40. Скалярное произведение векторов.

Определение 14. Скалярным произведением двух векторовиназываетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Таким образом, если ,– вектора, то скалярное произведение обозначаетсяи

.

Свойства скалярного произведения.

1) Коммутативность: .

Действительно, (так как, то есть четная функция, то).

2) Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора умноженной на проекцию другого на направление первого.

Действительно, .

Отсюда видно, что если , то.

Следовательно, проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на направляющий вектор оси.

3) .

Действительно, .

4) .

Действительно, .

5) Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Пусть    .

Пусть  , так как,   .

6) Пусть  , т.е. скалярный квадрат вектораравен квадрату длины вектора .

Из последнего свойства следует, что – отдельная строка.

7) Пусть в пространстве геометрических векторов задан ортонормированный базис т.е.Тогда

Если вектора заданы своими координатами , то

т.е. в прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Из свойства 7) вытекают некоторые метрические формулы:

1)  

2) Если , то,,.

Таким образом, прямоугольные координаты вектора есть его ортогональные проекции на оси прямоугольной системы координат.

3. Пусть , 

.

Таким образом, .

Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы ,,, которые векторобразует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.

Имеем:

,,.

,,называются направляющими косинусами вектора. Они связаны соотношением

.

Следовательно, вектор есть координаты вектора, то есть вектораи.

.

5О. Векторное и смешанное произведения векторов.

Определение 15.Упорядоченная тройка некомпланарных векторовназываетсяправоориентированнойили простоправой, если из конца третьего векторакратчайший поворот от первогоко второмувиден против часовой стрелки. В противном случае тройка называетсялевоориентированнойилилевой.

Рис. 10. Ориентированные тройки векторов

а) Правая тройка б) Левая тройка

Определение 16. Векторным произведением двух векторовиназывается вектор, удовлетворяющий условиям:

1. .

2. вектор ортогонален векторами.

3. вектора образуют правую тройку векторов.

Обозначение:

Свойства векторного произведения

1. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторахи.

Доказательство следует из определения 16.

2. Векторное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны.

Доказательство аналогично свойству 5 скалярного произведения.

3. Векторное произведение антикоммутативно, т.е.

Доказательство.

Тройка – правая,– левая. Тройка будет правой, если изменить направление, т.е.∎

Пример. Если – правая тройка, то

Далее базис всегда будем рассматривать правый.

4. .

Докажем первое равенство.

1. Вначале покажем равенство модулей.

.

2. Так как ||, то .

3. Покажем, что . Рассмотрим случайи.

Отсюда вытекает доказываемое свойство.

Определение 17.Смешанным произведением векторовназывается число

Обозначение:

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение некомпланарных векторов по модулюравно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях. Оно положительно, если тройка правая, и отрицательно, если она левая.

Доказательство.

Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторахравен произведению площади основания на высотугде– угол междуи

Поэтому

Знак смешанного произведения совпадает со знаком и поэтому, смешанное произведение положительно, когданаправлен св одну сторону от плоскости векторовт.е. тройка– правая. Аналогично, смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно. ∎

2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.

Пусть ,, 0.

Пусть ,,– компланарны. Тогда  .

Пусть  либо , либо .

В первом случае это означает, что вектор  векторам ,, ,,– компланарны. Во втором случае –|| и– линейно зависимы ,,– компланарны.

3. Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .

Доказательство. Тройки ,,и,,ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.

Обозначение. Смешанное произведение векторов ,,обозначается, .

4. .

Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.

5. , .

Следует из свойств скалярного произведения.

Теорема 5 (линейность векторного произведения). Для любых векторови любых чиселиимеет место равенство:

Доказательство. Воспользуемся линейностью смешанного произведения по второму сомножителю:

Выбирая вместо вектораортонормированного базиса, можно видеть, что координаты векторовиравны, а значит, равны эти вектора. ∎

6⁰. Выражение векторного и смешанного произведения векторов через координаты сомножителей

Пусть в пространстве векторов задан произвольный базис . Пустьзаданы своими координатами в этом базисе, т.е.

.

Тогда Так как, то получаем

В частности, если базис – ортонормированный, т.е. то в силу, получаем

Это равенство формально можно переписать в виде

Если ввести в рассмотрение третий вектор и вычислить смешанное произведение векторов, то получаем:

с учетом свойства равенства нулю смешанного произведения компланарных векторов. Отсюда следует, что

или, формально можно записать

Если рассматриваемый базис ортонормированный, то

7⁰. Двойное векторное произведение.

Определение 18. Двойное векторное произведение векторов ,,это произведение вида.

Выразим двойное векторное произведение через скалярное.

Пусть   и . Тогда, в силу   лежит в плоскости векторов и  . Умножим это равенство скалярно на. Имеем.

Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случаев обоих случаях). Тогда  , такое что ,.

Тогда

.

Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть векторнаправлен вдоль вектора,лежит в плоскости векторов и ,определяется из условия, что,,образуют правую тройку. Тогда , , .

Имеем

, .

.

.

Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула:

.

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

.

Имеем

,

,

.

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Вычислить .

Имеем:

()

.

8⁰. Примеры решения задач.

Пример 1. Вычислить синус угла между векторами ,.

Имеем: . . .

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , . Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то имеем

.

Если параллелограмм расположен в плоскости, то и

.

П

ример 3.Вычислим высоту тетраэдра, построенного на векторах ,,. Имеем

. Но

.

97