Добавил:
baraevaliza
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ИДЗ 2025 / idz_4
.tex\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, subcaption}
\usepackage{array}
\usepackage{geometry}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{bbm}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
\usepackage{icomma}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{bigints}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\begin{document}
\begin{tabbing}
\hspace{10cm} \= Студентка: \= Бараева Елизавета \\
\> Группа: \> 2383 \\
\> Вариант: \> 3 \\
\> Дата: \> \today
\end{tabbing}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\newtheorem{problem}{Задание}
\newcommand{\problemset}[1]{
\begin{center}
\Large #1
\end{center}
}
\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
\problemset{Элементы функционального анализа}
\problemset{Индивидуальное домашнее задание №4} % поменяйте номер ИДЗ
\vspace{0.2cm}
\renewcommand*{\proofname}{Решение}
\begin{problem}
Заданы вершины многогранника в $\mathbb{R}^3$:
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Вершина & x & y & z & Нормали \\
\hline
$v_1$ & 13 & 11 & 1 & 1, 4, 5, 8 \\
\hline
$v_2$ & 2 & 7 & 1 & 1, 2, 5, 6 \\
\hline
$v_3$ & 1 & -1 & 1 & 2, 3, 6, 7 \\
\hline
$v_4$ & 12 & 3 & 1 & 3, 4, 7, 8 \\
\hline
$v_5$ & 7 & 5 & 5 & 1, 2, 3, 4 \\
\hline
$v_6$ & 7 & 5 & -1 & 5, 6, 7, 8 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
Линейный функционал $h$ задан вектором:
\[ h = (h_1, h_2, h_3) = (21, 17, 36) \]
Дан список номеров вершин, образующих грани:
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|@{\hspace{0.7cm}}c@{\hspace{0.7cm}}|@{\hspace{0.7cm}}c@{\hspace{0.7cm}}|@{\hspace{0.7cm}}c@{\hspace{0.7cm}}|}
\hline
Грань & \multicolumn{2}{c}{Номера вершин} & \\
\hline
\textbf{1} & 1 & 2 & 5 \\
\hline
\textbf{2} & 2 & 3 & 5 \\
\hline
\textbf{3} & 3 & 4 & 5 \\
\hline
\textbf{4} & 4 & 1 & 5 \\
\hline
\textbf{5} & 1 & 2 & 6 \\
\hline
\textbf{6} & 2 & 3 & 6 \\
\hline
\textbf{7} & 3 & 4 & 6 \\
\hline
\textbf{8} & 4 & 1 & 6 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
Необходимо:
\begin{enumerate}
\item Сформировать список внешних нормалей к граням.
\item Каждый конус вершины разрезать на трехгранные конуса, (найти пару нормалей, плоскость которых разделяет две другие нормали), сформировать 12 трехгранных конусов.
\item Для каждого базиса трехгранного конуса сформировать биортогональный базис. Найти координаты вектора h в каждом базисе и определить, в какой вершине многогранника достигается максимум и минимум линейного функционала $h$.
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{proof}
Многогранник $M$ задается как выпуклая оболочка вершин $\{v_1, \dots, v_6\}$ и может быть представлен как пересечение полупространств:
\[ M = \bigcap_{j=1}^N \left\{ x \in \mathbb{R}^3 \mid f_j(x) \leq c_j \right\}, \]
где $f_j(x) = \bar{n}_j \cdot x$ — линейные функционалы, определяемые внешними нормалями $\bar{n}_j$ к граням
многогранника, а $c_j$ — константы. \medskip
\textbf{Определение.}
Говорят, что множества $M$ и $N$, лежащие в банаховом пространстве $X$, отделены функционалом $f \in X^*$, если для любых $x \in M$ и $y \in N$ выполнено неравенство $f(x) < f(y)$. \medskip
\textbf{Теорема об отделимости выпуклых множеств.}
Если $M$ и $N$ — выпуклые открытые множества в банаховом пространстве $X$, не имеющие общих точек, то существует функционал $f \in X^*$, который их разделяет. \medskip
\textbf{Теорема об отделимости групп множеств.}
Пусть $X$ — банахово пространство, $V_0, \dots, V_n$ — открытые выпуклые подмножества $X$, такие что
\[ \bigcap_{k=0}^{n} V_k = \varnothing. \]
Тогда существуют открытые полупространства $D_0, \dots, D_n$, такие что
\[ V_k \subset D_k, \quad k = 0, \dots, n-1, \quad V_n \subset D_n, \quad \bigcap_{k=0}^{n} D_k = \varnothing. \]
\textbf{Теорема о линейной зависимости функционалов.}
Пусть $g$, $ f_1, \dots, f_n \in X^* $, $c_k \in \mathbb{R}$, $ D_k = \{ x \in X: f_k(x) < c_k \} $. Если
\[ \bigcap_{k=1}^{n} D_k \neq \varnothing, \quad g \in X^* \enspace \text{и} \enspace g(x) \geqslant 0 \enspace \text{при} \enspace x \in \bigcap_{k=1}^{n} D_k, \]
то существуют неотрицательные числа $\lambda_k$, такие что
\[ g + \sum_{k=1}^{n} \lambda_k f_k = 0. \]
Предположим, что $g$, $ f_1, \dots, f_n \in X^* $. Если $g(x) = 0$ для всех $x \in \bigcap_{k=1}^{n} \ker f_k$, то существуют
вещественные числа $\alpha_k$, такие что
\[ g = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k f_k. \]
\textbf{Задача линейной оптимизации.}
Пусть в банаховом пространстве X задан многоугольник
\[ A = \bigcap_{j=1}^{n} \{ x: f_j(x) < e_j \}, \]
где $f_j \in X^* $, $e_j \in \mathbb{R}$ и сдвинутое линейное многообразие
\[ Y = \{ y: g_k(y) = d_k \}, \quad g_k \in X^*, \quad g_k \in \mathbb{R}, \quad k = 1, \dots, m. \]
Требуется найти максимум функционала $h \in X^* $ на $A \cap Y$. \medskip
\textbf{Решение задачи линейного программирования.}
Элемент $ \theta \in A \cap Y$ является решением задачи
\[ h(\theta) = \max \{ h(x): x \in A \cap Y \} \]
тогда и только тогда, когда существуют числа:
\[ \lambda_j \geq 0 \enspace \text{для} \enspace j \in J(\theta),\]
\[ \mu_k \in \mathbb{R} \enspace \text{для} \enspace k = 1, \dots, m,\]
такие что
\[ h = \sum_{j \in J(\theta)} \lambda_j f_j + \sum_{k=1}^{m} \mu_k g_k, \]
где $j \in J(\theta) = \{j : f_j(\theta) = e_j \}$ — множество индексов активных ограничений.
\bigskip \bigskip
\textbf{1)} Сформировать список внешних нормалей к граням.
Рассмотрим грань, образованную вершинами 1, 2, 5:
\[ v_1 = (13, 11, 1) \]
\[ v_2 = (2, 7, 1) \]
\[ v_5 = (7, 5, 5) \]
Вычислим нормаль через векторное произведение:
\[ \vec{n} = (v_2 - v_1) \times (v_5 - v_1) = (-11, -4, 0) \times (-6, -6, 4) = (-16, 44, 42) \]
Коэффициент $D$ определяется из условия:
\[ D = -\vec{n} \cdot v_1 = -(-16 \cdot 13 + 44 \cdot 11 + 42 \cdot 1) = -318\]
Таким образом, уравнение грани:
\[ -16x + 44y + 42z - 318 = 0 \]
Таблица нормалей и уравнений граней:
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Грань & Нормаль & Уравнение \\
\hline
1 & $(-16, 44, 42)$ & $-16x + 44y + 42z -318 = 0$ \\
\hline
2 & $(-32, 4, 42)$ & $-32x + 4y + 42z -6 = 0$ \\
\hline
3 & $(16, -44, 42)$ & $16x -44y + 42z -102 = 0$ \\
\hline
4 & $(32, -4, 42)$ & $32x -4y + 42z -414 = 0$ \\
\hline
5 & $(-8, 22, -42)$ & $-8x + 22y -42z -96 = 0$ \\
\hline
6 & $(-16, 2, -42)$ & $-16x + 2y -42z + 60 = 0$ \\
\hline
7 & $(8, -22, -42)$ & $8x -22y -42z + 12 = 0$ \\
\hline
8 & $(16, -2, -42)$ & $16x -2y -42z -144 = 0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
Проверим, что все нормали внешние, подставив каждую точку в уравнения плоскостей (значение должно быть не положительным):
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Точка & $v_{1}$ & $v_{2}$ & $v_{3}$ & $v_{4}$ & $v_{5}$ & $v_{6}$ \\
\hline
Грань 1 & $0$ & $0$ & $-336$ & $-336$ & $0$ & $-252$\\
\hline
Грань 2 & $-336$ & $0$ & $0$ & $-336$ & $0$ & $-252$\\
\hline
Грань 3 & $-336$ & $-336$ & $0$ & $0$ & $0$ & $-252$\\
\hline
Грань 4 & $0$ & $-336$ & $-336$ & $0$ & $0$ & $-252$\\
\hline
Грань 5 & $0$ & $0$ & $-168$ & $-168$ & $-252$ & $0$\\
\hline
Грань 6 & $-168$ & $0$ & $0$ & $-168$ & $-252$ & $0$\\
\hline
Грань 7 & $-168$ & $-168$ & $0$ & $0$ & $-252$ & $0$\\
\hline
Грань 8 & $0$ & $-168$ & $-168$ & $0$ & $-252$ & $0$\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\smallskip
\textbf{2)} Каждый конус вершины разрезать на трехгранные конуса,
(найти пару нормалей, плоскость которых разделяет две другие нормали), сформировать 12 трехгранных конусов.
Для анализа структуры выпуклых многогранников применяется техника декомпозиции многогранных конусов. Суть метода заключается в представлении каждого N-гранного конуса (где N > 3) в виде объединения трехгранных подконусов. Геометрически это соответствует разбиению пространства на сектора с помощью дополнительных гиперплоскостей.
Для определения оптимального разбиения используется следующий алгоритм:
\begin{enumerate}
\item Выбираем два базисных вектора $u$ и $v$ из системы нормалей.
\item Проверяем положение остальных векторов относительно плоскости, заданной $u$ и $v$.
\item Разделение считается допустимым, если $ sign[u, v, w_1] \neq sign[u, v, w_2] $ для хотя бы одной пары оставшихся векторов.
\end{enumerate}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Вершина & Базис 1 & Базис 2 \\
\hline
$v_1$ & $\{1, 8, 4\}$ & $\{1, 8, 5\}$ \\
\hline
$v_2$ & $\{1, 6, 2\}$ & $\{1, 6, 5\}$ \\
\hline
$v_3$ & $\{2, 7, 3\}$ & $\{2, 7, 6\}$ \\
\hline
$v_4$ & $\{3, 8, 4\}$ & $\{3, 8, 7\}$ \\
\hline
$v_5$ & $\{1, 3, 2\}$ & $\{1, 3, 4\}$ \\
\hline
$v_6$ & $\{5, 7, 6\}$ & $\{5, 7, 8\}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\smallskip
\textbf{3)} Для каждого базиса трехгранного конуса сформировать биортогональный базис. Найти координаты вектора h в каждом базисе и определить, в какой вершине многогранника достигается максимум и минимум линейного функционала $h$.
Для проверки критерия оптимальности в каждой вершине $v$ требуется разложить вектор функционала $\vec{h}$ (или $-\vec{h}$) по базисам нормалей, соответствующим 3-гранным конусам, на которые разбит исходный конус нормалей $N_M(v)$.
Пусть $\{\vec{n}_a, \vec{n}_b, \vec{n}_c\}$ — один из базисов нормалей для вершины $v$. Коэффициенты разложения $\alpha_a, \alpha_b, \alpha_c$ находятся через биортогональный базис $\{\vec{n}^a, \vec{n}^b, \vec{n}^c\}$:
\[ \vec{n}^a = \frac{\vec{n}_b \times \vec{n}_c}{\langle \vec{n}_a, \vec{n}_b, \vec{n}_c \rangle}, \quad \vec{n}^b = \frac{\vec{n}_c \times \vec{n}_a}{\langle \vec{n}_a, \vec{n}_b, \vec{n}_c \rangle}, \quad \vec{n}^c = \frac{\vec{n}_a \times \vec{n}_b}{\langle \vec{n}_a, \vec{n}_b, \vec{n}_c \rangle} \]
Коэффициенты вычисляются как:
\[ \alpha_a = \langle \vec{h}, \vec{n}^a \rangle, \quad \alpha_b = \langle \vec{h}, \vec{n}^b \rangle, \quad \alpha_c = \langle \vec{h}, \vec{n}^c \rangle \]
Коэффициенты разложения функционала:
\renewcommand{\arraystretch}{1.333}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Вершина & Базис 1 & Базис 2 \\
\hline
$v_1$ &
$\left(\frac{157}{336}, \frac{1}{3}, \frac{81}{112}\right)$ &
$\left(\frac{25}{21}, \frac{299}{168}, -\frac{81}{56}\right)$ \\
\hline
$v_2$ &
$\left(\frac{157}{336}, -\frac{215}{252}, -\frac{467}{1008}\right)$ &
$\left(\frac{1}{252}, -\frac{299}{168}, \frac{467}{504}\right)$ \\
\hline
$v_3$ &
$\left(-\frac{299}{336}, -\frac{31}{21}, \frac{13}{48}\right)$ &
$\left(-\frac{13}{21}, -\frac{157}{168}, -\frac{13}{24}\right)$ \\
\hline
$v_4$ &
$\left(-\frac{157}{336}, -\frac{73}{252}, \frac{149}{144}\right)$ &
$\left(\frac{143}{252}, \frac{299}{168}, -\frac{149}{72}\right)$ \\
\hline
$v_5$ &
$\left(\frac{31}{28}, \frac{215}{336}, -\frac{299}{336}\right)$ &
$\left(\frac{73}{336}, -\frac{1}{4}, \frac{299}{336}\right)$ \\
\hline
$v_6$ &
$\left(\frac{13}{14}, -\frac{1}{168}, -\frac{299}{168}\right)$ &
$\left(-\frac{143}{168}, -\frac{25}{14}, \frac{299}{168}\right)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
Если все коэффициенты разложения положительны, то вектор лежит в конусе и максимум достигается в вершине.
Если все коэффициенты отрицательны, то в вершине достигается минимум.
Если один из коэффициентов равен нулю, а остальные положительны, то максимум достигается на ребре.
Если два коэффициента равны нулю, а третий положителен, то максимум достигается на грани.
Аналогичные утверждения верны для точек минимума.
Таким образом, максимум функционала $h$ достигается в вершине $v_1$ конуса 1, минимум — в вершине $v_3$ конуса 2.
\end{proof}
\end{document}
Соседние файлы в папке ИДЗ 2025