ргр 2 по матану
.pdfМатематика, 3 семестр, РГР-2. Уравнения математической физики
1.Привести к каноническому виду уравнение
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu + f(x; y) = 0.
Значения коэффициентов и вид функции f(x; y) приведены в табл. 1.
2.Найти решение уравнения свободных колебаний струны utt = a2uxx äëÿ струны длины ` с закрепленными концами и с начальными условиями
u(t = 0) = '(x); ut(t = 0) = (x):
Вид функции '(x) и (x) и значения a и ` приведены в табл. 2.
3.Найти решение уравнения теплопроводности ut = a2uxx â стержне длины ` с начальным условием
u(t = 0) = '(x):
(a) â |
случае, |
когда |
íà |
торцевых сечениях стержня |
|||
поддерживается |
|
нулевая |
|
температура; |
|
|
|
(b)в случае, когда торцевые сечения теплоизолированы.
Вид функции '(x), значения постоянных a, ` приведены в табл. 2.
4.Найти решение и уравнения Лапласа внутри круга x2 + y2 < a2,
принимающие на границе круга значения uj = f('). Вид функции f(') и значения радиуса a приведены в табл. 3.
|
a11 |
a12 |
a22 |
b1 |
b2 |
c |
f |
1 |
5 |
7 |
10 |
5 |
1 |
2 |
xy |
2 |
1 |
2 |
3 |
-2 |
2 |
4 |
x + y |
3 |
3 |
4 |
5 |
3 |
1 |
3 |
x |
4 |
2 |
3 |
4 |
4 |
5 |
1 |
x2 |
5 |
2 |
3 |
5 |
-2 |
6 |
0 |
y2 |
6 |
1 |
2 |
5 |
2 |
4 |
-1 |
x + y2 |
7 |
3 |
5 |
8 |
3 |
3 |
4 |
x + 1 |
8 |
4 |
5 |
6 |
4 |
5 |
5 |
5x |
9 |
5 |
6 |
7 |
5 |
2 |
6 |
6x2 |
10 |
1 |
1 |
5 |
-1 |
1 |
-1 |
x2 |
11 |
2 |
2 |
4 |
4 |
-1 |
0 |
x + y |
12 |
-1 |
1 |
3 |
1 |
-2 |
4 |
x2 + y2 |
13 |
1 |
3 |
5 |
4 |
-4 |
8 |
x2y2 |
14 |
1 |
3 |
13 |
2 |
3 |
1 |
xy2 |
15 |
1 |
1 |
1 |
-2 |
-5 |
-3 |
xy |
16 |
1 |
2 |
4 |
3 |
7 |
3 |
2xy |
17 |
3 |
2 |
1 |
3 |
-8 |
2 |
x + 1 |
18 |
5 |
2 |
1 |
5 |
1 |
1 |
x2y2 |
19 |
1 |
3 |
9 |
4 |
0 |
5 |
x3 |
20 |
5 |
1 |
1 |
5 |
2 |
-1 |
x + y |
21 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
4 |
-3 |
x2 |
22 |
3 |
1 |
-1 |
-3 |
5 |
1 |
y2 |
23 |
1 |
-2 |
4 |
2 |
6 |
2 |
x2 + y2 |
24 |
4 |
3 |
2 |
8 |
-1 |
4 |
xy |
25 |
1 |
-3 |
9 |
3 |
4 |
3 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1
1
|
a |
` |
|
'(x) |
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(') |
|
|
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
1 |
3 |
|
x sin(3 x) |
|
(2x 3)2 9 |
|
1 |
sin2(') + 2 cos2(') |
1 |
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
jx 1j 1 |
|
e2x sin(2 x) |
|
2 |
1 + sin3(') |
2 |
||||||||||||||||||||||
3 |
1 |
1 |
(2x 1)2 1 |
x sin(5 x) |
|
3 |
|
2 cos(2') |
1 |
|||||||||||||||||||||||
4 |
3 |
3 |
j cos(3 x)j 1 |
j2x 3j 3 |
|
4 |
sin(' + 4 ) |
3 |
||||||||||||||||||||||||
5 |
4 |
2 |
|
ex sin(2 x) |
|
j |
x |
|
1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
j |
sin(') |
j |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
2 |
3 |
|
x sin( |
|
|
x) |
|
e x sin(3 x) |
|
6 |
sin(') cos(2') |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7 |
1 |
2 |
|
x2 2x |
|
j cos(2 x)j 1 |
|
7 |
cos(') cos(3') |
3 |
||||||||||||||||||||||
8 |
2 |
1 |
|
j2x 1j 1 |
x[cos(4 x) 1] |
|
8 |
|
cos3(') |
4 |
||||||||||||||||||||||
9 |
1 |
4 |
|
jx 2j 2 |
|
|
x sin( x) |
|
|
|
|
9 |
cos(' + 3 ) |
2 |
||||||||||||||||||
10 |
1 |
1 |
x[cos(2 x) 1] |
(2x 1)2 1 |
|
10 |
1 + j cos(')j |
1 |
||||||||||||||||||||||||
11 |
2 |
3 |
|
x sin( |
2 |
x) |
|
2x |
|
3 |
j |
3 |
|
|
11 |
sin3(') + cos3(') |
2 |
|||||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x sin( |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' sin(') |
|
|||||||||||||
12 |
1 |
2 |
|
2 x) |
|
jx 1j 1 |
|
12 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||
13 |
4 |
1 |
|
j2x 1j 1 |
x2 sin(4 x) |
|
13 |
sin(') cos(2') |
4 |
|||||||||||||||||||||||
14 |
3 |
3 |
j |
cos( |
x) |
|
1 |
e2x sin( x) |
|
14 |
|
' |
|
|
|
sin3(') |
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
32 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
sin( |
|
) + 2 |
|
|
|
|||||
15 |
2 |
2 |
|
x sin |
(2 x) |
|
jx 1j 1 |
|
15 |
sin(' + |
6 ) |
2 |
||||||||||||||||||||
16 |
1 |
1 |
x[cos(4 x) 1] |
j2x 1j 1 |
|
16 |
cos(' + 3 )6 cos(4') |
1 |
||||||||||||||||||||||||
17 |
2 |
5 |
|
ex sin(3 x) |
|
j cos(5 x)j 1 |
|
17 |
|
2 sin3(') |
2 |
|||||||||||||||||||||
18 |
3 |
4 |
|
4x x2 |
|
(x2 4x) cos( |
3 |
x) |
|
18 |
sin2(') + 4 cos2(') |
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
4 |
3 |
|
j2x 3j 3 |
ex sin(3 x) |
|
19 |
3 sin2(') + cos2(') |
1 |
|||||||||||||||||||||||
20 |
1 |
1 |
j cos( x3)j 1 |
j2x 1j 1 |
|
20 |
(' + ) sin(2') |
2 |
||||||||||||||||||||||||
21 |
2 |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
x) |
|
j |
x |
|
|
j |
2 |
|
|
21 |
1 + |
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x sin( |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos(3') |
||||||||||||||||
22 |
1 |
3 |
|
x sin (3 x) |
|
j2x 3j 3 |
|
22 |
cos(' + 4 ) cos(2') |
2 |
||||||||||||||||||||||
23 |
2 |
2 |
(x 1)2 1 |
|
x sin(2 x) |
|
|
|
|
23 |
sin2(') + 4 cos3(') |
3 |
||||||||||||||||||||
24 |
3 |
1 |
|
j2x 1j 1 |
(x2 x) cos( x) |
|
24 |
3 cos(' + 4 ) |
4 |
|||||||||||||||||||||||
25 |
1 |
1 |
|
x2 sin(4 x) |
j2x 1j 1 |
|
25 |
|
' sin2(') |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|||||||||||||
2