Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Репетитор по физике. Квантовая механика. Учебное пособие
.pdf
Решение
ψ
⋅=
()
ki
=
UE=−
()
ψ
==
11
,ê
−
,ê
ìÀ
==
ìÀ
==
−−
1À
10 10
−−
− ì
ψ
∆=
2
ψ
0
Из условия задачи
Найдём вид
2
ψ
õ
2
2
. Уравнение Шрёдингера для области II
ýôô
=
å
. (1)
2
запишется в виде:
2
Обозначим
мнимое, т. е.
d
dx
2
m
2
k
, где k
2
m
2
ψ
22
EU k
EU
+−
()
−
= . Во второй области k
2
2
m
2
0
ψ
. (2)
. С учётом этого ре-
–
2
шение уравнения (1) можно записать в виде:
−
ik x
2
Âå Bå
22 2
2
Â
2
=
kxx
−
2
2
2
Âå
ýôô
2
−
kx
å
, откуда
. Подставляя это значение в (1), получим:
x
ýôô
= =
k
2
2
2
, т. е. чем больше
m (U E)
−
масса, тем меньше глубина проникновения. Пусть имеем элек-
−
трон
me=⋅
91 10
31
ã
. Рассчитаем
Сделаем то же самое для протона
x
=
ýôô
õ
=
ýôô
10510
,
10510
2
⋅
,
2
−
34
⋅
−
34
1
⋅⋅ ⋅⋅
,,
291101610
1
⋅⋅ ⋅⋅
,,
2167 10 16 10
Из расчёта следует:
1. Поскольку размер атома порядка
õ
, когда U – E = 1 эВ.
ýôô
òð=⋅
16710
−
−−
31 19
−−
27 19
10 1
12 2
10 10
î
27
ã
:
10
î
;
î
.
, то электрон
может туннелировать из атома, а протон – практически нет.
2. Размер ядра
14 15
, поэтому протон может
туннелировать из ядра.
π
Задача 4. Функция
õ
=
()
2
x
sin описывает основ-
ное состояние частицы в бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной . Вычислить вероятность нахождения
частицы в малом интервале
001, в двух случаях
41
(рис. 19):
()
22
∆∆
xd
px
22
ππ
xx
−−
0
0
⋅=
n,
10
λ
λ
λ
πλ
λ
1. Вблизи стенки 0 ≤≤
2. В средней части ящика
x ∆ .
Рис. 19
−≤≤+
22
õ .
Решение
По определению dp
001
,
∫
0
001
222
pxdx x=
Диапазон ∆
ψ
гать
p
Задача 5. Атом испустил фотон с длиной волны
λ
= 5500À
π
sin
2
x
=
î
dx=
. В данном случае
2
ππ
001
,,
2
==⋅=⋅
3
3
∫∫
лежит вблизи max, поэтому можно пола-
= const, тогда:
2
ψ
2
2
=⋅
∆∆si
π
2
26 6
π
10 66 10
3
2
=⋅
. Продолжительность излучения
2
()
2
x=
≈
ψ
sin
,
2
1001 002
. Имеем:
2
. Тогда
.
, .
8−
с. Определить наименьшую погрешность, с которой может быть измерена длина волны излучения.
Решение
2
c
π
Энергия фотона E
==
ω
.
Возьмем производ-
ную по λ
dE c
=−2
π
или ∆∆Ec=−
d
2
2
,
2
42
()
⋅≥
2
88
Ðõ
откуда:
∆
λ
=
E
∆
2
π
2
λ
. (1)
c
Соотношение неопределенностей Гейзенберга для
энергии и времени:
∆∆Et
, откуда ∆
=
. (2)
Ɓt
2
Подставляя (2) в (1), получим:
∆
λ
=⋅ ==
∆∆
22 4
22 214
λ
tctc
π
λ
π
55 10
,
−
410314 310
⋅⋅⋅⋅
−
⋅
,
−
14
10
=
м.
Задача 6. Электрон находится в одномерном беско-
нечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислить вероятность того, что электрон, находясь в возбужденном состоянии (n = 2), будет находиться
в средней трети ящика (рис. 20).
Рис. 20
Решение
По определению вероятность Р обнаружить частицу
в интервале x1< x <x2 определяется равенством
где – нормированная собственная ψ-функция, отвечающая данному состоянию.
В нашем случае n = 2, тогда:
õ
2
=
∫
õ
1
ψ
()
ï
2
dx
,
(1)
43
ψ
n.
ll
ll
22
xl
12
3
3
,.
nc
ππ
−⋅xx
ss
mn
22
11
n =∞
m = 1
σ
=
12
Поставив (2) в (1), получим:
P
() si
2
=
xl
22
x
x
2
2
sin
∫
x
1
1
= =
π
x=
(2)
π
xdx
; (3)
2
Заменив в (3) 2
2
2
si
1
⋅=
os
4
, возьмем инте-
грал:
l
23
/
dx
sinsin sin,
co
∫∫
l
3
/
8
ππ
3
π
xdx
l
4
=− ⋅⋅ =
3
ll
=−
l
34
131
4
π
4
π
x
in
l
π
π
2
3
01
995.
l /
23
l
/
33
=
(4)
P
=−
131
=− −
l
23
/
141
l
l
3
/
4
π
Задача 7. Граничная длина волны К-серии характери-
стического рентгеновского излучения некоторого элемента
равна 0,1284 нм. Определить этот элемент.
Решение
По закону Мозли:
c
RZ
() ,
=− −
λ
2
σ
Фотон с граничной длиной волны в К-серии излучается при переходе с уровня
ная экранирования в этом случае
2
σ
−=
0128410329 10
,,
⋅⋅ ⋅
Z
c
=+=
λ
R
() ;Z
σ
c
11
λ
R
mn
8
310
⋅
915
−
на уровень
1. Тогда
c
=
λ
R
−
22
1266
+= +≈
. Постоян-
, .
7
Этим элементом является кобальт.
44
Задача 8. Определить минимальную длину волны тор-
30 75ê êÂ,
eU
,ì
()
=
,ì
EeU=
λ
мозного рентгеновского излучения, если к рентгеновской
трубке приложены напряжения
.
Решение
Коротковолновая граница сплошного рентгеновского
спектра определяется по формуле
34 8
66310310
,
=
λ
1
16 10 310
66310
=
λ
2
16 10 75 10
,,
−
⋅⋅⋅
19 4
−
⋅⋅⋅
,
−
⋅
,
19 4
−
⋅⋅⋅
3
448
310
⋅⋅
hc
λ
=
−
41 10
=⋅
,
16610
=⋅
. Тогда
11
ì;
11
−
.
Задача 9. При каком наименьшем напряжении на
рентгеновской трубке с железным антикатодом
Z
26 по-
являются линии К-серии?
Решение
К-линии появляются при переходе электрона со второ-
го энергетического уровня на первый. Найдём длину волны
этой линии по формуле Мозли:
111
′
RZ
=
λ
λ
=
⋅
, 110 26 11
1097
()
=
′
RZ
()
1
7
()
2
−
σ
nê
1
11
2
−
σ
22
nê
1
2
−
−
4
;
−
22
=
−
19410
=⋅
10−−
.
гия бомбардирующего электрона
энергии кванта E
Линия с таким значением λ может появиться, если энер-
будет не меньше
hc
=
. Приравняв эти выражения, получим:
45
eUhc=λ, откуда
U
e
j
этих уровней и момент инер-
Е
0
э
0‐4э
J
=+
()
2
jj
J
jj
12
2
23
()
()
66310310
,
U =
⋅⋅⋅
−−
16 10 19410
19 10
,,
⋅⋅⋅
−
34 8
hc
=λ;
6408
=
Â.
Задача 10. В эксперименте измерены энергии перехода
между тремя последовательными уровнями энергии вращательной полосы двухатомной молекулы (рис. 21). Найти квантовые числа j этих уровней и момент инерции J молекулы.
3
‐4
21
11
В
В
Е
2
Е
1
Рис. 21
Решение
Вращательные энергии молекул определим по форму-
2
ле
E
r
jj
1
. Для каждого из трёх уровней запишем:
2
E
1
E
2
E
3
jj
=+
J
2
2
=+
J
2
2
=+
1
;
()
()
()
+
+
(1)
;
.
Из (1) найдём разность энергий между двумя уровнями:
Отношение
2
J
+
J
+
I
2
2
I
2
21210
∆∆EEE
=−=+
12 21
EEE
=−=+
23 32
∆∆Å
23
Å
12
46
J
110
()
J
()
⋅
=
110
⋅
−
=
=⋅
2210
−
4
2=
=
−
4
4
.
ýÂ
;
−
4
(2)
ýÂ.
Следовательно,
J = 0
= = =
()
HCl
,ý
d = 1275,íì
J
()
2
()
J
()
j
I
I
I
()
()
()
()
2
2
2
HCl
=⋅
m
ответствуют JJJ
012,, .
, и указанным трём уровням со-
Момент инерции определим из (2):
2
()
I
=
∆
J
+
E
12
105101
,
1
=
⋅
419
−−
⋅⋅⋅
1101610
2
34
−
⋅
,
=⋅ ⋅
710
46
−
êã ì
2
.
Задача 11. Определить для молекулы
вращатель-
ные квантовые числа для соседних уровней, разность энер-
−
гий которых ∆E =⋅
52110
3
 , а межъядерное расстояние
.
Решение
Вращательные энергии молекул могут принимать
только дискретные значения, равные
2
E
=
r
где j – вращательное квантовое число j =
jj
1
+
, (1)
012,,,... ;
– момент инерции молекулы относительно оси, проходящей через центр инерции.
Используя (1), найдём разность энергий между двумя
уровнями j +
Момент инерции молекулы
где
- приведённая масса, равная
ïðèâ
1 и
∆E
ò
ò
:
222
Jj
=
òò
ÍÑl
=
ïðèâ
òò
ÍÑl
=⋅
16710
,
Í
+
21
+
Im d
ïðèâ
⋅
+
35 5
=
36 5
2
−
77
êã
−
,
,
JJ
1
+
J
=
+
равен
2
, (3)
2
ò
⋅
⋅
35 5
,
Í
=
ò
Í
36 5
,
ò
.
Í
(4)
1
. (2)
Из формул (2), (3) и (4) получим:
47
Emd
−−
()
JJ+= =12 1,a
= 2
=+
()
,Äæñ
α
=± ±
mm= =
2
αα
==2452,;
UU= =
Âê
;.
⋅⋅
35 5
J
()
−−
319
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
521101610355 1671
,, ,,
=
∆ ,
+
=
1
10510365
,,
()
2
2
34
−
⋅
2
H
⋅
36 5
,
27 12
00127 510
⋅⋅
⋅
=
2
,
.
2
=
Таким образом,
.
Задача 12. Электрон в атоме находится в d-состоянии.
Определить: 1) момент импульса электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля.
Решение
d-состояние электрона характеризуется орбитальным
квантовым числом
−
где
=⋅ ⋅
10510
34
, а момент импульса электрона
α
1 , (1)
– постоянная Планка.
Проекция момента импульса на направление внешнего магнитного поля
где m
01,,..., - магнитное квантовое число. Выраже-
ние (2) максимально при
m= , (2)
z
max
.
Подставляя числа в (1) и (2), получим:
z
max
.
6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Электрон прошёл ускоряющую разность потенциалов
U. Найти длину волны де Бройля для случаев
51 510
Вариант 1
Â
48
2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода по-
10
−
100ýÂ
Êα-
,,
,.⋅
−
рядка 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.
3. Положение свободного электрона определено оптическим методом с точностью до
4
см. Чему равна нео-
пределённость в определении его скорости?
4. Вычислить дебройлевские длины волн электрона, протона и атома урана, если известно, что их кинетические
энергии одинаковы и равны
.
5. Вычислить с помощью закона Мозли:
а) длину волны линии Êα для алюминия и кобальта;
б) разность энергий связи К- и L- электронов ванадия.
6. Определить напряжение на рентгеновской трубке с никелевым антикатодом, если разность длин волн между
линией и коротковолновой границей сплошного
11
спектра 84 10
, ⋅
−
м.
7. Электрон находится в одномерной потенциальной яме
с бесконечно высокими стенками (рис. 2). Ширина ямы
1 нм. Определить наименьшую разность энергетических
уровней электрона.
8. Найти граничную длину волны К-серии рентгеновского
излучения от платинового катода.
1. При каком наименьшем напряжении на рентгеновской
трубке с железным антикатодом появляются линии К-серии?
2. Определить минимальную длину волны тормозного
рентгеновского излучения, если к рентгеновской трубке
приложены напряжения 30 кВ, 75 кВ.
3. Вычислить для молекулы HF число вращательных уровней, расположенных между нулевым и первым возбуждёнными колебательными уровнями. Собственная частота колебаний этой молекулы равна
расстояние между ядрами
Вариант 2
0917 10
49
8
77910
ñì
14
⋅ ðàä/ñ
4. Найти собственную частоту колебаний и коэффициент
Uk
⊕01,.íì
= 200ïì
()n = 4
B =15 ìÒë
R = 14,ì
квазиупругой силы молекулы S2, если известно, что в колебательном спектре комбинационного рассеяния света
длины волн красного и фиолетового спутников, ближайших к несмещенной линии, равны 346,6 нм и 330 нм.
5. Частица массы m движется в одномерной потенциальном поле
2
x=
2/ (гармонический осциллятор). Оце-
нить с помощью соотношения неопределённостей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
6. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить
электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 0,1 до 0,05 нм.
7. Оценить с помощью соотношения неопределённостей
минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося в области, размер которой
≈0,1нм.
8. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной
потенциальной яме шириной на втором энергетическом уровне. В каких точках ямы плотность вероятности
обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности?
Вариант 3
1. Определить длину волны де Бройля электрона, прошед-
шего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.
2. Электрон в одномерной прямоугольной «потенциальной
яме» шириной
ми находится в возбуждённом состоянии
с бесконечно высокими стенка-
. Определить: 1) минимальную энергию электрона; 2) вероятность Р обнаружения электрона в первой части «ямы».
3. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией
по окружности радиусом
Определить длину волны де Бройля для протона.
4. Определить отношение неопределённостей скорости
50
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]