ИДЗ 2025 / idz_2

\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, subcaption}
\usepackage{array}
\usepackage{geometry}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{bbm}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
\usepackage{icomma}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{bigints}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}


\begin{document}
	
	\begin{tabbing}
		\hspace{10cm} \= Студентка: \= Бараева Елизавета \\
		\> Группа: \> 2383 \\
		\> Вариант: \> 3 \\
		\> Дата: \> \today
	\end{tabbing}
	\hrule
	\vspace{0.5cm}
	
	\newtheorem{problem}{Задание}
	
	\newcommand{\problemset}[1]{
		\begin{center}
			\Large #1
		\end{center}
	}
	
	\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
		{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
	
	\problemset{Элементы функционального анализа}
	\problemset{Индивидуальное домашнее задание №2}	% поменяйте номер ИДЗ
	\vspace{0.2cm}
	
	\renewcommand*{\proofname}{Решение}
	
	
	\begin{problem}
		Дана матрица \( A (4 \times 4) - A: R^4 \rightarrow R^4 \).
		\[
		\begin{pmatrix}
			\smallskip
			37 & 28 & -42 & 76 \\
			\smallskip
			-\frac{114}{5} & -\frac{69}{5} & \frac{162}{5} & -\frac{348}{5} \\
			\smallskip
			-12 & -12 & -9 & 60 \\
			\smallskip
			\frac{22}{5} & \frac{22}{5} & -\frac{168}{5} & \frac{529}{5}
		\end{pmatrix}
		\]
		Требуется вычислить: 
		
		\begin{enumerate}
			\item Норму оператора \( A \) в пространствах \( l_4^1 \), \( l_4^{\infty} \) и предъявить векторы, на которых достигается норма.
			\item Норму оператора \( A^{-1} \) в пространствах \( l_4^1 \), \( l_4^{\infty} \).
			\item Число обусловленности оператора \( A \) в пространствах \( l_4^1 \), \( l_4^{\infty} \).
			\item Сформировать матрицу \( G = A^* A \), показать, что она положительно определена. Найти ее собственные числа и векторы.
			\item Число обусловленности оператора \( A \) в пространствах \( l_4^2 \).
		\end{enumerate}
	\end{problem}
	
	\begin{proof}
		Нормой оператора \( A : X \rightarrow Y \) называется число
		\[ \|A\| = \sup\{\|Ax\| : \|x\| \leq 1\} \]
		
		Пусть \( p = 1 \), \( A \colon l_n^1 \to l_n^1 \)
		\[ \|x\| = \sum_{m} |x_m|, \quad A x = \left( \sum_{k} a_{m,k} x_k \right)_{m=1,\ldots,n} \]
		Тогда \( \|A\| = \sup_{k} \sum_{m} |a_{m,k}| \) — максимум столбцовых сумм.
		\medskip
		
		Пусть \( p = \infty, \, A : l_n^\infty \to l_n^\infty \)
		\[ \|x\| = \sup_m |x_m|, \quad Ax = \left( \sum_k a_{m,k} x_k \right)_{m=1,\ldots,n} \]
		Тогда \( \|A\| = \sup_m \sum_k |a_{m,k}| \) — максимум строковых сумм.
		\medskip
		
		Числом обусловленности линейного оператора \( A \) называется
		\[ cond(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|. \]
		\medskip
		
		1) Вычислить норму оператора \( A \) в пространствах \( l_4^1 \), \( l_4^{\infty} \) и предъявить векторы, на которых достигается норма.
		
		В пространстве \( l_4^1 \):
		\[ \|A\| = \sup_{k} \sum_{m} |a_{m,k}| = \sup \{ 37 + \left| -\frac{114}{5} \right| + \left|-12\right| + \frac{22}{5},\enspace 28 + \left| -\frac{69}{5} \right| + \left|-12\right| + \frac{22}{5}, \]
		\[ \left|-42\right| + \frac{162}{5} + \left|-9\right| + \left| -\frac{186}{5} \right|,\enspace 76 + \left| -\frac{348}{5} \right| + 60 + \frac{529}{5} \} = 311.4 \]
		Норма достигается на векторе \( x = (0, 0, 0, 1)^T \).
			
		В пространстве \( l_4^{\infty} \):
		\[ \|A\| = \sup_m \sum_k |a_{m,k}| = \sup \{ 37 + 28 + \left| -42 \right| + 76,\enspace \left| -\frac{114}{5} \right| + \left| -\frac{69}{5} \right| + \frac{162}{5} + \left| -\frac{348}{5} \right|, \]
		\[ \left| -12 \right| + \left| -12 \right| + \left| -9 \right| + 60,\enspace \frac{22}{5} + \frac{22}{5} + \left| -\frac{168}{5} \right| + \frac{529}{5} \} = 183 \]
		Норма достигается на векторе \( x = (1, 0, 0, 0)^T \). \\
		
		2) Вычислить норму оператора \( A^{-1} \) в пространствах \( l_4^1 \), \( l_4^{\infty} \).
		
		Сначала найдем \( A^{-1} \):
		\[
		A^{-1} =
		\begin{pmatrix}
			\smallskip
			37 & 28 & -42 & 76 \\
			\smallskip
			-\frac{114}{5} & -\frac{69}{5} & \frac{162}{5} & -\frac{348}{5} \\
			\smallskip
			-12 & -12 & -9 & 60 \\
			\smallskip
			\frac{22}{5} & \frac{22}{5} & -\frac{168}{5} & \frac{529}{5}
		\end{pmatrix}^{-1}
		=
		\begin{pmatrix}
			\medskip
			-\frac{37}{1215} & -\frac{172}{1215} & \frac{22}{405} & -\frac{124}{1215} \\
			\medskip
			\frac{274}{1215} & \frac{409}{1215} & \frac{26}{405} & \frac{28}{1215} \\
			\medskip
			\frac{284}{1215} & \frac{284}{1215} & \frac{91}{405} & -\frac{172}{1215} \\
			\medskip
			\frac{2}{27} & \frac{2}{27} & \frac{2}{27} & -\frac{1}{27}
		\end{pmatrix}
		\]
		Далее найдем норму в пространстве \( l_4^1 \):
		\[ \|A^{-1}\| = \sup_{k} \sum_{m} |a_{m,k}| = \sup \{ \left| -\frac{37}{1215} \right| + \frac{274}{1215} + \frac{284}{1215} + \frac{2}{27},\enspace \left| -\frac{172}{1215} \right| + \frac{409}{1215} + \frac{284}{1215} + \frac{2}{27}, \]
		\[ \frac{22}{405} + \frac{26}{405} + \frac{91}{405} + \frac{2}{27},\enspace \left| -\frac{124}{1215} \right| + \frac{28}{1215} + \left| -\frac{172}{1215} \right| + \left| -\frac{1}{27} \right| \} = \frac{191}{243} \approx 0.786 \]
		\medskip
		
		В пространстве \( l_4^{\infty} \):
		\[ \|A^{-1}\| = \sup_m \sum_k |a_{m,k}| = \sup \{ \left| -\frac{37}{1215} \right| + \left| -\frac{172}{1215} \right| + \frac{22}{405} + \left| -\frac{124}{1215} \right|,\enspace \frac{274}{1215} + \frac{409}{1215} + \frac{26}{405} + \frac{28}{1215}, \]
		\[ \frac{284}{1215} + \frac{284}{1215} + \frac{91}{405} + \left| -\frac{172}{1215} \right|,\enspace \frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \left| -\frac{1}{27} \right| \} = \frac{1013}{1215} \approx 0.8337 \]
		\medskip
		
		3) Вычислить число обусловленности оператора \( A \) в пространствах \( l_4^1 \), \( l_4^{\infty} \).
		
		Число обусловленности в пространстве \( l_4^1 \):
		\[ cond(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\| = 311.4 \cdot 0.786 \approx 244.7604 \]
		
		Число обусловленности в пространстве \( l_4^{\infty} \):
		\[ cond(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\| = 183 \cdot 0.8337 \approx 152.5671 \]
		\medskip
		
		4) Сформировать матрицу \( G = A^* A \), показать, что она положительно определена. Найти ее собственные числа и векторы.
		
		Сначала найдем \( A^* \). Т.к. числа в \( A \) вещественные, то \( A^* = A^T \). Значит
		
		\[
		G = A^* \cdot A = A^T \cdot A = 
		\begin{pmatrix}
			\smallskip
			37 & \frac{-114}{5} & -12 & \frac{22}{5} \\
			\smallskip
			28 & \frac{-69}{5} & -12 & \frac{22}{5} \\
			\smallskip
			-42 & \frac{162}{5} & -9 & \frac{-186}{5} \\
			\smallskip
			76 & \frac{-348}{5} & 60 & \frac{529}{5}
		\end{pmatrix}
		\cdot
		\begin{pmatrix}
			\smallskip
			37 & 28 & -42 & 76 \\
			\smallskip
			-\frac{114}{5} & -\frac{69}{5} & \frac{162}{5} & -\frac{348}{5} \\
			\smallskip
			-12 & -12 & -9 & 60 \\
			\smallskip
			\frac{22}{5} & \frac{22}{5} & -\frac{168}{5} & \frac{529}{5}
		\end{pmatrix}
		=
		\]
		\[
		=
		\begin{pmatrix}
			\smallskip
			\frac{10261}{5} & 1514 & -\frac{11742}{5} & \frac{20722}{5} \\
			\smallskip
			1514 & \frac{5689}{5} & -\frac{8394}{5} & 2834 \\
			\smallskip
			-\frac{11742}{5} & -\frac{8394}{5} & \frac{21393}{5} & -\frac{49614}{5} \\
			\smallskip
			\frac{20722}{5} & 2834 & -\frac{49614}{5} & \frac{127069}{5}
		\end{pmatrix}
		\]
		
		Собственные числа и вектора матрицы \( G \):
		\[ \lambda_1 = 2.9352, \quad v_1 = (-0.6956,\enspace 3.0983,\enspace 3.1552,\enspace 1)^T \]
		\[ \lambda_2 = 16.7673, \quad v_2 = (4.0934,\enspace -2.906,\enspace 3.4392,\enspace 1)^T \]
		\[ \lambda_3 = 2319.5582, \quad v_3 = (-2.2332,\enspace -1.7387,\enspace 0.8981,\enspace 1)^T \]
		\[ \lambda_4 = 30543.1392, \quad v_4 = (0.1855,\enspace 0.1289,\enspace -0.4026,\enspace 1)^T \]
		
		Т.к. собственные числа матрицы \( G \) строго положительны, то \( G \) положительно определена. \\
		
		5) Вычислить число обусловленности оператора \( A \) в пространстве \( l_4^2 \).
		
		Сначала вычислим норму \( A \):
		\[ \|A\| = \sqrt{\lambda_{max}(A^* \cdot A)} = \sqrt{\lambda_{max}(G)} = \sqrt{30543.1392} \approx 174.766 \]
		
		Далее найдем норму \( A^{-1} \):
		\[ \|A^{-1}\| = \sqrt{\lambda_{max}((A^{-1})^* \cdot A^{-1})} = \sqrt{\lambda_{max}((A^{-1})^T \cdot A^{-1})} \]
		\[ (A^{-1})^T \cdot A^{-1} = 
		\begin{pmatrix}
			\medskip
			-\frac{37}{1215} & \frac{274}{1215} & \frac{284}{1215} & \frac{2}{27} \\
			\medskip
			-\frac{172}{1215} & \frac{409}{1215} & \frac{284}{1215} & \frac{2}{27} \\
			\medskip
			\frac{22}{405} & \frac{26}{405} & \frac{91}{405} & \frac{2}{27} \\
			\medskip
			-\frac{124}{1215} & \frac{28}{1215} & -\frac{172}{1215} & -\frac{1}{27}
		\end{pmatrix}
		\cdot
		\begin{pmatrix}
			\medskip
			-\frac{37}{1215} & -\frac{172}{1215} & \frac{22}{405} & -\frac{124}{1215} \\
			\medskip
			\frac{274}{1215} & \frac{409}{1215} & \frac{26}{405} & \frac{28}{1215} \\
			\medskip
			\frac{284}{1215} & \frac{284}{1215} & \frac{91}{405} & -\frac{172}{1215} \\
			\medskip
			\frac{2}{27} & \frac{2}{27} & \frac{2}{27} & -\frac{1}{27}
		\end{pmatrix}
		=
		\]
		\[
		=
		\begin{pmatrix}
			\medskip
			\frac{55067}{492075} & \frac{69062}{492075} & \frac{11618}{164025} & -\frac{13546}{492075} \\
			\medskip
			\frac{69062}{492075} & \frac{95207}{492075} & \frac{11798}{164025} & -\frac{6706}{492075} \\
			\medskip
			\frac{11618}{164025} & \frac{11798}{164025} & \frac{383}{6075} & -\frac{6334}{164025} \\
			\medskip
			-\frac{13546}{492075} & -\frac{6706}{492075} & -\frac{6334}{164025} & \frac{15923}{492075}
		\end{pmatrix}		
		\]
		\[ \lambda_{max}((A^{-1})^T \cdot A^{-1}) = 0.3407 \]
		\[ \|A^{-1}\| = \sqrt{0.3407} \approx 0.5837 \]
		Затем вычислим число обусловленности оператора \( A \) в пространстве \( l_4^2 \):
		\[ cond(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\| = 174.766 \cdot 0.5837 \approx 102.0109 \]
	\end{proof}
\end{document}