Тема 2_ Арифметические и логические основы ЭВМ

Кафедра

Кафедра

информатики

информатики

Представление целых чисел со знаком

Представление целых чисел со знаком

УГАТУ

УГАТУ

Дополнительный код используется для замены операции

Пример. Даны числа: A=34(10), B=30(10).

вычитания простым сложением.

Вычислить A+B, A–B, B–A, A×B.

При этом операция сложения выполняется над всеми

Вычисления производить в однобайтовом формате.

разрядами полученного дополнительного кода, т.е.

Решение. Представим оба числа в дополнительном коде

распространяется и на разряды знаков, рассматриваемых

в однобайтовом формате:

в данном случае как разряды числа.

При возникновении переноса из знакового разряда

единица переноса отбрасывается, т.к. она вышла за

пределы разрядной сетки. В результате получается

алгебраическая сумма в прямом коде, если она

положительна (в знаковом разряде оказался 0), или в

дополнительном коде, если эта сумма получилась

отрицательной (в знаковом разряде оказалась 1).

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

41

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

42

Кафедра

Кафедра

информатики

информатики

Представление целых чисел со знаком

Представление целых чисел со знаком

УГАТУ

УГАТУ

1. Найдем сумму A+B:

3.

Найдем разность B–A:

Число положительное

Число отрицательное

результат – положительное число 1000000(2) = 64(10).

Результат отрицательный и получен в дополнительном коде.

Перейдем в прямой код, для этого вычтем 1:

2. Найдем разность A–B:

отбрасывается

Разряды инвертируются

Число положительное

Применим операцию инверсии, не затрагивая знакового

Единица, вышедшая за пределы восьмиразрядной сетки,

разряда, получим прямой код 10000100, т.е. результат равен

отбрасывается, результат положительное число 100

= 4 .

–100(2) или –4(10).

(2)

(10)

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

43

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

44

Кафедра

Кафедра

информатики

информатики

Представление целых чисел со знаком

УГАТУ

Представление числовой информации

УГАТУ

4. Найдем поизведение B×A:

При записи вещественного числа в память компьютера выделяются разряды для

хранения знака мантиссы, порядка и мантиссы, например, для 4-х байтового

формата под мантиссу отводится 23 разряда, под порядок – 8 разрядов:

разряды отбрасываются

результат отрицательный

Смещенный (машинный) порядок числа Pм находится по формуле:

Двоичные разряды произведения, вышедшие за пределы

смещение

Pм = p + (2k-1-1)

восьмиразрядной сетки, отбрасываются. В результате получим

двоичное число 11111100. Результат отрицательный и равен (после

где p – порядок числа, k - количество разрядов, отведенное для порядка.

перевода в прямой код) – 4(10), против ожидаемого 1020(10).

Мантисса запоминается без первой единицы. Она считается скрытым

Правильный результат получится в том случае, если для результата

разрядом, но при выполнении арифметических операций, естественно,

будет выделено по крайней мере 16 двоичных разрядов.

учитывается.

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1,

семестр 1,

2009 г.

45

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

46

Кафедра

Представление вещественных чисел

Кафедра

Алгебра логики

информатики

информатики

Решение:

УГАТУ

УГАТУ

Пример. Вещественное число А в 4-х байтовом формате в

Алгебра логики – раздел математики, изучающий

шестнадцатеричной СС имеет вид C357000016. Десятичное

высказывания, рассматриваемые со стороны их

значение числа А равно…

логических значений (истинности или ложности) и

C

3

5

7

0

0

0

0

логических операций над ними.

1 100 0011 0101 0111 0000 0000 0000 0000

Аппарат алгебры логики (булевой алгебры) создан в 1854 г. Дж. Булем

как попытка изучения логики мышления человека математическими

Знак числа

Машинный

Мантисса

методами.

порядок

Высказывание в алгебре логики – это повествовательное

Вычислим порядок числа p = p

m

- (27-1)=10000110 -1111111=111 =7

предложение, в котором что-либо утверждается или

2

10

отрицается. По поводу любого высказывания можно

Запятую в мантиссе сдвинем вправо на 7 разрядов и припишем слева 1,

однозначно сказать истинно оно или ложно.

которая не хранится, получим:

110101112 = 1×27+1 ×26+1×24+1×22+1×21+1×20 = 21510

Примеры высказываний: «Трава зеленая»; «2≠5»; «Я – студент УГАТУ»; «10<5».

Ответ: - 21510

«Коля дома и смотрит телевизор»; «Мама на работе или уже дома».

приписали единицу

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1,

семестр 1,

2009 г.

47

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

48

Кафедра

Алгебра логики

Кафедра

Алгебра логики

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

Простое высказывание – это повествовательное

Логические величины – понятия, выражаемые

предложение или некоторое математическое

соотношение, в котором что-либо утверждается или

словами ИСТИНА, ЛОЖЬ.

отрицается и в отношении которого можно сразу

Логические константы – ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

однозначно сказать, истинно оно или ложно. Простые

высказывания в математике строятся с помощью знаков

Логическая переменная – символически

отношений (<, >, =, ≠ , ≥ , ≤).

Сложное высказывание образуется из простых высказываний

обозначенная логическая величина, которая может

с помощью логических операций.

принимать значения ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Простому высказыванию ставят в соответствие логическую

переменную, а сложному – логическую (булеву) функцию

Y = F(X1,X2,…,Xn), где X1, X2,…,Xn – логические переменные,

соответствующие простым высказываниям.

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

49

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

50

Кафедра

Основные логические операции.

Кафедра

Основные логические операции.

информатики

Отрицание

информатики

Конъюнкция

УГАТУ

УГАТУ

Отрицание – логическая операция, которая исходному высказыванию ставит

в соответствие новое, значение которого противоположно исходному.

Описывается таблицей:

Описывается

Результатом операции будет:

таблицей:

- ЛОЖЬ, если хотя бы значение

одного из операндов будет ложно;

- ИСТИНА тогда и только тогда, когда

оба высказывания истинны.

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

51

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

52

Кафедра

Основные логические операции.

Кафедра

Основные логические операции.

информатики

Дизъюнкция

информатики

Строгая дизъюнкция

УГАТУ

УГАТУ

Описывается

Результатом операции будет:

таблицей:

Описывается

Результатом операции будет:

таблицей:

- ИСТИНА, если хотя бы одно из

- ИСТИНА, если хотя бы одно из

высказываний истинно.

высказываний истинно.

- ЛОЖЬ, тогда, когда оба

- ЛОЖЬ, тогда и только тогда,

высказывания ложны или оба

истинны;

когда оба высказывания ложны;

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1, 2009 г.

53

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1, семестр 1, 2009 г.

54

Кафедра

Основные логические операции.

Кафедра

Основные логические операции.

информатики

Импликация

информатики

Импликация. Пример

УГАТУ

УГАТУ

Пример. Высказывание:

«Если я завалю информатику, то летом никуда не поеду отдыхать».

A

B

A

B

Ясно, что этот студент окажется лжецом только в одном случае: если он

завалит информатику (A - ИСТИНА, а отдыхать все-таки поедет (B – ЛОЖЬ).

Если же он информатику сдаст, но отдыхать не поедет, то во лжи его обвинить

нельзя, т.к. обещание нигде не отдыхать он давал лишь при условии, что не

Описывается

сдаст информатику.

Результатом операции будет

таблицей:

ЛОЖЬ, тогда, когда значение

В математических теоремах импликации формулируются в виде

первого операнда истинно, а

доказательства только необходимого или только достаточного условия, при

второго – ложно.

этом условие теоремы и заключение всегда связаны по содержанию.

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1, 2009 г.

55

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1, семестр 1, 2009 г.

56

Кафедра

Основные логические операции.

Кафедра

Основные логические операции.

информатики

Эквиваленция

информатики

Эквиваленция. Пример

УГАТУ

УГАТУ

Пример. Преподаватель информатики утверждает, что он

«Допустит студента до экзамена тогда и только тогда, когда он

A

защитит все лабораторные работы».

A

B

B

Все возможные значения

Описывается

Высказывание является

такого высказывания:

таблицей:

истинным тогда и только тогда,

когда оба высказывания

одновременно истинны или

одновременно ложны.

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1, 2009 г.

57

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1,

2009 г.

58

Кафедра

Основные логические операции

Кафедра

Основные логические операции

информатики

УГАТУ

информатики

УГАТУ

С помощью логических переменных и символов,

Для удобства и наглядности отражения сути логических

обозначающих логические операции любое высказывание

операций производимых над логическими переменными

можно формализовать, т.е. заменить логической формулой.

принято использовать таблицы истинности.

В таблицах истинности записываются все возможные

Приоритеты выполнения логических операций в

сочетания значений логических переменных и

соответствующие им значения логической функции.

логических выражениях:

-

отрицание;

Сводная таблица истинности основных логических операций

-

логическое произведение;

-

логическое сложение, исключающее или;

-

импликация, эквиваленция.

Скобки меняют порядок выполнения операций.

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1, 2009 г.

59

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1,

2009 г.

60

Кафедра Построение таблицы истинности для заданной

Кафедра Построение таблицы истинности для заданной

информатики

логической функции

информатики

логической функции

УГАТУ

УГАТУ

Для каждой логической функции Y = F(X1,X2,…,Xn)

Пример. Составить таблицу истинности для логической функции

можно построить таблицу истинности.

F ( A, B, C) = (B or C) and A

Количество строк в этой таблице будет равно числу

Количество строк, в таблице равно 8 (23), количество столбцов 3 + 3=6.

возможных комбинаций значений логических переменных,

т.е. 2N, где N – число логических переменных, входящих в

логическое выражение.

Количество столбцов в таблице истинности равно сумме

количества логических переменных и количества

логических операций в логическом выражении, т.е. N+M,

где M – число логических операций.

Последняя колонка полученной таблицы является ответом на

поставленную задачу.

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

61

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

62

Кафедра

Кафедра

информатики Таблицы истинности логических функций

УГАТУ

информатики Таблицы истинности логических функций

УГАТУ

Логические выражения называются тождественно

истинными, если они имеют в таблице истинности

значения 1 для всех наборов значений входных

переменных.

Логические выражения называются тождественно

ложными, если они имеют в таблице истинности

значения 0 для всех наборов значений входных

переменных.

Логические выражения называются равносильными или

эквивалентными, если они имеют одинаковые

значения в таблице истинности для всех наборов

значений входных переменных.

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

63

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

64

Кафедра

Кафедра

Основные законы алгебры логики

информатикиПреобразование логических функций

УГАТУ

информатики

УГАТУ

Логические операции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции

называют базовыми. Любую функцию с помощью

тождественных преобразований можно представить

таким образом, чтобы она содержала только базовые

логические операции.

Тождества, заменяющие операции «исключающее ИЛИ»,

«импликации» и «эквиваленции» базовыми функциями:

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

65

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

66

Кафедра

Основные законы алгебры логики

Кафедра

КНФ и ДНФ

информатики

УГАТУ

информатики

УГАТУ

Форма представления логических функций, содержащая только три

основные логические операции: логическое отрицание, логическое

сложение и логическое умножение называется нормальной.

Инверсия в нормальной форме представления должна быть только над

переменными (не над выражениями!)

Выделяют две специальные нормальные формы представления логических

функций:

1. Конъюнктивно-нормальная форма (КНФ) – представление в виде

произведений суммы элементарных высказываний и их отрицаний

(дизъюнкции конъюнкций).

Например:

F ( A, B, C) = ( A + B) ( A + B) (B + C + A)

2. Дизъюнктивно-нормальная форма (ДНФ) – представление в виде суммы

произведений элементарных высказываний и их отрицаний (конъюнкции

дизъюнкций).

Например:

F ( A, B, C) = A B C + A B + C A

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

67

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

68

Кафедра

КНФ и ДНФ

Кафедра

КНФ и ДНФ

информатики

информатики

УГАТУ

УГАТУ

ПРИМЕР. Привести логическое высказывание

Любая логическая функция приводится к КНФ

(A → C ) and (B ↔ C )

к ДНФ

или ДНФ с помощью следующего алгоритма:

РЕШЕНИЕ

1.

избавляются от импликации и эвиваленции;

1.

Избавимся от импликации и эвиваленции:

=0

2.

избавляются от отрицаний над сложными

( A → C) and (B ↔ C) = ( A + C) (B C + B C)

высказываниями;

2. Раскрываем скобки:

3.

раскрывают скобки, применяя

( A + C) (B C + B C) = A B C + C B + A B C + C B C

3. Преобразуем и получаем дизъюнктивную нормальную форму:

распределительный закон логики.

A B C + C B + A B C = B C ( A +1) + A B C = B C + A B C

=1

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

69

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1, семестр 1, 2009 г.

70

Кафедра

Построение логической функции

Кафедра

Построение логической функции

информатики

по заданной таблице истинности

информатики

по заданной таблице истинности

УГАТУ

УГАТУ

Минтермом называется терм-произведение, в котором каждая

ПРИМЕР. Восстановить

переменная встречается только один раз – либо с отрицанием, либо

логическую функцию

без него. Например, A B C

трех переменных по

заданной таблице

Логическую функцию по заданной таблице истинности

истинности

можно построить по следующему алгоритму:

1. Для каждой строки таблицы истинности с единичным

значением функции строится минтерм. Переменные,

Решение:

имеющие нулевые значения в строке, входят в минтерм

1. В таблице истинности находим строки, в которых F = 1.

с отрицанием, а переменные со значением 1 – без

Вторую строку описывает минтерм: not X1 and not X2 and X3.

отрицания.

Третью строку описывает минтерм: not X1 and X2 and not X3.

2. Все полученные минтермы объединяются операцией

Шестую строку описывает минтерм: X1 and not X2 and X3.

2. Термы объединяем операцией дизъюнкция, получается логическое выражение

дизъюнкция

F( X1 , X 2 , X 3 ) = X1 X 2 X 3 + X1 X 2 X 3 + X1 X 2 X 3

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

71

Информатика

ФАП - 2, ФАТС – 2, 3

курс 1, семестр 1, 2009 г.

72

Кафедра

Построение логической функции

Кафедра

Построение логического выражения по

информатики

по заданной таблице истинности

информатики

условиям, заданным в виде текста

УГАТУ

УГАТУ

Примечание. Логическую функцию можно построить и в

С помощью логических переменных и символов, обозначающих

виде произведения сумм логических переменных и

логические операции любое высказывание можно формализовать,

их отрицаний по алгоритму:

т.е. заменить логической формулой.

1. Для каждой строки таблицы истинности с нулевым

значением функции строится логическая сумма, в которой

каждая переменная встречается только один раз – либо с

отрицанием, либо без него. Переменные, имеющие

значения 1 в строке, входят в эту сумму с отрицанием, а

переменные со значением 0 – без отрицания:

2. Все полученные логические суммы (дизъюнкции)

объединяются операциями конъюнкции.

Выбор способа построения логической функции зависит от

количества 0 и 1: если в ней значительно больше 0, чем 1, то лучше

строить дизъюнктивно-нормальную форму.

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1, 2009 г.

73

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

74

Кафедра

Построение логического выражения по

Кафедра

Решение текстовых логических задач

информатики

условиям, заданным в виде текста

УГАТУ

информатики

УГАТУ

Аппарат алгебры логики можно с успехом использовать для

решения логических содержательных задач, если перевести

все высказывания естественного языка в символику

алгебры логики, а затем использовать ее аппарат.

Задача.

Алексей, Роман и Виктор увидели красивую девушку, и

каждый их них сделал по два предположения:

Алексей: Эта девушка манекенщица и ей 23 года;

(

x ≤ 1) and ( y

≤ 1)

Виктор: Этой девушке всего 19 лет и она не манекенщица.

Роман: Эта девушка студентка и ей 21 год;

Девушка услышала их спор и заметила, что каждый из них прав только

в одном из двух предположений. Кто эта девушка и сколько ей лет?

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1,

семестр 1, 2009 г.

75

Информатика ФАП - 2, ФАТС – 2, 3 курс 1, семестр 1, 2009 г.

76

Кафедра

Решение

УГАТУ

Кафедра

Решение

УГАТУ

информатики

информатики

Каждое из данных высказываний равно истине, поэтому объединим их

логической операцией конъюнкции:

Введем обозначения

(M Л23 + M Л23 ) (M Л19 + M Л19 ) (C Л21 + C Л21).

для простых

высказываний:

Преобразуем выражение, логически перемножив выражения:

(M Л23 M Л19

+ M Л23 M Л19 + M Л23 М Л19 +

Поскольку в высказываниях каждого молодого человека только одно

+

M Л23 М Л19 )

(C Л21 + C Л21) =

предположение верно, то их можно записать в виде логических выражений с

(M Л23 Л19 + M Л23 Л19 ) (C Л21 + C Л21) =

помощью операции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ:

Девушка - манекенщица

M Л23 Л19 C Л21 +

М Л23 Л19 C Л21

+

Алексей

M Л23 = M Л23 + M Л23

Все

и ей 23 года

Девушке 19 лет и она

+

M Л23 Л19 C Л21

+

M Л23 Л19 C Л21

=

помеченные

Виктор

M Л19 = M Л19 + M Л19

выражения

не манекенщица

M Л23 Л19 C Л21.

ложны

Роман

Девушка - студентка и

C Л21 = C Л21 + C Л21

Значение полученного логического выражения будет истинным только в том

ей 21 год

случае, если «Эта девушка студентка и ей 23 года».