ИДЗ 2025 / idz_3

\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, subcaption}
\usepackage{array}
\usepackage{geometry}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{bbm}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
\usepackage{icomma}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{bigints}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}


\begin{document}
	
	\begin{tabbing}
		\hspace{10cm} \= Студентка: \= Бараева Елизавета \\
		\> Группа: \> 2383 \\
		\> Вариант: \> 3 \\
		\> Дата: \> \today
	\end{tabbing}
	\hrule
	\vspace{0.5cm}
	
	\newtheorem{problem}{Задание}
	
	\newcommand{\problemset}[1]{
		\begin{center}
			\Large #1
		\end{center}
	}
	
	\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
		{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
	
	\problemset{Элементы функционального анализа}
	\problemset{Индивидуальное домашнее задание №3}	% поменяйте номер ИДЗ
	\vspace{0.2cm}
	
	\renewcommand*{\proofname}{Решение}
	
	
	\begin{problem}
		Заданы два вектора в $ \mathbb{R}^4 $: 
		$$ \vec{k} = (5, 7, 9, 10), \quad \vec{g} = (2, 3, 2, 2) $$
		(координаты в базисе $\vec{e}_1 = (1, 0, 0, 0)$, $\vec{e}_2 = (0, 1, 0, 0)$, $\vec{e}_3 = (0, 0, 1, 0)$, $\vec{e}_4 = (0, 0, 0, 1)$).
		
		Пусть $ X = \mathbb{R}^4 $, $ Y = \{ y \in X : (\vec{k}, y) = 0 \} $, $ g \in Y^* : g(y) = \langle \vec{g}, y \rangle $.
		
		Надо построить функционал $ f \in X^* $, продолжающий $ g $ с сохранением нормы.
	\end{problem}
	
	\begin{proof}
		Пусть $ X $ — линейное множество. Отображение $ f: X \to \mathbb{R} $ называется линейным функционалом, если для всех $ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $ и $ x, y \in X $ выполняется:
		$$
		f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y).
		$$
		
		Если $ X $ банахово пространство, то множество всех линейных непрерывных функционалов на $ X $ называется сопряженным пространством и обозначается $ X^* $. \bigskip
		
		\textbf{Теорема Рисса-Фреше.}
		
		Для любого непрерывного линейного функционала $f$ на Гильбертовом пространстве $H$ существует единственный вектор $y \in H$ такой, что $f(x) = \langle x,y \rangle$ для любого $x \in H$. При этом норма линейного функционала $f$ совпадает с нормой вектора $y$: $\|f\| = \sup_{\|x\|=1} |f(x)| = \sqrt{\langle x,y \rangle}$. \bigskip
		
		\textbf{Теорема Хана-Банаха.}
		
		Если $ X $ — банахово пространство, $ Y $ — его замкнутое подпространство, на $ Y $ задан линейный непрерывный функционал, то его можно продолжить на пространство $ X $ с сохранением нормы. Т.е. $ Y \subset X $, $ g \in Y^* $, тогда существует $ f \in X^* $, $ \forall y \in Y $, $ f(y) = g(y) $, $ \|f\|_{X^*} = \|g\|_{Y^*} $. \bigskip
		
		\textbf{1)} Вычислим формальное продолжение $ g(x) = \left( \vec{g}, x \right) $, где $ x \in X $, и вычислим норму $ g $ в $ X^* $.
		
		Рассмотрим линейный функционал $g: X \to \mathbb{R}$, который является продолжением функционала с подпространства $Y$ на все пространства $ X = \mathbb{R}^4 $. Функционал определяется как скалярное произведение с вектором $\vec{g}$:
		\[ g(x) = \langle \vec{g}, x \rangle, \forall x \in X \]
		
		Поскольку $ X = \mathbb{R}^4 $ со стандартным скалярным произведением является Гильбертовым пространством, то по теореме Рисса-Фреше, каждый линейный функционал $g \in X^*$ представим в виде скалярного произведения с единственным вектором $ \vec{g} \in X $, Таким образом, линейный функционал $g$ задается как:
		\[ g(x) = \langle x, \vec{g} \rangle \]
		
		При этом норма функционала $g$ в сопряженном пространстве $X^*$ равна норме вектора $\vec{g}$ в $X$:
		\[ \|g\|_{X^*} = \|\vec{g}\|_X \]
		
		В нашем случае вектор $\vec{g} = (2, 3, 2, 2)$, поэтому:
		\[ \|\vec{g}\|_X = \sqrt{\langle \vec{g}, \vec{g} \rangle} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4 + 4} = \sqrt{21}. \]
		
		Следовательно:
		\[ \|g\|_{X^*} = \sqrt{21} \] \smallskip
			
		\textbf{2.1)} Вычислим норму $ g $ в $ Y^* $.
		
		По условию функционал $g$ задан на подпространстве $Y=\{y \in X:(\vec{k}, y)=0\}$ как $g(y)=(\vec{g}, y)$. $Y$ является Гильбертовым пространством, т.к. $X$ - Гильбертово пространство и $Y \subset X$.\\
		В силу симметрии скалярного произведения в $\mathbb{R}^{4}$:
		\[ \langle\vec{g}, y\rangle=\langle y, \vec{g}\rangle \]
		
		Тогда по теореме Рисса-Фреше для пространства $Y$:
		\[ \exists!\vec{g}_{Y} \in Y: g(y)=\left\langle y, \vec{g}_{Y}\right\rangle, \forall y \in Y \]

		Норма функционала $g$ на $Y$ равна норме этого вектора:
		\[ \left.\|g\right\|_{Y^{*}} = \left\|\vec{g}_{Y}\right\|_{Y} = \left\|\vec{g}_{Y}\right\|_{X} \]

		Вектор $\vec{g}_{Y}$ является ортогональной проекцией вектора $\vec{g} \in X$ на подпространство $Y$.Так как $X$ конечномерно и $X=Y \oplus Y^{\perp}$, поскольку $Y = \{\vec{k}\}^{\perp}$, то $Y^{\perp} = (\{\vec{k}\}^{\perp})^{\perp} = \operatorname{span}\{\vec{k}\}$. Ортогональная проекция вектора $\vec{g}$ на $Y^{\perp}$ задается формулой:
		\[ \operatorname{proj}_{Y^{\perp}}(\vec{g}) = \operatorname{proj}_{\vec{k}}(\vec{g}) = \frac{\langle\vec{g}, \vec{k}\rangle}{\langle\vec{k}, \vec{k}\rangle} \vec{k} \]
		
		Тогда:
		\[ \langle\vec{k}, \vec{k}\rangle=5^{2}+7^{2}+9^{2}+10^{2} = 255 \]
		\[ \langle\vec{g}, \vec{k}\rangle = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 10 = 69 \]
		\[ \operatorname{proj}_{\vec{k}}(\vec{g})=\frac{69}{255} \vec{k}=\frac{23}{85} \vec{k} \]
		
		Откуда Вектор $\vec{g}_{Y}$:
		\[ \vec{g}_{Y} = \operatorname{proj}_{Y}(\vec{g}) = \vec{g} - \operatorname{proj}_{Y^{\perp}}(\vec{g}) = \vec{g} - \frac{23}{85} \vec{k} = \left(\frac{11}{17}, \frac{94}{85}, -\frac{37}{85}, -\frac{12}{17}\right) \]
			
		Откуда норма:
		\[ \|g\|_{Y^{*}} = \left\|\vec{g}_{Y}\right\| = \sqrt{\left\langle\vec{g_{Y}}, \vec{g_{Y}}\right\rangle} = \sqrt{\left(\frac{11}{17}\right)^{2} + \left(\frac{94}{85}\right)^{2} + \left(-\frac{37}{85}\right)^{2} + \left(-\frac{12}{17}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{198}{85}} \]
		
		\textit{Сравнение норм:}
		
		Норма формального продолжения $\|g\|_{X^{*}} = \sqrt{21}$.
		
		Норма исходного функционала $\|g\|_{Y^{*}} = \sqrt{\frac{198}{85}}$.
		
		Заметим, что нормы не совпадают, следовательно, формальное продолжение $g(x)=(\vec{g}, x)$ не является продолжением с сохранением нормы, которое гарантируется теоремой Хана-Банаха. \bigskip
		
		\textbf{2.2)} Построим ортонормированный базиса $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ в $Y$.
		
		Ортонормированный базис $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ для $Y$ должен удовлетворять условиям:
		\[g(a) = \left(a, \vec{g}_{Y}\right) = 0\]
		\[g(b) = \left(b, \vec{g}_{Y}\right) = 0\]
		\[g(c) = \left(c, \vec{g}_{Y}\right) \neq 0\]

		Это означает, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть ортогональны вектору $\vec{g}_{Y} \in Y$, а $\vec{c}$ - не ортогонален $\vec{g}_{Y}$. Выберем вектор $\vec{c}$, как нормированный вектор в направлении $\vec{g}_{Y}$:
		\[ \vec{c} = \frac{\vec{g}_{Y}}{\left\|\vec{g}_{Y}\right\|} = \frac{\left(\frac{11}{17}, \frac{94}{85}, -\frac{37}{85}, -\frac{12}{17}\right)}{\sqrt{\frac{198}{85}}} = \frac{\sqrt{1870}}{5610} (55, 94, -37, -60) \]
		
		Вектор $\vec{c}$ лежит в $Y$, имеет норму 1 и выполнено условие:
		\[ g(c) = \left(c,\vec{g}_{Y}\right) = \left\|\vec{g}_{Y}\right\| = \sqrt{\frac{198}{85}} \neq 0 \]
		
		Чтобы найти $\vec{a}, \vec{b}$ нужно найти два линейно независимых вектора, удовлетворяющих условиям ортогональности $\vec{k}$ и $\vec{g}_{Y}$:
		\[(y, \vec{k}) = 0 \Longrightarrow 5 y_{1} + 7 y_{2} + 9 y_{3} + 10 y_{4} = 0\]
		\[\left(y, \vec{g}_{Y}\right) = 0 \Longrightarrow 55 y_{1} + 94 y_{2} - 37 y_{3} - 60 y_{4} = 0\]

		Решая соответствующую СЛАУ, находим:
		\[ \vec{v}_{1} = (3, -2, 1, -1) \] 
		\[ \vec{v}_{2} = (-13, 8, 1, 0) \]
		
		Процесс ортогонализации Грама-Шмидта для вектора $\vec{v}_{1}$ и его нормировка:
		\[ \vec{v}_{1} = (3, -2, 1, -1), \quad \left\|\vec{v}_{1}\right\|^{2} = 3^{2} + (-2)^{2} + 1^{2} + (-1)^{2} = 15 \]
		\[ \vec{a} = \frac{\vec{v}_{1}}{\left\|\vec{v}_{1}\right\|} = \frac{(3, -2, 1, -1)}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}(3, -2, 1, -1) \]
		
		Проделаем аналогичные действия для $\vec{v}_{2}$ и получим:
		\[ \vec{b} = \frac{\sqrt{26}}{78}(-13, 8, 1, 0) \]
		
		Таким образом ОНБ для $Y$:
		\[ \vec{a} = \frac{\sqrt{15}}{15}(3, -2, 1, -1) \]
		\[ \vec{b} = \frac{\sqrt{26}}{78}(-13, 8, 1, 0) \]
		\[ \vec{c} = \frac{\sqrt{1870}}{5610} (55, 94, -37, -60) \] \smallskip
		
		\textbf{3.1)} Дополнение базиса до ортонормированного базиса $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ в $X$.
		
		Дополним ОНБ $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ для подпространства $Y$ ОНБ пространства $X = \mathbb{R}^{4}$. 		
		
		$X = Y \oplus Y^{\perp}, Y = \{\vec{k}\}^{\perp}$ и $Y^{\perp} = (\{\vec{k}\}^{\perp})^{\perp} = \operatorname{span}\{\vec{k}\}$
		
		Это одномерное подпространство, порожденное вектором $\vec{k} = (5, 7, 9, 10)$, поэтому в качестве $\vec{d}$ возьмем нормированный вектор $\vec{k}$:
		\[ \|\vec{k}\| = \sqrt{(\vec{k}, \vec{k})} = \sqrt{5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 10^{2}} = \sqrt{255} \]
		\[ \vec{d} = \frac{\vec{k}}{\|\vec{k}\|} = \frac{\sqrt{255}}{255}(5, 7, 9, 10) \] \smallskip
		
		\textbf{3.2)} Определение продолжения функционала $f \in X^{*}$ в предположении $f(d) = 0$.
		
		Пусть $f(d)=\alpha$, тогда:
		\[ \vec{f} = \|g\|_{Y^{*}} \vec{c} + \alpha \vec{d} = \vec{g}_{Y} + \alpha \vec{d} \]
		
		Поскольку $\vec{g}_{Y} \in Y$ и $\vec{d} \in Y^{\perp}$, они ортогональны.
		
		По теореме Пифагора, норма вектора $\vec{f}$:
		\[ \|\vec{f}\|_{X}^{2} = \left\|\vec{g}_{Y}\right\|_{X}^{2} + \|\alpha \vec{d}\|_{X}^{2} = \|g\|_{Y^{*}}^{2} + |\alpha|^{2}\|\vec{d}\|_{X}^{2} \]
		
		Так как $\|\vec{d}\|_{X} = 1$:
		\[ \|\vec{f}\|_{X}^{2} = \|g\|_{Y^{*}}^{2} + |\alpha|^{2} \]
		
		Условие сохранения нормы $\|f\|_{X^{*}} = \|g\|_{Y^{*}}$ выполняется тогда и только тогда, когда $|\alpha|^{2} = 0$, то есть $\alpha = 0$. Таким образом, $f(d) = 0$ является необходимым условием сохранения нормы.
		
		Определим функционал $f \in X^{*}$ как продолжение $g \in Y^{*}$, задав его значения на базисных векторах $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}\}$.
		
		Функционал $f$ должен совпадать с $g$ на $Y$, то есть $f(a)=g(a), f(b)=g(b), f(c)=g(c)$. Согласно п.2.2:
		\[g(a) = (\vec{a}, \vec{g}_{Y}) = 0\]
		\[g(b) = (\vec{b}, \vec{g}_{Y}) = 0\]
		\[g(c) = (\vec{c}, \vec{g}_{Y}) = \left\|\vec{g}_{Y}\right\| = \|g\|_{Y^{*}} = \sqrt{\frac{198}{85}}\]
		
		Из условия сохранения нормы $f(d)=0$, тогда:
		\[ f(a) = 0 \]
		\[ f(b) = 0 \]
		\[ f(c) = \sqrt{\frac{198}{85}} \]
		\[ f(d) = 0 \]
		
		Согласно теореме Рисса-Фреше:
		\[ \exists! \vec{f} \in X: f(x) = (x, \vec{f}), \forall x \in X \]
		\[ \|f\|_{X^{*}} = \|\vec{f}\|_{X} \]
		
		Координаты вектора $\vec{f}$ в ОНБ $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}\}$ равны значениям функционала $f$ на этих базисных вектоpax:
		\[ \vec{f} = f(a) \cdot \vec{a} + f(b) \cdot \vec{b} + f(c) \cdot \vec{c} + f(d) \cdot \vec{d} \]
		\[ \vec{f} = 0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b} + \sqrt{\frac{198}{85}} \cdot \vec{c} + 0 \cdot \vec{d} \]
		\[ \vec{f} = \sqrt{\frac{198}{85}} \cdot \vec{c} \]
		
		$\|g\|_{Y^{*}} = \sqrt{\frac{198}{85}}$, поэтому:
		\[ \vec{f}=\|g\|_{Y^{*}} \vec{c} \]
		
		Согласно п.2.1 и п.2.2:
		\[ \vec{c} = \frac{\vec{g}_{Y}}{\left\|\vec{g}_{Y}\right\|} = \frac{\vec{g}_{Y}}{\|g\|_{Y^{*}}} \]

		Откуда:
		\[ \vec{f} = \|g\|_{Y^{*}} \left(\frac{\vec{g}_{Y}}{\|g\|_{Y^{*}}}\right) = \vec{g}_{Y} \]

		Таким образом, вектор $\vec{f}$, представляющий функционал $f$ в $X$, совпадает с вектором $\vec{g}_{Y}$, который представлял функционал $g$ в $Y$:
		\[ \vec{f} = \vec{g}_{Y} = \left(\frac{11}{17}, \frac{94}{85}, -\frac{37}{85}, -\frac{12}{17}\right) \]
		
		Следовательно:
		\[ \|f\|_{X^{*}} = \|g\|_{Y^{*}} \]

		Единственность построенного продолжения функционала с сохранением нормы гарантируется теоремой Хана-Банаха для гильбертовых пространств. \bigskip
		
		\textbf{4.1)} Вычисление $f(\vec{e_{j}})$.
		
		Согласно п.3.2:
		\[ \vec{f} = \vec{g}_{Y} = \left(\frac{11}{17}, \frac{94}{85}, -\frac{37}{85}, -\frac{12}{17}\right) \]

		Координаты этого вектора даны в стандартном базисе $\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}, \vec{e}_{4}\right\}$. Значение функционала $f$ на стандартных базисных векторах $\vec{e}_{j}$ находится как скалярное произведение $\langle\vec{e}_{j}, \vec{f}\rangle$, откуда:
		\[ f(\vec{e}_{1}) = \langle\vec{e}_{1}, \vec{f}\rangle = \frac{11}{17} \]
		\[ f(\vec{e}_{2}) = \langle\vec{e}_{2}, \vec{f}\rangle = \frac{94}{85} \]
		\[ f(\vec{e}_{3}) = \langle\vec{e}_{3}, \vec{f}\rangle = -\frac{37}{85} \]
		\[ f(\vec{e}_{4}) = \langle\vec{e}_{4}, \vec{f}\rangle = -\frac{12}{17} \]
	
		Заметим, что это и есть компоненты вектора $\vec{f}$ в стандартном базисе. \bigskip
		
		\textbf{4.2)} Пересчет нормы $f$ в базисе $\vec{e}_{j}$, $j = 1, 2, 3, 4$.
		
		Вычислим норму вектора $\vec{f}$, используя его координаты $\left(f(\vec{e}_{1}), f(\vec{e}_{2}), f(\vec{e}_{3}), f(\vec{e}_{4})\right)$ в стандартном ортонормированном базисе $\left\{\vec{e}_{j}\right\}$:
		\[ \|\vec{f}\|_{X} = \sqrt{\left(f(\vec{e}_{1})\right)^{2} + \left(f(\vec{e}_{2})\right)^{2} + \left(f(\vec{e}_{3})\right)^{2} + \left(f(\vec{e}_{4})\right)^{2}} = \sqrt{\frac{198}{85}} \]

		Следовательно, по теореме Рисса-Фреше:
		\[ \|f\|_{X^{*}}=\|\vec{f}\|_{X} = \sqrt{\frac{198}{85}} \]

		Результат совпадает с нормой $\|g\|_{Y^{*}} = \sqrt{\frac{198}{85}}$. Это подтверждает то, что построенный функционал $f(x) = \left(x, \vec{g}_{Y}\right)$ является продолжением $g$ с сохранением нормы.
	\end{proof}
\end{document}