Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы дискретной математики. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
Пример. Составным элементом нервной системы является нейрон.
Это устройство предназначено для того, чтобы не пропускать слабые возбуждения и передавать достаточно регулярные и сильные.
Одна из моделей нейрона. Нейрон
N
имеет n входов, по которым в
некоторый момент времени t могут поступать возбуждения. Если в момент
t более h входов нейрона возбуждены, то на выход нейрона поступает воз-
буждение, в противном случае оно не поступает. Обозначим входы
нейрона
1
x
, …,
n
x.
Будем говорить, что вход
i
x
принимает значение 0 в
момент t, если он не возбужден в этот момент, и значение 1, если
i
x
воз-
бужден в момент t. Состояние выхода
h 1 n
A (x , ,x )K
однозначно опреде-
ляется соотношением входов и числом h. Будем считать
h 1 n
A (x , ,x ) 1,=K
если среди значений
1n
x , ,xK
более h равняется 1;
h 1 n
A (x , ,x ) 0,=K
если
среди значений
1n
x , ,xK
не более h равняется 1.
h 1 n
A (x , ,x )K
является булевой функций n переменных.
При вычислении значения булевой функции логические опера-
ции вычисляются в указанном порядке (при отсутствии скобок): инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее или, импликация, эквивалентность. Операции одного приоритета выполняются слева направо.
Порядок действий в формуле можно изменить с помощью скобок.
2 . 3 . Р а в н о с и л ь н ы е ф о р м у л ы л о г и к и в ы с к а з ы в а н и й .
С Д Н Ф , С К Н Ф
Пусть булева функция задана таблицей истинности. Построим
соответствующую ей формулу.
В качестве примера построим формулу по табл. 2.7
Таблица 2.7
р1
p2
F(p1,p2)
0 0 1 0 1
0 1 0
0 1 1
1
22
Для построения формулы можно использовать следующий ал-
горитм.
Выберем строки, соответствующие истинным значениям булевой
функции, т. е. строки, где F(p1,p2)=1.
Первой строке ставим в соответствие формулу p1p2, четвертой
p1p2, тогда формула будет иметь вид
F(p1,p2)=( p1p2)( p1p2).
Легко проверить, что табл. 2.7 является таблицей истинности для
построенной формулы.
Таким образом, формула F(p1,p2) построена как дизъюнкция
конъюнкций. С другой стороны, табл. 2.7 реализует формулу
1 2 1 2
F(p ,p ) p p=
.
На примере мы увидели, что одну и ту же логическую функцию
можно задать различными формулами логики высказываний. Такие
формулы логики высказываний называются равносильными или экви-
валентными.
Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция нескольких
логических переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причем среди переменных могут быть одинаковые.
Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция нескольких
логических переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причем среди переменных могут быть одинаковые.
Дизъюнкцию элементарных конъюнкций называют дизъюнктив-
ной нормальной формой (ДНФ). Всякую конъюнкцию элементарных
дизъюнкций называют конъюнктивной нормальной формой (КНФ).
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ)
называется дизъюнктивная нормальная форма, в которой нет равных
элементарных конъюнкций и все они содержат одни и те же переменные, причем каждую переменную только один раз (возможно с
отрицанием).
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ)
называется конъюнктивная нормальная форма, в которой нет равных
элементарных дизъюнкций и все они содержат одни и те же переменные, причем каждую переменную только один раз (возможно с отрицанием).
23
Таблица 2.8
Название
Примеры
Элементарная дизъюнкция
1. X V X 2. X V Z 3. X V Y V Z
Элементарная конъюнкция
1. X X 2. X Z 3. X Y X
ДНФ
1. XX V XYZ 2. XY V Y V XZ
КНФ
1. (X V Y V X) (X V Z)
2. X (X V Y) (Y V Z)
СДНФ
XYZ V XYZ
СКНФ
(X V Y V Z) (X V Y V Z)
Покажем, как по таблице истинности можно получить СДНФ и
СКНФ.
Построим логическую функцию, заданную табл. 2.9.
Таблица 2.9
X Y F(X,Y)
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
СДНФ
СКНФ
1. Отметим строки таблицы, выходы которых равны
1
X Y f(X,Y)
0 0 0 0 1
1* 1 0
1* 1 1
0
|
0
X Y f(X,Y)
0 0 0* 0 1 1 1 0 1 1 1
0*
2. Выписываем для отмеченных строк комбинацию переменных через знак
конъюнкции ()
дизъюнкции (V)
Расставим знаки операции отрицания по правилу:
24
если переменная =1, то пишем
саму переменную, если она = 0, то
пишем ее отрицание.
(X Y) для 2-й строки
(X Y) для 3-й строки
|
|
|
|
|
|
если переменная =0, то пишем
саму переменную, если она = 1, то
пишем ее отрицание.
(X V Y) для 1-й строки
(X V Y) для 4-й строки
3. Все полученные выражения связываем операцией
дизъюнкция
(X Y) V (X Y)
|
|
конъюнкция
(X V Y) (X V Y)
Простейшие равносильности:
1. Законы двойного отрицания:
aa =
.
2. Законы коммутативности: аb=ba, аb=ba.
3. Законы ассоциативности:
(аb)c=a(bc); (ab)c=a(bc).
4. Законы дистрибутивности: а(bc)=(ab)(ac);
a(bc)=(ab)(ac).
5. Законы де Моргана:
a b a b a b a b = = ; .
6. Законы поглощения: аa=a; aa=a.
7. а1=a, a1=1.
8. a0=0; a0=a.
9. aa=0; aa=1.
10. ab=ab.
11. Закон контрацепции (правило перевертывания):
a b=b a
12. ab=(ab)(ba)=(ab)(ab).
13.
a b=a b
Покажем что СДНФ и СКНФ полученные по табл. 2.8 эквива-
лентны. Для этого преобразуем СКНФ по правилам алгебры логики:
(X V Y) (X V Y) = XX V XY V XY V YY = XY V
X Y.
Рассуждение (высказывание) называется логически правильным,
если формула, представляющая его, тождественно истинна.
25
2 . 4 . П р и м е р ы
Представить логическими формулами высказывания:
1. Сегодня понедельник или вторник.
2. Идет дождь или снег.
3. Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши
мокрые.
4. Что в лоб, что по лбу.
Решение. 1. Если высказывания a – сегодня понедельник, b – сего-
дня вторник, то высказывание сегодня понедельник или вторник – ab.
2. a – идет дождь, b – идет снег. Идет дождь или снег – ab.
3. a – идет дождь, b – крыши мокрые. Если идет дождь, то крыши
мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые –
( ) ( )
→ a b a b
.
4. А – в лоб, В – по лбу. Что в лоб, что по лбу ab.
Упростить формулы:
5. F=(p1→p2) →((p2→р3) →(p1p2→p3).
Решение. Удалим везде логическую операцию “→” (). Для этого
используем равенство ab=ab.
Получим: F= (р1р2)(( р2р3)((р1р2) р3);
Используем закон де Моргана:
F=р1р2р2р3р1р2р3;
Применим свойство дистрибутивности:
F=( р1р1) р2р2р3р3;
( р1р1)=1, следовательно F=р2р2р3р3;
Еще раз применяем свойство дистрибутивности:
F=р2(р2р3) (р3 р3)=р2(р2р3);
Применим свойство ассоциативности:
F=(р2р2)р3=1
6. F=(р1→р2)(р3р4)(р1р2)(р3р4).
Решение. Применяем действия, аналогичные предыдущему при-
меру: F=(р1р2)(р3р4)(р1р2)(р344)=
=р1р2(р3р4) р1р2(р3р4)=
=(р1р1)р2(р3р4)=р2(р3р4).
7. Записать СДНФ и СКНФ для функции, заданной таблицей ис-
тинности:
26
a b c
F(a,b,c)
0 0 0
1
0 0 1
0
0 1 0
0
0 1 1
1
1 0 0
1
1 0 1
0
1 1 0
0
1 1 1
1
Решение. a) формула СДНФ:
F(a, b,c) = abcabcabcabc;
б) Формула СКНФ:
F(a, b,c|)=(abc)(abc)(abc) (abc).
8. Построить таблицу истинности для формулы
F=
( )
→ a b c
.
Решение. Определим порядок выполнения операций в записан-
ной формуле
1
3 2 4
→
a b c
.
a
b c b
→ab
() → ab
() → a b c
0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 1
27
2 . 5 . У п р а ж н е н и я д л я з а к р е п л е н и я м а т е р и а л а
1. Какое из выражений не является высказыванием ?
а) А–В; б) A; в) A =>B =>С; г) А.
2. Из определения логической формулы определить, являются ли
формулами выражения и почему.
а)
( )
( )
( )
( )
( )
A B C D A C D → → :
;
б)
( )
( )
( )
A B C D B → →:
.
3. Записать логическими формулами высказывания:
а) если поздно ложишься спать и пьешь много кофе, то с утра
либо болит голова, либо плохое настроение;
б) если небо облачное, то идет дождь, а если небо ясное, то дождя
не будет.
4. Выбрать верные формулы для высказываний:
а) если студент не занимается, то он не сдаст экзамен:
1)
→ab
; 2)
→ab
; 3)
:ab
; 4)
:ab
.
б) число 14 делится на 7 и не делится на 8:
1)
ab
; 2)
ab
; 3)
ab
; 4)
ab
.
5. Даны два высказывания: А – «Сегодня на ужин будет суп»; В –
«Сегодня на ужин будет пюре». Какое из высказываний соответствует
формуле
ab
?
1) «Сегодня на ужин будет суп только вместе с пюре»;
2) «Сегодня на ужин будет суп и пюре»;
3) «Если сегодня на ужин будет суп, то будет и пюре»;
4) «Сегодня на ужин будет суп или пюре».
6. Записать логической формулой высказывание: «Если фирма
продолжает выпуск товара и ориентирована на существующий рынок,
то для нее целесообразна, либо стратегия “малого корабля”, либо “экономия издержек”. Такой подход эффективен, если интенсивный маркетинг – стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона
фирмы. Если интенсивный маркетинг – сильный стратегический фактор и сильная сторона фирмы, то ей следует выбрать стратегию захвата
новых рынков сбыта товара».
28
7. Записать формулами логики высказываний два определения
равенства множеств.
Определение 1. Множества X и Y равны, если для любого элемента a из условия, что a принадлежит X, следует a принадлежит Y, и
если a не принадлежит X, следует a не принадлежит Y.
Определение 2. Множества X и Y равны, если для любого элемента a из условия, что a принадлежит X, следует a принадлежит Y, и
если a принадлежит Y, следует a принадлежит X.
8. Какая формула равносильна операции
xy:
?
1)
x y x y
; 2)
x y x y
; 3)
xy
; 4)
( )
( )
x y x y
9. Какая из таблиц истинности соответствует высказыванию
ab
?
1) 2)
3) 4)
10. Упростить формулу
a b c a a b
. Проверить преобра-
зование, составив таблицу истинности формулы
a b c a a b
11. С помощью таблиц истинности проверить являются ли экви-
валентными высказывания:
29
а)
( )
=
1
f a b c
и
( )
( )
=
2
f a b a c
;
б)
( )
=
1
f a b c
и
( ) ( )
=
2
f a b a c
;
в)
( )
=
1
f a b c
и
( )
( )
=
2
f a b a c
;
г)
( )
=
1
f a b c
и
( ) ( )
=
2
f a b a c
.
12. Доказать эквивалентность формул:
( )
( )
( )
c=
1
f a b a b c a b
и
( ) ( )
=
2
f a b b c
;
13. Упростить формулу
a b c b
при заданных значений ло-
гических переменных:
а) а=0; б) а=1: в) b=0; г) b=1; д) с=0; е) с=1.
14. Проверить правильность рассуждения:
«Если Марианна – не дочь дона Педро, то либо Хосе Игнасиас –
отец Марианны, либо Луис Альберто – не ее брат. Если Луис Альберто – брат Марианны, то Марианна – дочь дона Педро и Хосе Игнасиас лжет. Если Хосе Игнасиас лжет, то либо Луис Альберто – не брат
Марианны, либо Хосе Игнасиас – ее отец. Следовательно, Марианна –
дочь Педро».
15. Из предложенных формул найти СДНФ функции
( )
x y z
.
1)
( )
( )
x y z x y z
; 2)
( ) ( )
x y z x y z
;
3)
( ) ( )
x y z x y z
; 4)
( )
( )
x y z x y z
.
16. Найдите СДНФ и СКНФ функции, заданной таблицей истин-
ности, и упростите.
a b c
f 0 0 0 1
0 0 1
0
0 1 0
0
0 1 1
1
1 0 0
0
1 0 1
1
1 1 0
0
1 1 1
1
30
17. Найдите СДНФ и СКНФ функции, заданной таблицей истин-
ности, и упростите.
a b c f 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1
0
18. Логическую функцию
( )
( )
( )
c f= a b a b
представить
в виде СДНФ.
19. Логическую функцию
c f=a b a b
представить в виде
СДНФ и упростить.
Ответы
1. а. 2. а) выражение является формулой; б) не является формулой.
3. а)
→ a b c d
; б)
( )
( )
→ →a b a b
. 4. а) 2; б) 4 . 5. 4.
6.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
→ → →: : la b c d e f c d e m
.
7.
( ) ( )
( )
→ → →a b a b c
;
( ) ( )
( )
c→ → →a b b a
. 8. 2. 9. 2. 10. 1.
11. а ) да; б) нет; в) нет; г) да. 13. а) 1; б)
cb
; в) a; г)
ac
;
д)
ab
; е) 1. 15. 4. 16.
( )
b c b a c
. 17.
( )
( )
b a a c
.
18.
a b c a b c a b c a b c a b c
. 19.
ab
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]