31.Частотно – временной анализ.
Спектры сигналов выглядят одинаково.
Преобразование Фурье не приспособлено ля анализа нестандартных сигналов, так как теряется информация о временных характеристиках сигнала.
Любой сигнал характеризуется интервалами во временной и частотной областях.
φ(t-τ)
– смещение по оси времени.
Модуляция
сдвигает
по оси частот.
Масштабирование:
Примеры:
δ – функция: Базис Фурье:
δ – функция облает свойством хорошей
временной локализации, но в плохой
спектральной области, так как имеет
равномерный спектр на всех частотах.
Базисная функция
- наоборот.
Вейвлет – преобразование. Вейвлет – короткая функция (небольшая волна).
Исходный Вейвлет – ψ(t).
Дочерний Вейвлет (базисная функция)
выглядит как
,
где
в – параметр, характеризующий временной сдвиг;а – множитель.
Свойства:
Ограниченность.
|
ψ(t)→L, |
t→∞ (L – линейное пространство) |
|
ψ(t)→0 |
|
.
Локализация.
Базисные функции Вейвлет – анализа в отличии от преобразования Фурье должны быть локализованы, то есть определены на конечном интервале как во временной, так и в частотной областях.
Нулевое среднее.
График исходного Вейвлета осциллирует относительно нуля по оси времени.
Все базисные Вейвлеты имеют то же число осцилляций, что и исходные.
32.Непрерывное Вейвлет – преобразование.
CWT=C – обозначение непрерывной Вейвлет – функции.
- вводится для сохранения нормы.
Исходная Вейвлет – функция, основанная на второй производной:
Изменяя посредством параметра аширину Вейвлета, то есть его длительностьτ, можно влиять на ширину частотного спектра. Чем шире будет Вейвлет, тем уже его частотный спектр.
Вейвлет, основанный на 1 производной: Вейвлет Морле
- прямое Вейвлет – преобразование.
Частотный анализ Фурье – преобразования:
S(ω) – заменяется на частотно – временной анализ с помощью функцииС(а, в).
- обратное Вейвлет – преобразование.
Аналогия с преобразованием Фурье:
;а→частота.
Свойства непрерывного Вейвлет – преобразования:
Линейность:
f(t); g(t)
L
Cf,g(a, b)= Cf(a, b)+ Cf(a, b)
Линейность непрерывного Вейвлет – преобразования следует из линейности скалярного произведения двух функций.
Сдвиг:
f’(t);
f’(t)=(t-b’)
L
Cf’ (a, b)= Cf(a,b-b’)
Сдвиг непрерывного Вейвлет – преобразования соответствует сдвигу функции во временной области.
Масштабирование:
f(t);
;
Если функция расширяется во временной области, то и в частотно – временной области она тоже расширяется.
Особенность Вейвлет – преобразования: аналогия с прохождением через полосовой фильтр, перестраиваемого во времени.
Дискретное Вейвлет – преобразование.
DWT=D – обозначение.
Вейвлет – преобразование, при котором аивдискретны, называют дискретным Вейвлет – преобразованием.
дискретизация параметра а:
дискретизация параметра в:
;
- число отсчетов по времени.
Согласно закону изменения параметра в, на каждом цикле с шагомjшаг движения по оси времениtувеличивается в два раза, следовательно, количество шагов уменьшиться в два раза.
Дискретное Вейвлет – преобразование функции Хаара.
Функция является исходным Вейвлетом. Система функций ψ(t-n) образует базисную функцию.
