Тема 2_ Арифметические и логические основы ЭВМ
.pdf
Кафедра |
|
информатикиАрифметические операции с двоичными числами |
|
|
УГАТУ |
При двоичном вычитании необходимо помнить, что занятая |
|
в ближайшем разряде 1, дает две единицы младшего |
|
разряда. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то 1 |
|
занимается через несколько разрядов. При этом единица, |
|
занятая в ближайшем значащем старшем разряде, дает две |
|
единицы младшего разряда и единицы во всех нулевых |
|
разрядах, стоящих между младшим и тем старшим |
|
разрядом, у которого бралась единица. |
|
|
2 |
|
21 |
Кафедра |
Арифметические операции в разных СС |
информатики |
|
|
|
|
УГАТУ |
Правила сложения, вычитания, умножения «столбиком» и |
|
деления «углом» применимы в любой системе счисления. |
|
Как и в десятичной СС при сложении чисел единица переноса в |
|
старший разряд появляется тогда, когда сумма цифр равна или |
|
больше основания системы счисления, в которой выполняются |
|
арифметические операции. |
|
При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры |
|
вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица |
|
основания. |
|
|
11 + 14 = 25; 25 - 16 = 9; 9 пишем, 1 – в уме; 15 + 7 = 22; |
|
22 + 1 = 23; 23 – 16 = 7; 7 пишем, 1 – в уме; |
|
т.к. B < E, занимаем 16 единиц в старшем разряде. |
|
Тогда 16 + 11 – 14 = D; 15 - 1 - 7 = 7; |
|
22 |
Кафедра Правило перевода целой части двоичного числа
информатики
в восьмеричную (шестнадцатеричную) СС УГАТУ
Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное (шестнадцатеричное) необходимо:
-разбить это число справа налево на группы по 3 (4) цифры – двоичные триады (тетрады). При этом самая левая группа может содержать менее трех (четырех) двоичных цифр.
-каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный (шестнадцатеричный) эквивалент.
11011001 = 011 011 001 = 331(8)
1100011011001 = 0001 1000 1101 1001 = 18D9(16)
011 = 2 + 1 = 3 |
1101 = 8 + 4 + 1 = 13 |
|
|
23
Кафедра Правило перевода дробной части двоичного числа
информатики
в восьмеричную (шестнадцатеричную) СС УГАТУ
Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадцатеричную системы аналогичное разбиение на триады или тетрады производится от запятой вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями)
0,1100011101(2) = 0,110 001 110 100 = 0,6164(8)
0,1100011101(2) = 0,1100 0111 0100 = С74(16)
24
Кафедра |
|
|
|
|
Правило перевода восьмеричных (шестнадцатиричных) |
||||
информатики |
|
чисел в двоичную СС |
|
|
|
|
УГАТУ |
||
Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) |
|
|||
чисел в двоичные производится обратным |
|
|||
путем – сопоставлением каждому знаку числа |
||||
соответствующей тройки (четверки) двоичных |
||||
цифр. |
|
|
|
|
А1F(16) = 1010 0001 1111(2) |
|
|||
|
А |
1 |
F |
|
127(8) = 001 010 111(2) |
|
|
||
1 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
25 |
Кафедра |
|
|
|
|
информатики |
|
|
|
|
|
|
|
|
УГАТУ |
Представление числовой |
|
|||
|
информации в ЭВМ |
|
||
|
|
|
|
26 |
Кафедра |
|
|
информатики |
|
|
|
Представление числовой информации |
|
|
|
УГАТУ |
Информация в памяти ЭВМ записывается в форме |
||
цифрового двоичного кода. |
||
Для этого в компьютере содержится большое количество |
||
ячеек памяти и регистров (от лат. regestum – внесенное, |
||
записанное). |
||
|
|
27 |
Кафедра |
|
Представление числовой информации |
информатики |
||
|
|
|
|
|
УГАТУ |
Ячейки памяти и регистры состоят |
||
из элементов памяти. Каждый из |
||
таких электрических элементов |
||
может находиться в одном из |
||
двух устойчивых состояний: |
||
конденсатор заряжен или |
||
разряжен, транзистор находится в |
||
проводящем или непроводящем |
||
состоянии и т.п. |
||
Одно из таких физических состояний создает высокий уровень |
||
выходного напряжения элемента памяти, а другое – низкий. |
||
Обычно это электрическое напряжение порядка 4-5В, его |
||
принимают за двоичную единицу, и 0В – его принимают за |
||
двоичный ноль. |
||
|
|
28 |
Кафедра Представление числовой информации
информатики
УГАТУ
Большинство из ячеек памяти имеет одинаковую длину n, т.е. они используются для хранения n бит двоичной информации (бит – один двоичный разряд).
Информация, хранимая в такой ячейке, называется словом.
Вбольшинстве случаев, словом называют группу из четырех соседних байт, группу из двух соседних байт
– полусловом, группу из восьми соседних байт – двойным словом.
29
Кафедра
информатики Представление числовой информации
УГАТУ
Память ЭВМ состоит из конечной последовательности слов, а слова – из конечной последовательности битов,
поэтому объем представляемой в ЭВМ информации ограничен емкостью памяти, а числовая информация может быть представлена только с определенной степенью точности.
30
Кафедра Представление числовой информации
информатики
УГАТУ
Ввычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:
-естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой);
-нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой).
Вформате с фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.
Режим с фиксированной точкой в современных компьютерах фактически применяется только для целых чисел и условно запятая как бы зафиксирована после младшего разряда.
31
Кафедра Представление числовой информации
информатики
УГАТУ
Диапазон представления чисел по модулю для такой формы:
2−r ≤ N ≤ 2n − 2−r
где n – общее число разрядов;
r – число разрядов, отведенных под дробную часть.
Если в результате какой-либо операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, произойдет переполнение разрядной сетки и результат будет неверен.
32
Кафедра Представление числовой информации
информатики
УГАТУ
В формате с плавающей запятой число представляется в виде двух групп цифр, называемых мантиссой и порядком.
Для однозначности представления чисел с плавающей запятой используется нормализованная (нормальная) форма, при которой:
•абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, и первая ее цифра после запятой не равна нулю,
•порядок должен быть целым числом положительным или отрицательным.
Вобщем виде число в нормальной форме (в любой СС) записывается в виде:
N = ±M S ± р
где M – мантисса, 0.1 <= |M| < 1 (Целая часть мантиссы = 0, первая цифра после точки не равна нулю)
р– порядок числа;
S – основание системы счисления
33
Кафедра Представление числовой информации
информатики
УГАТУ
Примеры представления десятичных чисел в нормализованном виде:
0,123*10-02 |
0,567*105 |
0,1*10-5 |
0,1*108 |
Примеры представления двоичных чисел в нормализованном виде :
Первая цифра двоичной мантиссы после точки всегда 1
Внутреннее представление вещественных чисел в компьютере всегда нормализовано
34
Кафедра |
|
информатики |
|
|
Представление числовой информации |
|
УГАТУ |
Диапазон представления чисел в компьютере при такой |
|
|
форме: |
|
2−n × 2−(2r −1) ≤ N ≤ (1 − 2−n )× 2( 2r −1) |
где n – число разрядов отведенных под мантиссу; |
|
|
r – число разрядов, отведенных под порядок |
|
35 |
Кафедра |
|
информатики |
|
|
Представление целых чисел без знака |
|
УГАТУ |
Целые числа без знака могут занимать в памяти компьютера 1, 2, 4 |
|
байта, при этом самый младший двоичный разряд записывается в |
|
крайний правый бит разрядной сетки. Все разряды должны быть |
|
обязательно заполнены, даже если в этом разряде будет храниться |
|
«незначащий ноль». |
|
Например, десятичное число 1910=100112 в 1-байтовом формате |
|
запишется так: |
|
|
Номера разрядов |
Биты числа |
|
При такой форме представления целых чисел без знака |
|
диапазон их возможных значений находится в пределах |
|
от 0 до 2n-1, где n – количество разрядов, отведенных |
|
для числа. |
|
|
36 |
Кафедра |
|
информатики |
|
|
Представление целых чисел без знака |
|
УГАТУ |
В таблице приведены максимальные значения десятичных |
|
чисел без знака и соответствующее им число разрядов: |
|
|
37 |
Кафедра |
|
информатики |
|
|
Представление целых чисел со знаком |
|
УГАТУ |
Для представления целых чисел со знаком один разряд, как правило, |
|
старший отводится под знак числа. Знак положительного числа |
|
кодируется нулем, а знак отрицательного – единицей в этом разряде: |
|
Максимальное значение целого числа со знаком, которое можно |
|
представить в n-разрядном регистре, равно 2n-1-1, а минимальное |
|
равно -2n-1 , т.е. отрицательных чисел можно закодировать на одно |
|
больше, чем положительных. |
|
Код числа -215 (-32768) в 16-разрядном регистре имеет вид: |
|
|
38 |
Кафедра Представление целых чисел со знаком
информатики
УГАТУ
Форма представления целых чисел со знаком, когда крайний левый бит разрядной сетки отводится под знак, а остальные биты – под цифры числа, называется прямым кодом.
Форма представления двоичных чисел в виде прямого кода используется в компьютере для хранения только целых положительных чисел
39
Кафедра Представление целых чисел со знаком
информатики
УГАТУ
Отрицательные числа хранятся в дополнительном коде.
Правило формирования дополнительного кода:
-отрицательное двоичное число записывается в прямом коде (в старшем бите – 1);
-все разряды прямого кода, кроме знакового
(старшего бита) инвертируются – получается обратный код;
- к младшему разряду обратного кода прибавляется единица по правилам сложения двоичных чисел – получается дополнительный код.
40