12. Дискретизация по времени и восстановление непрерывной функции.

При дискретизации по времени непрерывная по аргументу функция (допустим непрерывный сигнал) X(t) преобразуется в функцию X(t’) дискретного аргумента t’ и отображается конечным числом некоторых величин, например коэф-ов разложения.

В результате фун-я X(t) заменяется совокупностью мгновенных значений X(t_к) по этим мгновенным значениям можно восстановить исходную функцию с заданной точностью.

Ф-ция на приемнике: Воспроизводящая фун-я Y(t) строится как взвешенная фун-ция некоторого ряда функций F(t-t_k).

Y(t)=_i=0^∞ai[X(t_k);X(t_k-1)…]f_i(t-t_k), причем коэф-ты a_i(разложения) зависит от отсчетов X(t_k). Tk – моменты.

Реальные физические процессы – параметрические (зависят от параметров)

При обработке параметрической информации дискретизация по времени должна произ-ся так, чтобы по отсчетным значениям ф-ции X(t_k) можно было получить воспроизводимую ф-ию Y(t), кот-ая с заданной точностью отображает исходную функцию.

При малых значениях t кол-во отсчетов ф-ии будет большим и точность воспроизведения будет высокой.

Оптимальной явл-ся такая дискретизация, кот-ая обеспечивает представление исходной ф-ии с заданной точностью и минимальным количеством отсчетов X(t_k).

Неоптимальная дискретизация – появляются избыточные отсчеты.

Есть несколько способов избавления от избыточности информации при дискретизации по времени:

1) регулярность отсчетов

2) вид воспроизводящей функции

3) способ воспроизведения

4) оценка точности воспроизведения.

13. Теорема Котельникова. Воспроизводящие функции.

Если непрерывная функция X(t) удовлетворяет условиям Дирехле (функция ограниченная, кусочно-непрерывная и имеет конечное число экстремумов и ее спектр ограничен некоторой частотой Wm

), то существует такой максимальный интервал t между отсчетами при котором имеется возможность безошибочного восстановить дискретизированную функцию X(t) по дискретным отсчетам.

Пусть (ОПФ)то (ППФ – можно любую непрерыв непериодич ф-цию предстаить в виде суммы бесконечно большого кол-ва гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами)

Ограничиваем интервал- комплексная амплитуда, сравнивая (1) и (3), заменимв (3)тот.к. Ск =т* X(t); ;;

- мгновенные значения в точках отсчета

- некоторая функция времени или функция отсчетов

Свойства функции отсчетов:

1. В момент времени t=k_T функция отсчетов достигает своего максимального значения =1, т.к.

В моменты прифункция отсчетов обращается в 0

2. Функция отсчетов ортогональна на бесконечно большом промежутке времени

Ф.О. представляет собой реакцию идеального ФНЧ на дельта-импульс

Для восстановления функции необходимо подать на вход фильтра с какой-то верхней граничной частотой последовательность идеально узких импульсов с амплитудами, соответствующими значению непрерывной функции в точках отсчета и следующих друг за другом с периодом _T

Достоинства: 1)представление сигнала в частотной и временной областях – новый метод

2) Основа теории помехоустойчивости

Недостатки: 1) потеря части информации с частотами выше _m

2) источник теряет свою информативность

3) Случайные функции являются сингулярной или вырожденной (изменение мин-но, т.е можно предсказать)

4) Любое сообщение только тогда имеет смысл, если оно конечно.

На практике есть трудности – при частотах выше f_mмы не можем точно восстановить исходную функцию. Отсчеты надо брать не меньше чем в 2 раза чаще, чем f_m