Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие-1

Предложение 8.5.1. Произведение двух значений корня из единицы является значением корня из единицы. Число обратное значению корня из единицы является значением корня из единицы. Если — значение корня -й степени из , а — значение корня -й степени из единицы, то— значение корня -й степени из .

Доказательство. Если 0 < , < − 1, то

( ) = = 1 · 1 = 1.

Далее

( −1) = ( )−1 = 1−1 = 1.

И, наконец,

( ) = = · 1 = .

Определение 8.5.1. Первообразным корнем -й степени из единицы назовем такое значение корня -й степени из единицы, которое не является значением корня из единицы никакой меньшей, чем степени.

Сначала покажем, что такие значения существуют. Для этого рассмотрим 1.

Предложение 8.5.2. Если — первообразный корень -й степени из единицы, то

1= 0, , 2, . . . , −1

—все значения корня -й степени из единицы.

Доказательство. Достаточно показать, что указанные выше числа попарно различны. Для этого рассмотрим частное и убедимся, что оно отлично от единицы. Следствием получаем способ нахождения значений корня -й степени из комплексного числа. Для него необходимо иметь одно значение

корня из числа и первообразный корень -й степени из единицы.

√

Пример 5. Найти 3 −8.

√

Решение. Сначала вычислим 3 1.

81

Таким образом,

Так как 21 = 2, то = 1 — первообразный корень третьей степени

из единицы.

√

Легко заметить, что одно значение 3 −8 равно 1 = −2. Тогда

82

Значит, эти корни не являются первообразными корнями шестой степени из единицы.

С другой стороны, 1 = ̸= 1 для = 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, = 1 — первообразный корень шестой степени из единицы. √

Мы знаем, что одно значение 6 64 равно числу 2. Следовательно, набор чисел

2, 2 , 2 2, 2 3, 2 4, 2 5

√

представляет все значения 6 64.

9. Многочлены

9.1. Основные понятия

Определение 9.1.1. Выражение вида

( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0,

где — коэффициенты (комплексные числа), — переменная, > 0

и ̸= 0, называется многочленом -й степени.

— старший одночлен, — старший коэффициент. Будем считать многочленом (без степени) и число 0.

Два многочлена равны (тождественно равны), если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Будем обозначать символом C[ ] множество всех многочленов с комплексными коэффициентами.

Пусть ( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0.

Определение 9.1.2. Суммой многочленов ( ) и ( ) назовем многочлен

( ) + ( ) = ( + ) + ( −1 + −1) −1 + · · · + ( 1 + 1) + ( 0 + 0),

если 6 .

Внимание! Так как сложение многочленов сводится к сложению комплексных чисел, то на множестве всех многочленов сложение ассоциативно и коммутативно, роль нуля играет 0 C, у каждого многочлена есть противоположный.

83

Определение 9.1.3. Произведением многочленов ( ) и ( ) называется многочлен

( ) ( ) = + + + + −1 + −1 + · · · + 1 + 0,

где = 0 + −1 1 + · · · + + · · · + 1 −1 + 0 при + = . Из этого определения следует

Предложение 9.1.1. Умножение многочленов коммутативно; степень произведения равна сумме степеней сомножителей; произведение многочленов равно нулю, только если один из них равен нулю.

Теорема 9.1.1. Умножение многочленов ассоциативно.

Доказательство. Пусть ( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0.

( )

Найдем коэффициент в многочлене ( ) ( ) ( )

Предложение 9.1.2. Умножение многочленов дистрибутивно относительно сложения.

Предложение 9.1.3. Многочлен 1 = 1 · 0 играет роль единицы при умножении многочленов.

( ) ( ) = 1 тогда и только тогда, когда ( ), ( ) C {0}.

Доказательство. По определению умножения многочленов имеем

+ = 0.

Внимание! Все утверждения останутся верными, если рассмотреть множество многочленов Z[ ], или Q[ ], или R[ ].

84

9.2. Деление с остатком

Определение 9.2.1. Говорят, что многочлен = ( ) разделили с остатком на многочлен = ( ), если найдены многочлены = ( ) и = ( ), такие что

1) = + ; 2) deg < deg или = 0.

— делимое, — делитель, — (неполное) частное, — остаток. Если

= 0, то говорят, что делится на .

Теорема 9.2.1. Деление с остатком многочлена на многочлен однозначно выполнимо.

Доказательство. I. Докажем однозначность деления. Допустим, что сумели разделить на двумя способами. Существуют многочлены1, 2, 1, 2, для которых = 1 + 1 и = 2 + 2, причем deg < deg , если ̸= 0. Тогда 1 + 1 = 2 + 2, откуда ( 1 − 2) = 2 − 1 = .

Вычислим степень многочлена . С одной стороны, она не меньше, чем степень , если частные различны; с другой стороны, она строго меньше степени делителя, т.е. степени . Полученное противоречие показывает, что 1 = 2. Остальное тривиально.

II. Докажем возможность деления. Пусть

= + −1 −1+· · ·+ 1 + 0 и = + −1 −1+· · ·+ 1 + 0.

1)Если = 0 или deg < deg , то = · 0 + .

2)Если deg 6 deg , то начнем строить алгоритм деления. Найдем

многочлен

Вычислим старший одночлен вычитаемого

−1 − · = .

Получили старший одночлен многочлена . Тогда deg 1 < deg . Возможны ситуации:

а) Если deg 1 < deg или 1 = 0, тогда алгоритм завершен. б) Если deg 6 deg 1, то найдем полином

85

Здесь — старший одночлен многочлена 1. Тогда deg 2 < deg 1. Если deg 2 < deg или 2 = 0, тогда алгоритм завершен. В противном

случае находим полином 3.

Не будет ли наш процесс бесконечным? Рассмотрим последовательность неравенств:

> deg 1 > deg 2 > deg 3 > · · · .

Но множество натуральных чисел, меньших наперед заданного числа,

где deg < deg или = 0.

Сложив равенства, отмеченные звездочкой, получим

Осталось обозначить = . Внимание! Отметим, что если многочлены и принадлежат R (или Q), то все многочлены также принадлежат R (или Q), поэтому и

найдутся в R (или Q).

Более того, для и из Z также найдутся и из Z при условии: старший коэффициент многочлена равен 1 или −1.

9.3. Деление нацело

Частный случай деления с остатком, представляющий особый интерес — случай нулевого остатка.

Пусть многочлены ( ), ( ) C.

Предложение 9.3.1. Многочлен ( ) является делителем многочлена в том и только в том случае, когда существует многочлен , для которого = .

Доказательство. Необходимость следует из теоремы о делении с остатком.

Обратно. Пусть для многочлена справедливо равенство = . Воспользуемся единственностью частного и остатка. В следующем предложении перечислены некоторые свойства делимости, доказательства которых аналогичны доказательствам в теоре-

ме 1.2.2.

86

Предложение 9.3.2. 1) Если многочлен делится на многочлен ,

амногочлен делится на многочлен , то делится на .

2)Если | и | , то |( ± ).

3)Если | и — произвольный многочлен, то | .

4)Если | 1, | 2 , . . . , | , то | 1 1 + 2 2 + · · · + для любых .

5)Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

Определение 9.3.1. Ассоциированными называются многочлены, отличающиеся друг от друга ненулевым числовым множителем.

Если и — ассоциированные многочлены, будем писать . Например, 2 + 1 (1 + ) 2 + (1 + ).

Предложение 9.3.3. 1) Каждый многочлен делится на все многочлены, ассоциированные с ним.

2) Ассоциированные многочлены делятся друг на друга.

Доказательство. Пусть = ( ) и = ( ) для ̸= 0 C. Тогда = 1 · = −1 = ( ) −1 = −1.

9.4. Наибольший общий делитель

Определение 9.4.1. Если ( )| ( ) и ( )| ( ), то ( ) — общий делитель многочленов ( ) и ( ).

Определение 9.4.2. Пусть , — многочлены. Их наибольшим общим делителем называется такой их общий делитель = ( , ), который делится на все другие общие делители этих многочленов.

Из определения не следует, что такой многочлен существует, но имеет

определению | и | . Но тогда deg 6 deg и deg 6 deg . Значит, deg = deg .

Так как = и = , то = , т.е. deg = deg + deg + deg .

87

Теорема 9.4.1. Для любых двух многочленов , , где хотя бы один из многочленов отличен от нуля, их наибольший общий делитель ( ) существует и линейно через них выражается, т.е. = ( ) = + для некоторых многочленов , .

Доказательство. 1) Если один из многочленов равен нулю, то равен второму многочлену.

2) Пусть оба многочлена не равны нулю. Будем строить алгоритм Евклида.

По теореме о делении с остатком можно один из многочленов разделить на другой с остатком.

Во втором случае мы алгоритм завершили. Если же остаток не равен нулю, делим прежний делитель на остаток.

Рассуждаем как при первом делении и т.д. Рассмотрим цепочку неравенств: deg > deg 1 > deg 2 > · · · . Так как такая цепочка конечна, то на некотором конечном шаге получится нулевой остаток.

Пусть

Далее применяем лемму 9.4.1.

= ( , ) = ( , 1) = ( 1, 2) = · · ·

=( −2, −1) = ( −1, ) = ( , 0) = .

Докажем, что существуют многочлены = ( ), = ( ), для которых

= + .

Для этого выпишем систему равенств алгоритма, кроме последнего равенства:

= 1 + 1,= 1 2 + 2,

−3 = −2 −1 + −1,−2 = −1 + .

88

Проведем индукцию по числу равенств этой системы. Если = 1, то 1 = 1 + 1, где 1 = 1, 1 = − 1.

Пусть утверждение верно для числа равенств, строго меньшего . Рассмотрим равенств. По индуктивному предположению

−2 = −2 + −2 и −1 = −1 + −1.

Подставляя правые части этих равенств в последнее равенство системы (1), получаем

−2 + −2 = ( −1 + −1) + .

Положив = −2 − −1 и = −2 − −1 , приходим к нужному равенству.

Пример 1. Пусть

= ( ) = 2 4 − 3 −6 2 +10 +15 и = ( ) = 2 4 +3 3 +2 2 +5 +3.

Найти линейное выражение ( , ). Решение. Разделим ( ) на ( ) с остатком.

Значит, 2 ( ) = − 1( ) 2( ) + 2( ), где 2( ) = − 1/2

Разделим − 1( ) на 2/13 2( ) с остатком.

89