Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механизмы управления эколого-экономическими системами. Монография
.pdf
(
)
(
)
¶
(
)
w
()()(
)
()()(
)
(
)
(
)
w¢-
uz
-
+
¶
¶
u
(8)
ì
c
ï
ï
í
ï
ï
( )
î
Таким образом, u¢ и v¢ являются решением системы (8).
В дальнейшем в качестве иллюстративного примера будем рассматривать следующую зависимость уровня риска от объема выпуска и размера средств на снижение уровня риска [158]
(9)
( )
vuy
=-
.0,
xvuy
=, ,
u
() ()
где ω(u) и q(v) – известные дважды непрерывно дифференцируемые
функции, такие что
w
=q
w
=w
T
du
du
udz
du
()
u
+
qw
udz
--
ud
vu
q
dv
--
1
u
vd
x
(10)
(11)
(12)
()
()
В этом случае система (8) может быть представлена в виде16
ì
c
ï
ï
í
ï
ï
() ()
î
Выразив из второго уравнения системы (12) q(v), а затем, выразив v как функцию u и x, и подставив его в первое уравнение, получаем уравнение относительно u:
(13)
c .
Утверждение 2.2. Для того чтобы уравнение (13) имело решение, достаточно, чтобы выполнялись условия (1), (2) и (10), (11).
Доказательство утверждения 2.2. Обозначим
1
( )
,
vuy
¶
v
vu
q+w
=
0
=
0
=
v
¢
qw
=
¢
qw
=-
x
x
d
dv
¶
,
vuy
=
¶
u
w
du
q
¹
dv
,0
2
w
du
2
dv
ud
0,0 ,00
³
2
q
2
,
vd
0 ,0 ,0 ,0
£
.
ud
>
vd
>
,0
.0
0
=
q
( )
,
= xuvv
16
Символ «¢» у функции здесь и иногда ниже обозначает производную, нижний
индекс обозначает переменную, по которой производная вычисляется
71
()
(
)
w¢-
[
]
()(
)
~
()(
)
~
~
ˆ
<
<
(
)
dx
x
()(
)
u
udz
du
В силу условий (2) и (10) Y(0) = 0. С другой стороны, в силу условий (1), (10) и (11) можно подобрать такое u~, чтобы было спра-
()
ведливо неравенство
Таким образом, непрерывная функция Y(u) определена на отрезке
равные значения
u~,0 и в крайних точках этого отрезка она принимает не
()
u
0 Y<Y , а по теореме о промежуточном зна-
udz
du
u
x
+=Y .
d
q
x
dv
( )
xuvv
,1=
d
w
du
x
-
1
+=Y
~
uu
=
d
q
x
dv
=
~
uu
=
~
( )
xuvv
,
.
c
>
чении функции, для любого
шей мере, одна такая точка uˆ, uu
и доказывает утверждение 2.2.
Таким образом, изменяя предельно допустимый уровень риска x,
можно влиять на объем выпуска продукции на предприятии и на
объем средств, выделяемых предприятием на снижение уровня
риска.
Утверждение 2.3. Если зависимость уровня риска от объема выпуска и размера средств на снижение уровня риска определяются
выражением (9), и выполняются условия (10), то уменьшение допустимого уровня риска всегда приводит к уменьшению объема выпуска.
Доказательство утверждения 2.3. Необходимо показать, что
du
0>
. Из второго уравнения системы (12) получаем
x
() ()
мы (12), можно записать
ì
ï
ï
(14)
í
ï
ï
î
72
1
uv-w=q
ˆ
( )
,,
ˆ
( )
. Подставив это значение в первое уравнение систе-
udz
du
()
w
u
--=
q+w
vu
=
vuxФ
cvuxF
() ()
0 Y<<Y существует, по мень-
0
w-
'1
u
x
()
q
'
v
x
=-
.0,,
x
=
, что
,0
uc
ˆ
cu =Y
. Этот вывод
Эта система уравнений задает две функции одной переменной
(
)
w
()(
)
()(
)
qw-
(
)
w
(
)
q
(
)
()(
)
qw-
w
dx
u(x) и v(x). Производные этих функций, заданных системой (14),
записываются в виде
''''
ˆˆˆˆ
ФFФF
du
(15)
=
dx
и, соответственно,
dv
(16)
= .
dx
Так
ˆ
F
v
ˆ
Ф
v
'
x
= , 1
x
'
-= , то (15) можно переписать как
()
u
w
du
=
dx
é
ê
ë
Учитывая условия (10) и (11), можно утверждать, что числитель
и знаменатель этой дроби положительны, поэтому 0>
-
-
-
-
F
()
[ ]
'
v
q
v
2'
x
2
() ()
uzd
2
du
vxxv
''''
ˆˆˆˆ
ФFФF
uvvu
''''
ˆˆˆˆ
ФFФF
xuux
''''
ˆˆˆˆ
ФFФF
uvvu
'
ˆ
= ,
x
2
x
'''1
vu
2
x
+
x
u
'1
()
v
'
q
'
ˆ
Ф ,
x
u
-
()
u
w
''1
u
w-
()
'
v
q
ù
ú
û
-=
x
()
'
q
()
u
w
x
v
'
ˆ
F
u
'
ˆ
u
'''1'
2
()
[ ]
'
v
q
2
( )
1
--
vu
xx
2
uzd
--= ,
2
du
( )
xxФ
-='1
() ()
2
() ()
du
x
w-
x
q
u
и
()
u
w
'''
wq
'
qw
2
uv
2
vu
. Утвер-
[ ]
[ ]
u
''1
()
v
'
.
ждение 2.3 доказано.
Содержательно, результат утверждения 2.3 – довольно естественный вывод. Чем более высокие требования предъявляются к
уровню безопасности производства при действии механизма сильных штрафов, тем менее активно осуществляется производственная
деятельность, что и приводит к снижению уровня выпуска продукции. Но при этом остается вопрос: «Как изменяется объем средств,
выделяемых предприятием для снижения уровня риска, если происходит изменение допустимого уровня риска?».
Для этого определим количество собственных средств vd, которое выделяет предприятие на снижение уровня риска, если допустимый уровень риска принимает значение
73
(
)
*
(
)
(
)
()(
)
(
)
()(
)
(
)
(
)
®
(
)
(
)
w
*
( )
uyx
где d > 0 – малая величина. Для максимизации своей прибыли предприятие решает задачу (3), которую можно записать в виде
ì
=d-=
0, ,
®--
vuzcu
ï
()
w
í
ï
î
Пусть ud и vd – решение этой задачи. Тогда справедливо выражение
Очевидно, что при
u
(17)
lim
®d
w
d
0
( )
v
q
d
u
w
=
T
u
() ()
+
qw
=d
*
.
*
( )
=
vu
*
)(
u
*
( )
+w
Tu
max
*
( )
w
u
-
*
( )
+
w
w-qw
( ) ( )
[ ]
*
d
Tu
Tuvu
dd
q+w+w
vuTu
dd
d-
.
.
0 0
®w-qw®d
Tuvu или
dd
Докажем, что при
lim uu =
0
®d
что ud ≤ u* и vd > 0. Пусть u0 < u*, тогда в силу (10) справедливо
0
не будет. А это означает, что при
Фактически показано, что небольшое превышение y(u*, 0) над
допустимым уровнем риска не приводит к скачку средств, выделяемых предприятием на снижение уровня риска. Этот рост происходит
постепенно, по мере уменьшения x. С другой стороны, из утверждения 2.3 следует, что по мере уменьшения x происходит уменьшение
объема выпуска. Очевидно, что на всем диапазоне уменьшения x от
y(u*, 0) до 0 одновременное увеличение объема средств, выделяемых
предприятием на снижение уровня риска, и уменьшение объема
выпуска, происходить не может. Действительно, так как уменьшается объем выпуска, то падает и прибыль предприятия, а это может
привести к тому, что прибыль предприятия упадет настолько, что
окажется меньше объема средств, которые необходимо выделить на
снижение уровня риска. То есть, прибыль за вычетом средств на
74
и
lim vv =
0
d
*
uu w<w , поэтому даже если v
d
0
®d
. Из следствия к утверждению 2.1 следует,
0
0 uu ®®d
0
*
и
d
= 0, равенство (17) выполняться
0 uu ®®d
v
d
. Обозначим
0
d
*
и 0®
v .
d
снижение уровня риска окажется отрицательной. В то же время,
=
¢
dx
(
)
[
]
()(
)
()()(
)
[
]
(
)
dx
()()(
)
[
]
()()(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
()()(
)
[
]
¢
(
)
w
предприятие может просто определить объем выпуска из условия (6),
который обеспечит для него положительную прибыль и при этом
v = 0. Следовательно, при некотором достаточно маленьком x = xm из
решения системы (12) можно получить 0
уменьшении x на отрезке [
чала возрастает от нуля до некоторой величины, а потом убывает до
нуля. А в этом случае производная
жительной, а потом отрицательной.
Перепишем (16) в виде
x
dv
=
dx
é
ê
ë
Знаменатель этой дроби положителен. Поэтому знак производной определяется числителем. Запишем его в виде
Легко видеть, что
x
2
() ()
uzd
+
2
du
ì
-
1
-
x
í
()
q
'
vx
î
x ; y(u
'1
u
w-
()()
'
qw
''1
x
w-
()
'
x
q
m
2
vu
u
v
ù
ú
û
w
dv
q
w
()
v . А это значит, что при
*
, 0)] значение переменной v¢ сна-
dv
должна быть сначала поло-
2
é
uzd
ê
2
du
ë
()
'
v
2
()
u
w-ww
'''
uuu
u
может менять знак, если
x
+-
x
( )
1
xx
--
2
+
2
du
''1
u
w-
()
'
v
q
() ()
2
() ()
ü
uzd
ý
2
þ
ù
ú
û
[ ]
'''
uv
wq
2
[ ]
'
vu
qw
.
2
.
2
Обозначим
гда можно записать
представим в виде
рируя его, получаем
0'''
<w-ww uuu .
''' , где X(u) < 0, то-
w-ww
2
()
[ ]
u
w
() () ()
u
'
()
u
w
[ ]
-
2
()
[ ]
u
w
()
X=
ò
www
duu
22
uuuuu Xw=w-ww
2
uuu
'''
2
uuu
. В свою очередь, это выраже-
()
u
X=
. Это выражение
()
w
''''
()
w
u
u
ö
÷
÷
ø
()
X=
u
. Интег-
æ
ç
=
ç
è
75
ние можно представить в виде
¢
()(
)
(
)
(
)
u
u
(
)
(
)
()(
)
(
)
r
()
[ ]
w
ln , интегрируя
ò
()
X=
duuu
которое, получаем
Из этого равенства можно определить
разом, задавая функцию X(u) < 0, можно определить w(u).
Пусть
рируя еще раз, получаем
(18)
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим следующий пример. Пусть
(19)
где q – объем продукции, обеспечивающий предприятию минимальную себестоимость продукции; r – минимальная себестоимость; w –
коэффициент, характеризующий влияние объема выпуска продукции
на уровень природно-техногенного риска; q0 – коэффициент, характеризующий эффективность использования средств, направляемых
на снижение уровня риска; T – показатель, характеризующий безопасность производства.
Зависимость
k = 2, C1 = 0,
()
u -=X , где k > 0, тогда
k
euu+=w
æ
1
ç
qrz ,
ç
2
è
k
2
CuC
21
2
u
q
ö
÷
+= 1
2
÷
ø
C
2
ew = . Тогда
uwu =w получается из (18), если положить
X=wln .
ò
2
duuu
eu
=w . Таким об-
'
()
[ ]
ln C
u +=w . Интег-
lnln CuCuku ++=w или
2
,
21
qqw
0
duu
X
ò
k
1
Tvvuwu +==
,
2
( )
(20)
ограничения на уровень риска, объем выпуска составил бы величину
*
u =
определения объема выпуска необходимо решить систему уравнений
(12), которую в этом случае можно переписать в виде
76
vuy
=
,
Если бы при функционировании предприятия не накладывались
cq
, а уровень риска был бы равен
Если же допустимый уровень риска x таков, что xy >
wu
2
q
0
.
Tvwu
++
22
*
y+= .
qwc
222
Trqwc
*
, то для
(
)
ì
q
(
)
-
¶
(
)
+
-
¶
q
ï
ï
í
ï
ï
î
Решение этой системы дает:
qcx
u
= ,
Отсюда легко получить
и, соответственно,
0
( )
12
q
+-
0
u
=
¶
x
-
2
r
--
u
c
q
2
wu
2
q
0
q
= .
rxxqw
qc
q
0
[ ]
Tv
q
0
u
q
++
Tvwu
0
( )
22
=
,0
0
=
x
22
cqwv -
[ ]
2
qw
.
-+
( )
12
q
0
1
xx
+-
>
2
xrqwqw
T
2
q
rxxqw
0
0
,
q
0
v
=
x
¶
Из последнего выражения видно, что
v
¶
x
¶
(21)
v
¶
x
¶
То есть, существует такой уровень риска, при котором объем
средств, направляемых предприятием на поддержание уровня безопасности, оказывается максимальным.
Пусть r = 20, q = 200, c = 80, w = 0,01, q0 = 0,8 и T = 1500. Графики изменения объема выпуска и размера средств на поддержание
уровня безопасности в зависимости от предельно допустимого уровня риска представлены на Рис. 24 и Рис. 25.
Из выражения (21) и Рис. 25 видно, что максимальный объем
средств, направляемых на снижение уровня риска, предприятие
направляет при установленном предельном уровне риске равным 0,2.
На Рис. 26 представлена зависимость изменения прибыли предприятия в зависимости от предельно допустимого уровня риска.
если ,0
x
если ,0
x
22
cqw
q
0
[ ]
q
2
<>
>>
qw
2
+
2
qw
2
+
22
0
( )
,
rqw
q
0
.
rqw
q
0
xrqwqw
0
.
12
3
xqwrx
-+
77
800
700
600
500
Объем выпуска
400
300
200
100
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Уровень риска
Рис. 24. Изменение объема выпуска в зависимости от
предельно допустимого уровня риска
7000
6000
5000
4000
риска
3000
2000
1000
0
Объем средств на снижение уровня
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Уровень риска
Рис. 25. Изменение размера средств на поддержание уровня риска
в зависимости от предельно допустимого уровня риска
78
35000
()(
)
30000
Прибыль
25000
20000
15000
10000
5000
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Уровень риска
Рис. 26. Изменение прибыли в зависимости от
предельно допустимого уровня риска
Анализ показывает, что в данном примере предприятию (при
действии механизма сильных штрафов), имеет смысл начинать выпуск продукции, если предельно допустимый уровень риска больше
0,001, в противном случае производственная деятельность принесет
предприятию только убытки.
2.2. МЕХАНИЗМЫ ПЛАТЫ ЗА РИСК
При использовании механизма платы за риск основным рычагом, позволяющим управлять уровнем риска, является цена риска l,
которая устанавливается центром [17, 32, 98, 157]. В этом случае
прибыль предприятия определяется как
(1)
vvuyuzucf -l--= , .
Для максимизации своей прибыли предприятие определяет,
сколько продукции u ³ 0 надо выпустить, и какой объем средств
v ³ 0 необходимо направить на снижение уровня риска. Другими
словами, предприятие решает задачу
79
()(
)
¶
¶
¶
¶¶uyuzu
¶
¶¶vyv
d
()(
)
~~~
~
()()()(
)
,
udz
l--=
,
vuy
vuy
=
¶
u
=-
,0
.01
v
(2)
¶
f
ì
c
ï
ï
¶
u
í
¶
f
ï
ï
¶
v
î
du
( )
¶
l-=
¶
Пусть u* и v* – решение системы (2). Тогда u* и v* обеспечивают
получение максимальной прибыли предприятию, если выполняются
условия максимума:
2
(3) 0
(4) 0
(5)
f
2
2
f
2
¶
=D
¶
2
¶
-=
2
2
¶
l-=
2
2
¶
f
f
2
2
¶
v
u
2
¶
l-
<
2
æ
ç
-
ç
è
<
,
2
,
2
2
ö
¶
f
÷
÷
¶¶
vu
ø
2
æ
¶
ç
l=
ç
¶
u
è
¶
z
l+
2
¶
2
2
ö
¶
y
÷
2
÷
¶
v
u
ø
æ
y
2
ç
l-
2
ç
è
2
2
ö
¶
f
¶¶
vu
.
÷
0
>
÷
ø
Утверждение 2.4. Если u* и v* – решение системы (2) и u* и v*
обеспечивают предприятию получение максимальной прибыли, то
увеличение цены риска всегда приводит к уменьшению объема
выпуска.
Доказательство утверждения 2.4. Достаточно показать, что
du
0*<
. Систему уравнений (2) запишем в виде
l
¶
,
udz
l--=l
du
( )
¶
,
l-=l
vuy
¶
v
(6)
~
ì
ï
ï
í
~
ï
ï
î
( )
,,
( )
,,
vuФ
cvuF
Эта система уравнений задает две функции одной переменной
u(l) и v(l). Производная функции u(l) записывается в виде
''''
ФFФF
(7)
du
d
=
l
-
vv
ll
.
~~~~
''''
ФFФF
-
uvvu
Так как
,
vuy
(8)
F
Ф
~
~
¶
-=
l
l
¶
( ) ( ) ( )
¶
-=
¶
~
,
F
u
,
vuy
,
Ф
v
¶
''
-=
~
''
l-=
vuy
=
¶
u
=-
2
uz
2
u
¶
2
¶
¶¶
,0
.01
2
,
Ф
vuy
~
'
,
F
2
u
¶
~
'
vu
vu
2
¶
l-=
v
¶
¶
l-
,
vuy
,
vu
2
,
¶
l-=
,
vuy
2
vuy
,
vu
¶¶
,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]