Добавил:
baraevaliza
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ИДЗ 2025 / idz_1
.tex\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
\usepackage{amsmath, amssymb, graphicx, subcaption}
\usepackage{array}
\usepackage{geometry}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{bbm}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
\usepackage{icomma}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{bigints}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\begin{document}
\begin{tabbing}
\hspace{10cm} \= Студентка: \= Бараева Елизавета \\
\> Группа: \> 2383 \\
\> Вариант: \> 3 \\
\> Дата: \> \today
\end{tabbing}
\hrule
\vspace{0.5cm}
\newtheorem{problem}{Задание}
\newcommand{\problemset}[1]{
\begin{center}
\Large #1
\end{center}
}
\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
\problemset{Элементы функционального анализа}
\problemset{Индивидуальное домашнее задание №1} % поменяйте номер ИДЗ
\vspace{0.2cm}
\renewcommand*{\proofname}{Решение}
\begin{problem}
В условии задано 6 вершин многогранника \( W \): \( v_k \), \(k = 1, ..., 6 \), в первом квадранте многогранник симметричен относительно всех координатных плоскостей, поэтому если точка \((x, y, z)\) является вершиной, то точка \((\pm x, \pm y, \pm z)\) также является вершиной. Требуется вычислить норму, которую задает многогранник \( W \) для точек \( a \), \( b \) и \( a + b \), а также проверить для них неравенство треугольника.
Вершины многогранника в первом квадрате:
\[
(5, 3, 0), \quad (9, 0, 9), \quad (0, 3, 7), \quad \left( \frac{171}{14}, 0, 0 \right), \quad \left( 0, \frac{543}{146}, 0 \right), \quad \left( 0, 0, \frac{153}{10} \right).
\]
Требуется вычислить норму, индуцированную многогранником \( W \), для точек:
\[
a = (6, -5, 9), \quad b = (-9, 7, 5), \quad a + b = (-3, 2, 14).
\]
\end{problem}
\begin{proof}
Нормой в линейном пространстве \( X \) называется любая функция, отображающая пространство \( X \) в множество вещественных неотрицательных чисел \( x \rightarrow \|x\| \) такая, что:
\begin{enumerate}
\item Для любого \( x \in X \) и для любого \( k \in X \) выполнено равенство \( \|kx\| = |k| \|x\| \) \smallskip
\item Для любого \( x \), \(y \in X \) справедливо неравенство \( \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| \) \smallskip
\item Для любого \( x \in X \) справедливо неравенство \( \|x\| \geq 0 \), причем равенство \( \|x\| = 0 \) возможно только для \( x = 0 \)
\end{enumerate}
\medskip
Пусть \( W \) - выпуклое множество в линейном пространстве \( X \). 0 является его внутренней точкой и точкой симметрии, и для любого \( x \in X \), \( x \neq 0 \) существует положительное число \( k \) такое, что \( \frac{x}{k} \in W \), тогда Нормой Минковского, порожденной множеством \( W \) называется:
\[
\|x\| = \inf \left\{ \lambda: \frac{x}{\lambda} \in W, \, \lambda > 0 \right\}
\]
Теорема Минковского
Если \( W \) - множество описанное выше, то выражение \( \|x\| = \inf \left\{ \lambda: \frac{x}{\lambda} \in W, \, \lambda > 0 \right\} \) задает норму в пространстве \( X \).
\medskip
Единичный шар в линейном нормированном пространстве является выпуклым ограниченным множеством и 0 является его внутренней точкой.
\medskip
У многогранника \( W \) всего 18 вершин. Точка \((0, 0, 0)\) выступает центром симметрии для \( W \). Более того, он симметричен относительно координатных плоскостей, следовательно:
\[
\|(x, y, z)\| = \|(\pm x, \pm y, \pm z)\|.
\]
\[
\sup_{m} \sum_{k} |a_{m,k}|
\]
Далее запишем все точки: \vspace{1px}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{subtable}[b]{0.45\linewidth}
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Точка & x & y & z \\
\hline
$v1$ & 5 & 3 & 0 \\
\hline
$v2$ & 9 & 0 & 9 \\
\hline
$v3$ & 0 & 3 & 7 \\
\hline
$v4$ & \( \frac{171}{14} \) & 0 & 0 \\
\hline
$v5$ & 0 & \( \frac{543}{146} \) & 0 \\
\hline
$v6$ & 0 & 0 & \( \frac{153}{10} \) \\
\hline
$v7$ & -5 & 3 & 0 \\
\hline
$v8$ & -9 & 0 & 9 \\
\hline
$v9$ & \( -\frac{171}{14} \) & 0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{subtable}
\begin{subtable}[b]{0.45\linewidth}
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Точка & x & y & z \\
\hline
$v10$ & 5 & -3 & 0 \\
\hline
$v11$ & 0 & -3 & 7 \\
\hline
$v12$ & 0 & \( -\frac{543}{146} \) & 0 \\
\hline
$v13$ & 9 & 0 & -9 \\
\hline
$v14$ & 0 & 3 & -7 \\
\hline
$v15$ & 0 & 0 & \( -\frac{153}{10} \) \\
\hline
$v16$ & -5 & -3 & 0 \\
\hline
$v17$ & -9 & 0 & -9 \\
\hline
$v18$ & 0 & -3 & -7 \\
\hline
\end{tabular}
\end{subtable}
\caption{Координаты точек}
\end{table}
Грани для квадрантов задаются следующим образом:
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Квадрант & Грань & Точка 1 & Точка 2 & Точка 3 \\
\hline
1 & \textbf{1} & $1$ & $2$ & $3$ \\
\hline
1 & \textbf{2} & $1$ & $2$ & $4$ \\
\hline
1 & \textbf{3} & $1$ & $3$ & $5$ \\
\hline
1 & \textbf{4} & $2$ & $3$ & $6$ \\
\hline
4 & \textbf{5} & $2$ & $4$ & $10$ \\
\hline
4 & \textbf{6} & $2$ & $6$ & $11$ \\
\hline
4 & \textbf{7} & $2$ & $10$ & $11$ \\
\hline
4 & \textbf{8} & $10$ & $11$ & $12$ \\
\hline
8 & \textbf{9} & $4$ & $10$ & $13$ \\
\hline
8 & \textbf{10} & $10$ & $12$ & $18$ \\
\hline
8 & \textbf{11} & $10$ & $13$ & $18$ \\
\hline
8 & \textbf{12} & $13$ & $15$ & $18$ \\
\hline
5 & \textbf{13} & $1$ & $4$ & $13$ \\
\hline
5 & \textbf{14} & $1$ & $5$ & $14$ \\
\hline
5 & \textbf{15} & $1$ & $13$ & $14$ \\
\hline
5 & \textbf{16} & $13$ & $14$ & $15$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Квадрант & Грань & Точка 1 & Точка 2 & Точка 3 \\
\hline
2 & \textbf{17} & $3$ & $5$ & $7$ \\
\hline
2 & \textbf{18} & $3$ & $7$ & $8$ \\
\hline
2 & \textbf{19} & $3$ & $6$ & $8$ \\
\hline
2 & \textbf{20} & $7$ & $8$ & $9$ \\
\hline
3 & \textbf{21} & $6$ & $8$ & $11$ \\
\hline
3 & \textbf{22} & $8$ & $11$ & $16$ \\
\hline
3 & \textbf{23} & $8$ & $9$ & $16$ \\
\hline
3 & \textbf{24} & $11$ & $12$ & $16$ \\
\hline
7 & \textbf{25} & $9$ & $16$ & $17$ \\
\hline
7 & \textbf{26} & $12$ & $16$ & $18$ \\
\hline
7 & \textbf{27} & $15$ & $17$ & $18$ \\
\hline
7 & \textbf{28} & $16$ & $17$ & $18$ \\
\hline
6 & \textbf{29} & $5$ & $7$ & $14$ \\
\hline
6 & \textbf{30} & $7$ & $9$ & $17$ \\
\hline
6 & \textbf{31} & $7$ & $14$ & $17$ \\
\hline
6 & \textbf{32} & $14$ & $15$ & $17$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Список граней в квадрантах}
\end{table}
Для построения плоскости $P(x, y, z) = Ax+By+Cz+D$ необходимо вычислить нормаль $N = (A,B,C)$ по формуле:
\[ N = (v_2 - v_1) \times (v_3 - v_1) \]
\[ D = -N \cdot v_1 \]
Проверим, что все нормали внешние, т.е. выполняется $P(x,y,z) \leq 0$ для всех точек. Так как все числа в таблицах удовлетворяют этому условию, следовательно, $W$ является выпуклым.
\newpage
\renewcommand{\arraystretch}{1.333}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Точка & $v_{1}$ & $v_{2}$ & $v_{3}$ & $v_{4}$ & $v_{5}$ & $v_{6}$ & $v_{7}$ & $v_{8}$ & $v_{9}$\\
\hline
Грань 1 & $0$ & $0$ & $0$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{105}{2}$ & $- \frac{189}{2}$ & $-210$ & $-378$ & $- \frac{1161}{2}$\\
\hline
Грань 2 & $0$ & $0$ & $- \frac{135}{2}$ & $0$ & $- \frac{25785}{292}$ & $- \frac{729}{4}$ & $-270$ & $-486$ & $- \frac{4617}{7}$\\
\hline
Грань 3 & $0$ & $- \frac{105}{2}$ & $0$ & $- \frac{20055}{292}$ & $0$ & $- \frac{21945}{292}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{20895}{146}$ & $- \frac{55965}{292}$\\
\hline
Грань 4 & $- \frac{189}{2}$ & $0$ & $0$ & $- \frac{729}{4}$ & $- \frac{39501}{292}$ & $0$ & $- \frac{567}{2}$ & $- \frac{1701}{5}$ & $- \frac{12879}{20}$\\
\hline
Грань 5 & $- \frac{2727}{7}$ & $0$ & $- \frac{6399}{14}$ & $0$ & $- \frac{1167669}{2044}$ & $- \frac{729}{4}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $-486$ & $- \frac{4617}{7}$\\
\hline
Грань 6 & $- \frac{5427}{10}$ & $0$ & $- \frac{2241}{5}$ & $- \frac{729}{4}$ & $- \frac{1008747}{1460}$ & $0$ & $- \frac{7317}{10}$ & $- \frac{1701}{5}$ & $- \frac{12879}{20}$\\
\hline
Грань 7 & $-438$ & $0$ & $-438$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{1191}{2}$ & $- \frac{189}{2}$ & $-648$ & $-378$ & $- \frac{1161}{2}$\\
\hline
Грань 8 & $-210$ & $- \frac{105}{2}$ & $-210$ & $- \frac{20055}{292}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{21945}{292}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{20895}{146}$ & $- \frac{55965}{292}$\\
\hline
Грань 9 & $- \frac{2727}{7}$ & $- \frac{1215}{7}$ & $- \frac{8289}{14}$ & $0$ & $- \frac{1167669}{2044}$ & $- \frac{13365}{28}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{4617}{7}$\\
\hline
Грань 10 & $-210$ & $- \frac{17115}{146}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{20055}{292}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{54075}{292}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{30345}{146}$ & $- \frac{55965}{292}$\\
\hline
Грань 11 & $-438$ & $-270$ & $-648$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{1191}{2}$ & $- \frac{1107}{2}$ & $-648$ & $-648$ & $- \frac{1161}{2}$\\
\hline
Грань 12 & $- \frac{5427}{10}$ & $-486$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{729}{4}$ & $- \frac{1008747}{1460}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{7317}{10}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{12879}{20}$\\
\hline
Грань 13 & $0$ & $- \frac{1215}{7}$ & $- \frac{405}{2}$ & $0$ & $- \frac{25785}{292}$ & $- \frac{13365}{28}$ & $-270$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{4617}{7}$\\
\hline
Грань 14 & $0$ & $- \frac{17115}{146}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{20055}{292}$ & $0$ & $- \frac{54075}{292}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{30345}{146}$ & $- \frac{55965}{292}$\\
\hline
Грань 15 & $0$ & $-270$ & $-210$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{105}{2}$ & $- \frac{1107}{2}$ & $-210$ & $-648$ & $- \frac{1161}{2}$\\
\hline
Грань 16 & $- \frac{189}{2}$ & $-486$ & $-378$ & $- \frac{729}{4}$ & $- \frac{39501}{292}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{567}{2}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{12879}{20}$\\
\hline
Грань 17 & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{20895}{146}$ & $0$ & $- \frac{55965}{292}$ & $0$ & $- \frac{21945}{292}$ & $0$ & $- \frac{105}{2}$ & $- \frac{20055}{292}$\\
\hline
Грань 18 & $-210$ & $-378$ & $0$ & $- \frac{1161}{2}$ & $- \frac{105}{2}$ & $- \frac{189}{2}$ & $0$ & $0$ & $- \frac{135}{2}$\\
\hline
Грань 19 & $- \frac{567}{2}$ & $- \frac{1701}{5}$ & $0$ & $- \frac{12879}{20}$ & $- \frac{39501}{292}$ & $0$ & $- \frac{189}{2}$ & $0$ & $- \frac{729}{4}$\\
\hline
Грань 20 & $-270$ & $-486$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{25785}{292}$ & $- \frac{729}{4}$ & $0$ & $0$ & $0$\\
\hline
Грань 21 & $- \frac{7317}{10}$ & $- \frac{1701}{5}$ & $- \frac{2241}{5}$ & $- \frac{12879}{20}$ & $- \frac{1008747}{1460}$ & $0$ & $- \frac{5427}{10}$ & $0$ & $- \frac{729}{4}$\\
\hline
Грань 22 & $-648$ & $-378$ & $-438$ & $- \frac{1161}{2}$ & $- \frac{1191}{2}$ & $- \frac{189}{2}$ & $-438$ & $0$ & $- \frac{135}{2}$\\
\hline
Грань 23 & $- \frac{4617}{7}$ & $-486$ & $- \frac{6399}{14}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{1167669}{2044}$ & $- \frac{729}{4}$ & $- \frac{2727}{7}$ & $0$ & $0$\\
\hline
Грань 24 & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{20895}{146}$ & $-210$ & $- \frac{55965}{292}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{21945}{292}$ & $-210$ & $- \frac{105}{2}$ & $- \frac{20055}{292}$\\
\hline
Грань 25 & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{8289}{14}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{1167669}{2044}$ & $- \frac{13365}{28}$ & $- \frac{2727}{7}$ & $- \frac{1215}{7}$ & $0$\\
\hline
Грань 26 & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{30345}{146}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{55965}{292}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{54075}{292}$ & $-210$ & $- \frac{17115}{146}$ & $- \frac{20055}{292}$\\
\hline
Грань 27 & $- \frac{7317}{10}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{12879}{20}$ & $- \frac{1008747}{1460}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{5427}{10}$ & $-486$ & $- \frac{729}{4}$\\
\hline
Грань 28 & $-648$ & $-648$ & $-648$ & $- \frac{1161}{2}$ & $- \frac{1191}{2}$ & $- \frac{1107}{2}$ & $-438$ & $-270$ & $- \frac{135}{2}$\\
\hline
Грань 29 & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{30345}{146}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{55965}{292}$ & $0$ & $- \frac{54075}{292}$ & $0$ & $- \frac{17115}{146}$ & $- \frac{20055}{292}$\\
\hline
Грань 30 & $-270$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{405}{2}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{25785}{292}$ & $- \frac{13365}{28}$ & $0$ & $- \frac{1215}{7}$ & $0$\\
\hline
Грань 31 & $-210$ & $-648$ & $-210$ & $- \frac{1161}{2}$ & $- \frac{105}{2}$ & $- \frac{1107}{2}$ & $0$ & $-270$ & $- \frac{135}{2}$\\
\hline
Грань 32 & $- \frac{567}{2}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $-378$ & $- \frac{12879}{20}$ & $- \frac{39501}{292}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{189}{2}$ & $-486$ & $- \frac{729}{4}$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Таблица точек и граней}
\end{table}
\newpage
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Точка & $v_{10}$ & $v_{11}$ & $v_{12}$ & $v_{13}$ & $v_{14}$ & $v_{15}$ & $v_{16}$ & $v_{17}$ & $v_{18}$\\
\hline
Грань 1 & $-438$ & $-438$ & $- \frac{1191}{2}$ & $-270$ & $-210$ & $- \frac{1107}{2}$ & $-648$ & $-648$ & $-648$\\
\hline
Грань 2 & $- \frac{2727}{7}$ & $- \frac{6399}{14}$ & $- \frac{1167669}{2044}$ & $- \frac{1215}{7}$ & $- \frac{405}{2}$ & $- \frac{13365}{28}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{8289}{14}$\\
\hline
Грань 3 & $-210$ & $-210$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{17115}{146}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{54075}{292}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{30345}{146}$ & $- \frac{19005}{73}$\\
\hline
Грань 4 & $- \frac{5427}{10}$ & $- \frac{2241}{5}$ & $- \frac{1008747}{1460}$ & $-486$ & $-378$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{7317}{10}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{4131}{5}$\\
\hline
Грань 5 & $0$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{25785}{292}$ & $- \frac{1215}{7}$ & $- \frac{8289}{14}$ & $- \frac{13365}{28}$ & $-270$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{405}{2}$\\
\hline
Грань 6 & $- \frac{189}{2}$ & $0$ & $- \frac{39501}{292}$ & $-486$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{567}{2}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $-378$\\
\hline
Грань 7 & $0$ & $0$ & $- \frac{105}{2}$ & $-270$ & $-648$ & $- \frac{1107}{2}$ & $-210$ & $-648$ & $-210$\\
\hline
Грань 8 & $0$ & $0$ & $0$ & $- \frac{17115}{146}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{54075}{292}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{30345}{146}$ & $- \frac{3675}{73}$\\
\hline
Грань 9 & $0$ & $- \frac{405}{2}$ & $- \frac{25785}{292}$ & $0$ & $- \frac{6399}{14}$ & $- \frac{729}{4}$ & $-270$ & $-486$ & $- \frac{135}{2}$\\
\hline
Грань 10 & $0$ & $- \frac{3675}{73}$ & $0$ & $- \frac{105}{2}$ & $-210$ & $- \frac{21945}{292}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{20895}{146}$ & $0$\\
\hline
Грань 11 & $0$ & $-210$ & $- \frac{105}{2}$ & $0$ & $-438$ & $- \frac{189}{2}$ & $-210$ & $-378$ & $0$\\
\hline
Грань 12 & $- \frac{189}{2}$ & $-378$ & $- \frac{39501}{292}$ & $0$ & $- \frac{2241}{5}$ & $0$ & $- \frac{567}{2}$ & $- \frac{1701}{5}$ & $0$\\
\hline
Грань 13 & $- \frac{2727}{7}$ & $- \frac{8289}{14}$ & $- \frac{1167669}{2044}$ & $0$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{729}{4}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $-486$ & $- \frac{6399}{14}$\\
\hline
Грань 14 & $-210$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{105}{2}$ & $0$ & $- \frac{21945}{292}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{20895}{146}$ & $-210$\\
\hline
Грань 15 & $-438$ & $-648$ & $- \frac{1191}{2}$ & $0$ & $0$ & $- \frac{189}{2}$ & $-648$ & $-378$ & $-438$\\
\hline
Грань 16 & $- \frac{5427}{10}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{1008747}{1460}$ & $0$ & $0$ & $0$ & $- \frac{7317}{10}$ & $- \frac{1701}{5}$ & $- \frac{2241}{5}$\\
\hline
Грань 17 & $- \frac{19005}{73}$ & $-210$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{30345}{146}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{54075}{292}$ & $-210$ & $- \frac{17115}{146}$ & $- \frac{19005}{73}$\\
\hline
Грань 18 & $-648$ & $-438$ & $- \frac{1191}{2}$ & $-648$ & $-210$ & $- \frac{1107}{2}$ & $-438$ & $-270$ & $-648$\\
\hline
Грань 19 & $- \frac{7317}{10}$ & $- \frac{2241}{5}$ & $- \frac{1008747}{1460}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $-378$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{5427}{10}$ & $-486$ & $- \frac{4131}{5}$\\
\hline
Грань 20 & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{6399}{14}$ & $- \frac{1167669}{2044}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{405}{2}$ & $- \frac{13365}{28}$ & $- \frac{2727}{7}$ & $- \frac{1215}{7}$ & $- \frac{8289}{14}$\\
\hline
Грань 21 & $- \frac{567}{2}$ & $0$ & $- \frac{39501}{292}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{189}{2}$ & $-486$ & $-378$\\
\hline
Грань 22 & $-210$ & $0$ & $- \frac{105}{2}$ & $-648$ & $-648$ & $- \frac{1107}{2}$ & $0$ & $-270$ & $-210$\\
\hline
Грань 23 & $-270$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{25785}{292}$ & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{8289}{14}$ & $- \frac{13365}{28}$ & $0$ & $- \frac{1215}{7}$ & $- \frac{405}{2}$\\
\hline
Грань 24 & $- \frac{3675}{73}$ & $0$ & $0$ & $- \frac{30345}{146}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{54075}{292}$ & $0$ & $- \frac{17115}{146}$ & $- \frac{3675}{73}$\\
\hline
Грань 25 & $-270$ & $- \frac{405}{2}$ & $- \frac{25785}{292}$ & $-486$ & $- \frac{6399}{14}$ & $- \frac{729}{4}$ & $0$ & $0$ & $- \frac{135}{2}$\\
\hline
Грань 26 & $- \frac{3675}{73}$ & $- \frac{3675}{73}$ & $0$ & $- \frac{20895}{146}$ & $-210$ & $- \frac{21945}{292}$ & $0$ & $- \frac{105}{2}$ & $0$\\
\hline
Грань 27 & $- \frac{567}{2}$ & $-378$ & $- \frac{39501}{292}$ & $- \frac{1701}{5}$ & $- \frac{2241}{5}$ & $0$ & $- \frac{189}{2}$ & $0$ & $0$\\
\hline
Грань 28 & $-210$ & $-210$ & $- \frac{105}{2}$ & $-378$ & $-438$ & $- \frac{189}{2}$ & $0$ & $0$ & $0$\\
\hline
Грань 29 & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{19005}{73}$ & $- \frac{20895}{146}$ & $0$ & $- \frac{21945}{292}$ & $-210$ & $- \frac{105}{2}$ & $-210$\\
\hline
Грань 30 & $- \frac{4617}{7}$ & $- \frac{8289}{14}$ & $- \frac{1167669}{2044}$ & $-486$ & $- \frac{135}{2}$ & $- \frac{729}{4}$ & $- \frac{2727}{7}$ & $0$ & $- \frac{6399}{14}$\\
\hline
Грань 31 & $-648$ & $-648$ & $- \frac{1191}{2}$ & $-378$ & $0$ & $- \frac{189}{2}$ & $-438$ & $0$ & $-438$\\
\hline
Грань 32 & $- \frac{7317}{10}$ & $- \frac{4131}{5}$ & $- \frac{1008747}{1460}$ & $- \frac{1701}{5}$ & $0$ & $0$ & $- \frac{5427}{10}$ & $0$ & $- \frac{2241}{5}$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Таблица точек и граней}
\end{table}
Для построения нормы определим в каком конусе грани расположена точка, после чего рассмотрим эту точку в базисе конуса:
\[ x = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 \]
Точка лежит в конусе грани, тогда и только тогда, когда \( \alpha_i \geq 0, i = 1, 2, 3 \), а если еще \( \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1 \), тогда точка лежит на грани.
\smallskip
Если точка лежит в конусе грани, то норма \( x \) определяется по формуле:
\[ \|x\| = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \]
Будем использовать биортогональный базис:
\[ w_1 : u_1 = v_2 \times v_3, w_1 = \frac{u_1}{\langle u_1, v_1 \rangle} \]
\[ \langle w_1, v_1 \rangle = 1, \langle w_1, v_2 \rangle = 0, \langle w_1, v_3 \rangle = 0, \langle x, w_1 \rangle = \alpha_1 \]
Аналогично определим \( w_2, w_3 \).
Т.к. \( W \) симметричен, то можно искать нормы в первом квадранте.
Рассчитаем биортогональные базисы для граней первого октанта:
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Вектор & x & y & z \\
\hline
$w1$ & $\frac{1}{12}$ & $\frac{7}{36}$ & $-\frac{1}{12}$ \\
\hline
$w2$ & $\frac{7}{108}$ & $-\frac{35}{324}$ & $\frac{5}{108}$ \\
\hline
$w3$ & $-\frac{1}{12}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{1}{12}$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Базис грани $(1, 2, 3)$}
\end{table}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Вектор & x & y & z \\
\hline
$w1$ & $0$ & $\frac{1}{3}$ & $0$ \\
\hline
$w2$ & $0$ & $0$ & $\frac{1}{9}$ \\
\hline
$w3$ & $\frac{14}{171}$ & $-\frac{70}{513}$ & $-\frac{14}{171}$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Базис грани $(1, 2, 4)$}
\end{table}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Вектор & x & y & z \\
\hline
$w1$ & $\frac{1}{5}$ & $0$ & $0$ \\
\hline
$w2$ & $0$ & $0$ & $\frac{1}{7}$ \\
\hline
$w3$ & $-\frac{146}{905}$ & $\frac{146}{543}$ & $-\frac{146}{1267}$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Базис грани $(1, 3, 5)$}
\end{table}
\newpage
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Вектор & x & y & z \\
\hline
$w1$ & $\frac{1}{9}$ & $0$ & $0$ \\
\hline
$w2$ & $0$ & $\frac{1}{3}$ & $0$ \\
\hline
$w3$ & $- \frac{10}{153}$ & $-\frac{70}{459}$ & $\frac{10}{153}$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Базис грани $(2, 3, 6)$}
\end{table}
Рассмотрим вектор $a = (6, -5, 9)$ его координаты рассмотрим по модулю $a' = (6, 5, 9)$, чтобы рассматривать только первый квадрант. Найдем его координаты в биортогональном базисе:
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$ $ & $(1, 2, 3)$ & $(1, 2, 4)$ & $(1, 3, 5)$ & $(2, 3, 6)$ \\
\hline
$\alpha_1$ & $\frac{13}{18}$ & $\frac{5}{3}$ & $\frac{6}{5}$ & $\frac{2}{3}$ \\
\hline
$\alpha_2$ & $\frac{43}{162}$ & $1$ & $\frac{9}{7}$ & $\frac{5}{3}$ \\
\hline
$\alpha_3$ & $\frac{17}{18}$ & $-\frac{476}{513}$ & $-\frac{12556}{19005}$ & $-\frac{260}{459}$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Координаты точки на всех гранях}
\end{table}
Следовательно точка $a$ лежит в конусе грани $(1, 2, 3)$.
\[ \|a\| = \alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = \frac{313}{162} \]
Рассмотрим вектор $b = (-9, 7, 5)$ его координаты рассмотрим по модулю $b' = (9, 7, 5)$, чтобы рассматривать только первый квадрант. Найдем его координаты в биортогональном базисе:
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$ $ & $(1, 2, 3)$ & $(1, 2, 4)$ & $(1, 3, 5)$ & $(2, 3, 6)$ \\
\hline
$\alpha_1$ & $\frac{61}{36}$ & $\frac{7}{3}$ & $\frac{9}{5}$ & $1$ \\
\hline
$\alpha_2$ & $\frac{19}{324}$ & $\frac{5}{9}$ & $\frac{5}{7}$ & $\frac{7}{3}$ \\
\hline
$\alpha_3$ & $\frac{23}{36}$ & $-\frac{322}{513}$ & $-\frac{2774}{19005}$ & $-\frac{610}{459}$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Координаты точки на всех гранях}
\end{table}
Следовательно точка $b$ лежит в конусе грани $(1, 2, 3)$.
\[ \|b\| = \alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = \frac{775}{324} \]
Рассмотрим вектор $a+b = (-3, 2, 14)$ его координаты рассмотрим по модулю $(a+b)' = (3, 2, 14)$, чтобы рассматривать только первый квадрант. Найдем его координаты в биортогональном базисе:
\newpage
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$ $ & $(1, 2, 3)$ & $(1, 2, 4)$ & $(1, 3, 5)$ & $(2, 3, 6)$ \\
\hline
$\alpha_1$ & $-\frac{19}{36}$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{3}{5}$ & $\frac{1}{3}$ \\
\hline
$\alpha_2$ & $\frac{203}{324}$ & $\frac{14}{9}$ & $2$ & $\frac{2}{3}$ \\
\hline
$\alpha_3$ & $\frac{43}{36}$ & $-\frac{602}{513}$ & $-\frac{4234}{2715}$ & $\frac{190}{459}$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Координаты точки на всех гранях}
\end{table}
Следовательно точка $a+b$ лежит в конусе грани $(2, 3, 6)$.
\[ \|a+b\| = \alpha_1 + \alpha_2 +\alpha_3 = \frac{649}{459} \]
Проверим неравенство треугольника:
\[ \|a + b\| \leq \|a\| + \|b\| \]
\[ \frac{649}{459} \leq \frac{313}{162} + \frac{775}{324} \]
Неравенство треугольника выполнено.
\end{proof}
\end{document}