
1191
−
1008747
−
1460
25785
0 −
−
39501
−
0 −
−
39501
−
25785
−
1008747
−
1460
1191
−
1167669
−
2044
19005
−
1167669
−
2044
19005
−
1008747
−
1460
1191
−
0 −
25785
−
−
39501
−
5
105
2
292
292
2
73
73
2
292
105
2
292
105
2
292
292
2
73
73
2
292
105
2
292
v
6
189
−
2
729
−
4
21945
292
0 −
729
−
4
0 −
189
−
2
21945
−
292
13365
−
28
54075
−
292
1107
−
2
4131
−
5
13365
−
28
54075
292
1107
−
2
4131
−
5
21945
292
189
−
2
0 −
729
−
4
0 −
189
−
2
729
−
4
21945
−
292
13365
−
28
54075
−
292
4131
−
5
1107
−
2
54075
292
13365
−
28
1107
−
2
4131
−
5
v
7
v
8
−210 −378 −
−270 −486 −
−
−
3675
73
567
2
4617
7
7317
10
20895
−
146
1701
−
5
−486 −
1701
−
5
−648 −378 −
−
−
−
19005
73
4617
7
19005
73
−
−
−
20895
146
4617
7
30345
146
−648 −648 −
7317
−
10
−270 −
3675
−
73
−
−
4131
5
4617
7
30345
146
−210 −648 −
567
−
2
0 −
−
4131
5
105
2
0 0 −
189
2
0 −
0 0 0
5427
10
0 −
−438 0 −
2727
−
7
−210 −
2727
−
7
−210 −
5427
−
10
0 0
105
2
1215
−
7
17115
146
−486 −
−438 −270 −
0 −
0 −
17115
146
1215
7
0 −270 −
189
−
2
−486 −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
v
9
1161
2
4617
7
55965
292
12879
20
4617
7
12879
20
1161
2
55965
292
4617
7
55965
292
1161
2
12879
20
4617
7
55965
292
1161
2
12879
20
20055
292
135
2
729
4
729
4
135
2
20055
292
0
20055
292
729
4
135
2
20055
292
0
135
2
729
4
Таблица 3. Таблица точек и граней
4
Точка v
10
Грань 1 −438 −438 −
Грань 2 −
2727
7
Грань 3 −210 −210 −
Грань 4 −
5427
10
Грань 5 0 −
Грань 6 −
189
2
Грань 7 0 0 −
v
11
6399
−
14
2241
−
5
135
2
0 −
−
−
−
v
12
1191
2
1167669
2044
19005
73
1008747
1460
25785
292
39501
292
105
2
Грань 8 0 0 0 −
Грань 9 0 −
Грань 10 0 −
405
2
3675
73
Грань 11 0 −210 −
Грань 12 −
Грань 13 −
Грань 14 −210 −
189
2
2727
7
−378 −
8289
−
14
19005
73
Грань 15 −438 −648 −
Грань 16 −
Грань 17 −
5427
10
19005
73
4131
−
5
−210 −
Грань 18 −648 −438 −
Грань 19 −
Грань 20 −
Грань 21 −
7317
10
4617
7
567
2
2241
−
5
6399
−
14
0 −
Грань 22 −210 0 −
Грань 23 −270 −
Грань 24 −
3675
73
Грань 25 −270 −
Грань 26 −
Грань 27 −
3675
73
567
2
135
2
0 0 −
405
2
3675
−
73
−378 −
Грань 28 −210 −210 −
Грань 29 −
Грань 30 −
19005
73
4617
7
−
−
19005
73
8289
14
Грань 31 −648 −648 −
Грань 32 −
7317
10
−
4131
5
25785
−
292
0 −
105
39501
292
1167669
−
2044
19005
−
73
1191
1008747
−
1460
19005
73
1191
1008747
−
1460
1167669
−
2044
39501
292
105
25785
−
292
25785
−
292
0 −
39501
292
105
19005
−
73
1167669
−
2044
1191
1008747
−
1460
2
2
2
2
2
2
v
13
−270 −210 −
1215
−
7
17115
−
146
−486 −378 −
1215
−
7
−486 −
−270 −648 −
17115
146
0 −
105
2
0 −438 −
0 −
0 −
105
−
2
0 0 −
v
14
405
−
2
3675
−
73
8289
−
14
4131
5
19005
−
73
6399
14
−210 −
2241
5
135
2
0 −
v
15
1107
2
13365
−
28
54075
−
292
4131
5
13365
−
28
4131
−
5
1107
2
54075
−
292
729
−
4
21945
292
189
2
0 −
729
−
4
21945
292
189
2
0 0 0 −
30345
−
146
−648 −210 −
4131
−
5
4617
−
7
4131
−
5
−648 −648 −
4617
−
7
30345
146
−486 −
20895
146
1701
−
5
−378 −438 −
20895
−
146
−486 −
−378 0 −
1701
−
5
3675
−
73
−378 −
405
−
2
4131
−
5
8289
−
14
19005
−
73
6399
14
−210 −
2241
−
5
0 −
135
2
54075
−
292
1107
2
4131
5
13365
−
28
4131
−
5
1107
2
13365
−
28
54075
−
292
729
−
4
21945
292
0 −
189
2
21945
292
729
−
4
189
2
0 0 −
v
16
v
17
v
18
−648 −648 −648
4617
−
7
19005
−
73
7317
−
10
−270 −
567
−
2
−
−
−
−
4617
7
30345
146
4131
5
4617
7
4131
5
8289
−
19005
−
4131
−
405
−
−378
−210 −648 −210
3675
−
73
−270 −486 −
3675
−
73
−
−
30345
146
20895
146
−
3675
135
0
−210 −378 0
−
−
567
2
4617
7
19005
73
1701
−
5
−486 −
20895
−
146
0
6399
−210
−648 −378 −438
7317
10
−210 −
−
1701
5
17115
146
−
−
2241
19005
−438 −270 −648
−
−
−
5427
10
2727
7
189
2
−486 −
1215
−
7
−486 −378
−
4131
8289
0 −270 −210
0 −
0 −
1215
7
17115
146
0 0 −
0 −
189
2
105
2
0 0
−
−
405
3675
135
0
0 0 0
−210 −
2727
−
7
105
−210
2
0 −
6399
−438 0 −438
5427
10
0 −
2241
14
73
5
2
73
2
14
5
73
5
14
2
73
2
14
5
Таблица 4. Таблица точек и граней
5
Для построения нормы определим в каком конусе грани расположена точка, после
чего рассмотрим эту точку в базисе конуса:
x = α1v1+ α2v2+ α3v
3
Точка лежит в конусе грани, тогда и только тогда, когда αi≥ 0, i = 1, 2, 3, а если
еще α1+ α2+ α3= 1, тогда точка лежит на грани.
Если точка лежит в конусе грани, то норма x определяется по формуле:
∥x∥ = α1+ α2+ α
3
Будем использовать биортогональный базис:
u
w1: u1= v2× v3, w1=
1
⟨u1, v1⟩
⟨w1, v1⟩ = 1, ⟨w1, v2⟩ = 0, ⟨w1, v3⟩ = 0, ⟨x, w1⟩ = α
1
Аналогично определим w2, w3.
Т.к. W симметричен, то можно искать нормы в первом квадранте.
Рассчитаем биортогональные базисы для граней первого октанта:
Вектор x y z
w1
w2
w3 −
1
12
7
108
12536
1
7
36
35
−
3245108
−
1
12
1
12
Таблица 5. Базис грани (1, 2, 3)
Вектор x y z
−
1
3
70
513
−
0
1
9
14
171
w1 0
w2 0 0
w3
14
171
Таблица 6. Базис грани (1, 2, 4)
Вектор x y z
w1
w2 0 0
w3 −
1
5
146
905
0 0
146
−
543
1
7
146
1267
Таблица 7. Базис грани (1, 3, 5)
6
Вектор x y z
w1
w2 0
w3 −
1
9
10
153
0 0
1
3
70
−
45910153
0
Таблица 8. Базис грани (2, 3, 6)
Рассмотрим вектор a = (6, −5, 9) его координаты рассмотрим по модулю a′=
(6, 5, 9), чтобы рассматривать только первый квадрант. Найдем его координаты в
биортогональном базисе:
(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 3, 5) (2, 3, 6)
α
α
α
13
1
18
43
2
162
17
3
18
−
5
3
1
476
513
−
6
5
9
7
12556
19005
−
2
3
5
3
260
459
Таблица 9. Координаты точки на всех гранях
Следовательно точка a лежит в конусе грани (1, 2, 3).
313
∥a∥ = α1+ α2+ α3=
162
Рассмотрим вектор b = (−9, 7, 5) его координаты рассмотрим по модулю b′=
(9, 7, 5), чтобы рассматривать только первый квадрант. Найдем его координаты в
биортогональном базисе:
(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 3, 5) (2, 3, 6)
α
α
α
61
1
36
19
2
324
23
3
36
−
7
3
5
9
322
513
−
9
5
5
7
2774
19005
−
1
7
3
610
459
Таблица 10. Координаты точки на всех гранях
Следовательно точка b лежит в конусе грани (1, 2, 3).
775
∥b∥ = α1+ α2+ α3=
324
Рассмотрим вектор a + b = (−3, 2, 14) его координаты рассмотрим по модулю
(a + b)′= (3, 2, 14), чтобы рассматривать только первый квадрант. Найдем его коор-
динаты в биортогональном базисе:
7
(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 3, 5) (2, 3, 6)
α
1
α
2
α
3
−
19
36
203
324
43
36
−
14
2
3
9
602
513
−
3
5
2
4234
2715
1
3
2
3
190
459
Таблица 11. Координаты точки на всех гранях
Следовательно точка a + b лежит в конусе грани (2, 3, 6).
649
∥a + b∥ = α1+ α2+ α3=
459
Проверим неравенство треугольника:
∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥
649
459
≤
313
162
775
+
324
Неравенство треугольника выполнено. □
8
Соседние файлы в папке ИДЗ 2025