§3. Определители

10. Определение.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы порядка с действительными элементами называется действительное число, обозначаемое:

или или ,

и равное

,

где сумма берется по всем перестановкам множества из элементов, – знак перестановки.

Таким образом, из элементов составляются всевозможные произведения из сомножителей, содержащих по одному элементу из каждого столбца и каждой строки. Всего слагаемых в сумме равно числу перестановок, т.е. равно .

Замечание. Определитель бывает только у квадратных матриц.

Иногда вместо термина определитель используют термин детерминант (по латыни).

Примеры.

1. Если , то матрица состоит из одного элемента, т.е. . Тогда .

2. Если , то . Формула для определителя в этом случае содержит слагаемых, соответствующих тождественной перестановке , , и перестановке , . Получаем

.

3. Если , то . В этом формула для определителя содержит слагаемых, соответствующих перестановкам

, , , ,

, , , ,

, , , .

Получаем

т.е.,

.

Слагаемые с положительными и отрицательными коэффициентами запоминаются по правилу Саррюса; а именно,

.

Примеры.

1. .

3.

4.

5.

6.

7.

Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя.

2⁰. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Пусть  R.

Определение 2. Матрица = R называется транспонированной к матрице , если она получается следующим образом: –й столбец матрицы состоит из элементов –ой строки матрицы , расположенных в том же порядке.

Операция называется транспонированием.

Пример. .

Свойства операции транспонирования матриц.

1. 

2. 

3. 

Доказательство свойств 1−3 осуществляется прямыми вычислениями (самостоятельно).

4. R Rсправедливо.

Доказательство: RR R R

Легко видеть, что RR R.

Пусть – элемент матрицы , стоящий в –й строке и –том столбце , где – элемент –ой строки и –того столбца матрицы

, где

Но , , где и – элементы и , соответственно =>, где последняя сумма – произведение элементов –ой строки на –ой столбец , т.е. – элемент , что и требовалось доказать.

5. ,

Определение 3. Если квадратная R т.е. , то называется симметричной, если _, т.е. , то называется кососимметричной (антисимметричной).

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. .

Доказательство: Пусть , , т.к. и имеют одинаковое количество членов , то достаточно показать, что член является членом и наоборот.

Все члены имеют вид: и составлены из членов, находящихся в разных строках и столбцах этот же член является членом . Верно и обратное члены определителя одни и те же. Осталось определить знаком этого слагаемого в detA и detA^T.

Знак равен . Этот член входит в как и имеет знак (см. свойство 2 перестановок) т.к. ₌ определители и являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками , что и требовалось доказать.

Следствие. Всякая теорема об определителе матрицы остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот.

Свойство 2. Если одна из строк матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. На самом деле, пусть –я строка нулевая. Т.к. в каждый член определителя входит один её элемент все члены нулевые _, что и требовалось доказать.

Свойство 3. Если матрица R получена из R перестановкой каких–либо двух строк, то

Доказательство: Пусть , ,

т.е. B получается из A перестановкой i-ой и j-ой строк.

Если входит в , то все его члены и в остаются в разных столбцах и строках он входит и в . Слагаемое имеет знак , а в надо считать знак перестановки , которая получается из транспозицией в верхней строке она имеет противоположную четность, т.е. все члены входят в с противоположным знаком , что и требовалось доказать.

Свойство 4. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю.

Доказательство. Пусть и –строки равны после их перестановки определитель равен , но т.к. переставлены одинаковые строки он тот же самый .

Свойство 5. Если получена из умножением некоторой строки на R, то .

Доказательство:

Свойство 6. Если содержит две пропорциональные строки, то .

Доказательство. Пусть –я строка равна -ой строке, умноженной на можно вынести из –й строки (свойство 5) ǁпо свойству 4ǁ , что и требовалось доказать.

Свойство 7. Если все элементы –ой строки матрицы представлены в виде двух слагаемых: , то , где , имеют все строки, кроме –ой, как в , а –ая строка состоит из , а – из , т.е.

.

Доказательство.

, что и требовалось доказать.

Следствие. То же самое, когда , т.е. все элементы i-ой строки являются суммой слагаемых.

Определение 4. Будем говорить, что строка , R является линейной комбинацией строк R, если для некоторых R справедливо

, (1)

Это равенство можно записать в матричном виде:

(1’)

Свойство 8. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация её других строк, то определитель матрицы равен нулю.

Доказательство. Если –ая строка есть линейная комбинация остальных строк , то элемент –ой строки – сумма элементов по следствию к свойству 7 определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых –ая строка пропорциональна одной из строк они равны , что и требовалось доказать.

Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из строк матрицы прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

Доказательство. Если к –ой строке прибавляется –ая строка, умноженная на , то в новой матрице –ая строка равна . Тогда на основании свойства 7 её определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен , а второй содержит две пропорциональные строки равен , что и требовалось доказать.

Следствие. Определитель матрицы не меняется, если к её одной строке добавляется линейная комбинация других строк.