Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Адаптивные электронные и микропроцессорные системы. Практикум
.pdf
Цифровой фильтр, весовая функция которого изображена на
... ( ) ;
[
]
x n
n
k
(n-2)
(n-1)
n (n+1) (n+2)
k
(n-2) (n-1)
(n+1) (n+2)
рис. 3.1, а, использует четное число дискретных значений сигнала,
определенных на середине интервалов его дискретизации.
Весовая функция, изображенная на рис. 3.1, б, соответствует
цифровому фильтру, использующему нечетное число дискретных
значений сигнала, определенных на границах интервалов его дискретизации [6].
Цифровой фильтр, весовая функция которого изображена
на рис. 3.1, а, в общем случае определяется выражением
1 3
2 2
1 3 1 1
2 2 2 2
...
m
∑
i x
0
i
=
где
y n b x n b x n
[ ]
+ − + − + = + + + − +
= + + + + +
0 1
b x n b x n b x n i U n i
0 1
– дискретные значения сигнала, аппроксимация которых
определяется цифровым фильтром;
bi – коэффициенты весовой функции фильтра;
m – параметр, соответствующий половине числа значений весо-
вой функции фильтра.
b[m]
b[m]
,
(3.2)
а б
Рис. 3.1. Весовая характеристика усредняющего цифрового фильтра:
а – с четным числом (6) точек; б – с нечетным числом (5) точек
31
ЦФ с нечетным числом используемых данных, весовая функция
[][][][][
]
1 ... 1 2 ...
= + + + + − + − + =
1 3 1 1 3
.
4 2 2 2 2
[][
]
→
[][
]
→
+
[][
]
у n z у z
[][
]
(
)
5
5
2 1 2
( 1 )
K z z z z z
2 2 2 2
( )
.
которого изображена на рис. 3.1, б, определяется выражением
y n b x n b x n b x n b x n
0 1 1 2
k
b x n b x n m x n m
= + + + −
[ ] [ ] [ ]
0
∑
m
{ }
m
1
=
Примером такого ЦФ являются описанные выше трех- и пятиточечные (3.1) фильтры скользящего сглаживания.
Примером ЦФ с четным числом точек является четырехточечный
фильтр скользящего усреднения. Его уравнение имеет вид
у n x n x n x n х n
= + + + + − + −
[ ]
(3.4)
Приведенные выше уравнения удобно исследовать с помощью
дискретного преобразования Лапласа, или Z-преобразования:
zуnу
.
(3.3)
Известны основные свойства этого преобразования:
2
1
zzуnу
;
+ =
2
;
у
11−
z
у
zn
=−
.
С учетом этих свойств пятиточечный ЦФ опишется выражением
[ ] [ ]
1
][][][][
zxzzxzzxzzxzxzzу
][
zx
212212 −−−−
)1(
++++=++++= zzzz
.
Передаточная функция такого фильтра имеет вид
[ ] 1
y z
= = + + + +
[ ]
5
[ ] 5
x z
− −
. (3.5)
Передаточная функция четырехточечного ЦФ имеет вид
[ ] 1
K z z z z z
[ ]
4
y z
= = + + +
[ ] 4
x z
3 3
1 1
− −
. (3.6)
На практике представляет интерес прохождение через ЦФ сигнала определенной формы, в качестве которого наиболее распространен
скачкообразный сигнал, а также гармонический сигнал.
При использовании гармонического сигнала свойства ЦФ определяются его амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ)
характеристиками.
32
Известно, что комплексная частотная характеристика ЦФ опреде-
f
N
0
T
ляется [1, 2] при подстановке
ϖ
j
ez =
, (3.7)
f
πϖ
где
2=
– круговая частота дискретизированного гармониче-
ского сигнала,
– его относительная частота.
Эта частота определяется соотношением
f1=
, (3.8)
где N – число дискретных отсчётов на периоде преобразуемого сигнала (рис. 3.2).
x(t)
t
tд
Рис. 3.2. Дискретизация сигнала
Для сигнала, изображенного на рис. 3.2, число дискретных отсчетов N = 8.
Очевидно, это число определяется выражением
T
N ==
T
f
x
д
,
f
д
x
где Тх – период сигнала,
Т
– период дискретизации,
д
fx, fд – частота сигнала и частота дискретизации соответственно.
Тогда приведенная частота дискретизированного сигнала определяется выражением
1
f ==
N
33
f
x
. (3.9)
f
д
( ) ( ).
5
ω ω ω ω ω ω
= + + + + + −
( ) cos cos .
ω ω ω
При подстановке (3.7) в выражение (3.5) для пятиточечного
усредняющего фильтра получаем выражение для его комплексной
частотной характеристики
+
2
1
=++++=
)1(
5
k
∑
−=
−−−
kjjjjj
ωωωωω
eeeeejK
2
. (3.10)
ω
1
)(
22
5
В общем случае для М – точечного усреднения с нечетным числом значений сигнала (точек) – получаем выражение комплексной
частотной характеристики
−
1
M
k
2
∑
M
−=
−
kj
ω
e
−
1
2
. (3.11)
1
=
)(
jK
ω
M
Аналогично этому при подстановке (3.5) в выражение (3.6) для
четырехточечного усредняющего фильтра получаем
3 3
1
K j e e e e
ω
4
= + + +
j j j j
ω ω ω ω
2 2 2 2
1 1
− −
Преобразовывая выражение (3.10) в тригонометрическую форму,
получаем это выражение в виде
( ) cos2 sin 2 cos sin 1 cos
K j j j
sin cos2 sin 2 .
j j
− + − =
1
(
5
ω ω ω
1 2cos 2cos2
+ +
ω ω
)
5
Для четырехточечного усредняющего цифрового фильтра анало-
гичное выражение имеет вид
K j
1 3 1
= +
2 2 2
(3.13)
(3.12)
Таким образом, мнимая составляющая этой комплексной функции равна нулю. Следовательно, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) пятиточечного усредняющего фильтра определяется
выражением (3.12), а четырехточечного усредняющего фильтра – выражением (3.13).
34
Фазо-частотные характеристики (ФЧХ) обоих фильтров равны ну-
()()(
)
ϖ ϖ ϖ
ϖ ϖ ϖ
(
)
f
ϖ π
()(
)
f f
()(
)
.
f f
0.4
π
⋅f⋅
⋅
+
лю, поскольку их весовые характеристики (см. рис. 3.1) симметричны.
В общем случае (при несимметричном виде весовой функции
фильтра) комплексная передаточная функция ЦФ может содержать
как действительную, так и мнимую составляющие, т.е. иметь вид
K j k jk
= +
Д М
.
В этом случае амплитудно-частотная характеристика ЦФ определяется выражением
K k k
( ) ( ) ( )
= +
2 2
Д М
.
На практике получила распространение АЧХ в функции от относительной частоты f в виде
A f K
=
ϖ
( )
.
2
=
Такая АЧХ для пятиточечного усредняющего фильтра определяется выражением
A f
( )
1 2cos 2 2cos 4
+ +
=
π π
5
. (3.14)
Аналогичная АЧХ для четырехточечного усредняющего фильтра
определяется выражением
A f
( )
4
cos 3 cos
=
π π
+
2
(3.15)
График этой АЧХ может быть построен с помощью математического редактора Mathcad. Программа для построения графика функции (3.15) в этом редакторе имеет вид:
cos 3
f 0 0.001,
A f( )
..:=
,
:=
( ) cosπf
2
( )
.
В редакторе Mathcad для относительной частоты f использовано
обозначение f.
35
График передаточной функции (3.15) четырехточечного усред-
(
)
A f
няющего цифрового фильтра представлен на рис. 3.3.
1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
A f( )
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0.40 f
Рис. 3.3. График функции АЧХ четырехточечного
цифрового фильтра скользящего усреднения
Частота, на которой значение АЧХ равно нулю, называется частотой режекции (подавления). Очевидно, первая относительная частота режекции четырехточечного усредняющего фильтра равна 0,25,
что соответствует четырем дискретным отсчетам на периоде гармонического сигнала.
Из рассмотрения этого графика видно, что чем меньше относительная частота f дискретизированного сигнала, тем ближе к еди-
ничному значению функция
, и тем меньше фильтр искажает
амплитуду входного сигнала.
На практике число точек усреднения может доходить до нескольких десятков.
Для экспериментального определения АЧХ четырехточечного
ЦФ использована схема четырехточечного аналогового регистра
сдвига (рис. 3.4), построенная на базе микросхемы U
36
марки
0
ADG412BRUZ (находится в библиотеке компонентов в разделе
UВХ
MIXED, подразделе analog_switch).
Эта микросхема представляет собой четырехканальный коммутатор аналоговых сигналов.
Гармонический сигнал, подвергающийся дискретизации, формиру-
ет генератор XFG1. Настройки генератора представлены на рис. 3.5.
Дискретные значения сигнала, формируемые на выходах 2, 15, 10, 7
коммутатора запоминаются на конденсаторах С1…С4 соответственно.
Импульсы с периодом 50 мкс (т. е. с частотой 20 кГц) для сдвига
дискретных значений сигнала формируются генераторами G1…G4.
В библиотеке компонентов Multisim генераторы обозначены как Pulse
Voltage. Фазы импульсов, формируемых генераторами, отличаются
на 1,6 мкс (у генератора G1 сдвиг по фазе равен 0, у генератора G2
сдвиг равен 1,6 мкс, у генератора G3 – 3,2 мкс, у генератора G4 –
4,8 мкс). Эти фазы устанавливаются в строке «задержка», при щелчке
по соответствующему генератору.
Рис. 3.4. Схема аналогового регистра сдвига
37
[
]
3
+
[
]
2
+
[
]
1
+
[
]
U n
0,05.
Рис. 3.5. Настройки генератора XFG1
Таким образом, при формировании импульса выборки дискретное
значение сигнала
нается на конденсаторе С4, через 1,6 мкс напряжение
U n
ВХ
на четвертом (сверху) выводе U0 запоми-
U n
ВХ
с выхода буферного повторителя U3 запоминается на конденсаторе С3,
через 3,2 мкс напряжение
U n
ВХ
с выхода U4 запоминается на
конденсаторе С2, через 4,8 мкс мгновенное значение гармонического
сигнала
ВХ
с выхода генератора XFG1 запоминается на конден-
саторе С1. Через интервал дискретизации, равный 50 мкс, этот процесс повторяется. Буферные повторители на усилителях U2, U3 и U4
развязывают входы (слева) с выходами (справа) коммутатора U0.
Для примера на рис. 3.6 приведены настройки генератора G2. Фазовый сдвиг генерируемых сигналов (Delay Time) для этого генератора, как видно из рисунка, составляет 1,6 мкс.
Работа аналогового регистра сдвига иллюстрируется диаграммами сигналов на выходах 2 и 7 коммутатора, приведенными
на рис. 3.7.
Можно заметить, что для коммутируемого сигнала частотой
1 кГц (см. рис. 3.5) сдвиг между диаграммами составляет 3 периода
тактовых импульсов. Относительная частота дискретизации в соответствии с (3.8) равна
f
ff= =
x
(3.16)
д
38
Рис. 3.6. Настройки генератора G2
Рис. 3.7. Диаграммы сигналов на выходах коммутатора U0
39
Для построения модели четырехточечного цифрового фильтра
= − + + + =
2 15 10 7
U U U U
скользящего усреднения схема аналогового регистра сдвига (см. рис. 3.4)
дополняется четырехканальным сумматором с коэффициентами передачи по каждому каналу, равными 0,25. Схема такого четырехточечного
фильтра скользящего усреднения представлена на рис. 3.8.
Четырехканальный сумматор в этой схеме выполнен на усилителе U5, кроме этого усилителя в схему добавлен буферный повторитель на усилителе U1.
Рис. 3.8. Схема для модели четырехточечного цифрового
фильтра скользящего усреднения
Таким образом, выходное напряжение сумматора равно
U U U U U
5 2 15 10 7
ВЫХ
где
, , ,
0,25 ,
= − + + +
– напряжения на выходах 2, 15, 10, 7 коммутатора
U U U U
( )
соответственно.
1 1 1 1
R R R R
5 4 3 2
R R R R
2 15 10 7
40
(3.17)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]