Функции алгебры логики

~ 4

) ( 0000010001100111);

~ 4

) (1010101010110110 );

7) f ( x

8) f ( x

~ 4

) ( 0100000000010001);

~

4

) ( 0000000100010001).

9) f ( x

10) f ( x

Ответы:

1) x1 x2 x1 x2 1; 4) x1 x2 x3 x1 x3 x2 x3 x2 x3;

7) x1 x2 x4 x2 x3 x4 x1 x3 x1 x4 x2 x4 .

~ n

) формулой над множеством связок {&, },

19. Представив функцию f ( x

~ n

)

преобразуйте полученную формулу в полином Жегалкина функции f ( x

(используя эквивалентности

A 1, A ( B C ) A B A C, A A A,

A

A 1 A, A A 0, A 0 A):

~ 2

) x1

( x2 x1 x2 );

~3

) ( x1 ( x2 x3 )) (( x1 x2 ) x3 );

1) f ( x

6) f ( x

~2

~ 3

) ( x1 x2 ) ( x2 x3 );

) x1

( x2 ~ x1 x2 );

2) f ( x

7) f ( x

~3

) ( x1 x2 )|( x2 x3 );

~ 4

) ( x1 x2 ) ( x3 x1 x4 );

3) f ( x

8) f ( x

~3

) ( x1

x2

) ( x2 | x3 );

~ 4

) x1 ( x2 (( x3 x2 ) x4 ));

4) f ( x

9) f ( x

~3

~4

) ( x1 x2 x3 )x4 x1x2 x3 .

) x1 (( x1

x2 ) x3 );

5) f ( x

10) f ( x

Ответы:

~ 2

) x1

x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

x1 x2 1;

1) f ( x

~3

) x1

x2 x2 x3 x1 x2 x3 ( x1 1)( x2 1)( x3 1) 1

3)

f ( x

x1x2 x3 x1x2 x1x3 x2 x3 x1 x2 x3 ;

~ 4

) x1

x2 x2 x3 x4 x1 x2

x4 x1x2 x4 ( x1 1)x2 ( x4 1) 1

9)

f ( x

1) A { x };

3) A { 0, x };

2) A { x1 x2 };

4) A { x1 x2 };

5) A { x1 x2 x2 x3 x3 x1 };

11) A { x1

x2

x3 1};

6) A { x1 x2 };

12) A { x1 x2 };

7) A { 0,x1 ~ x2 };

13) A { x1 x2

x2 x3 x3 x1 };

8) A { x1 x2 ,x1 x2 };

14) A { x1

x2

x3 };

9) A { x1 x2 x3 };

15) A { x1 x2

x3 }.

10) A { x1 x2 x2 x3 x3 x1 };

Ответы:

1){ x1 , x1 , x2 ,x2 };

2){ 0,x1 ,x2 ,x1 x2 }; 3){ 0,1,x1 ,x2 ,x1 ,x2 };

4){ x1 , x2 , x1 x2 }; 5){ x1 x2 }; 6){1,x1 ,x2 ,x1 x2 ,x1 x2 ,x1 x2 }.

21. Покажите, что f [ A] , выразив f формулой над множеством А:

1) f x, A { 0,x y };

9) f xy, A { xy z };

2) f

x y, A { x y };

10) f

xyz t( x y z ),A { xy yz zx };

3) f

x, A { x y };

11) f

x y z, A { x,xy yz zx };

4) f x y z, A { x ~ y };

12) f

x y z,A { xy yz zx };

5) f

0, A { xy z };

13) f

x y, A { xy,x y };

6) f

x, A { xy };

14) f

x y, A { x y };

15) f xy,A { x y,x y }.

7) f x y, A { x y };

8) f x, A { xy yz zx };

Ответы: 1) f x 0;

2) f

(( x x ) ( y y )) ( x y );

3) f ( x x ) x;

4) f ( x ~ y ) ~ z;

5) f xx x;

7) f (

) (

6) f x( yx );

x x

y y

).

22. Выписать все попарно неконгруэнтные функции

~ 3

)

n

,

f ( x

принадлежащие замыканию множества А:

1) A {1,x };

2) A { xy };

3) A { x ~ y };

4) A { xy yz zx };

5) A { x y z 1}; 6) A { x y z };

7) A { x y };

8) A { xy z };

9) A { xy };

10) A {( x y )(

y

z )( z x )}.

Ответы: 1){ 0,1, x,x };

2){ x, xy, xyz };

3){1,x,x ~ y,x y z };

4){ x,xy yz zx };

5){ x,x,x y z,x y z 1}.

23. Из полной для класса [A] системы выделить базис:

1) A { 0,1, x };

2) A { x y,x ~ y,1};

3) A { x,x y,x y z };

4) A { xy,x y,xy z };

5) A { x y,x y };

6) A { xy, xy };

7) A { x y z,xy yz zx,x };

8) A {1,x ~ y,x y z 1};

9) A { xy,xy xz };

10) A { x,x y,x y z,xy z }.

Ответы: 1){ 0, x };

2){ x y,1};

3){ x y };

4){ xy, x y }; 5){ x y }.

~3

) x1 x2 x2 x3 x3 x1 , x y 1};

5) A { 0,m( x

1) f x1 x2 x2 x3 x3 x1 ;

2) f x1 x2 ;

3) f x1 x2 x3 1;

4) f (x y z)t xyz;

5) f

( x y z )t xyz;

6) f (x1

x2 );

7) f x1 x2 ;

8) f x x

2

x

2

x

3

x

3

x x

2

x

3

;

1

1

9) f

x1 x2 x3 ;

10) f

x1 x2 ( x1 x2

x2 x3

x3 x1 );

11) f x1 x2 x3 ( x1 x2 );

12) f

x1x2 x3

x1x2 x2 x3 x3 x1 ;

13) f

x1x2 x3 x1x2 x3 x2 x3 x3 x1 ;

14) f

( x1

x2

) ( x2 x3 ) ( x3 x1 ) x3 ;

15) f

( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x1 ).

Ответы: 1),3),4),8),10) – является; 2),5),6),7),9) – не является.

26. Выяснить, является ли самодвойственной функция f, заданная векторно:

~

(1010 );

~

(1100001110100101);

1) a f

11) a f

~

~

(1001011010010110 );

3) a f (10010110 );

13) a f

~

( 01110001);

15)

~

(1010010101011010 ).

5) a f

a f

~

(1100100101101100 );

7) a f

~

~

(1001);

(1000001110001100 );

2) a f

9) a f

~

( 01100110 );

~

(1010 );

4) a f

12) a f

~

( 01001101);

~

(1101010010110010 );

6) a f

14) a f

~

(1110011100011000 );

8) a f

~

10) a f (1001101110111001);

Ответы: 1),3),5),6),7),8) – является;

2),4),9),10) – не является.

1) A { 0,1, x };

9) A [{ m( x, y,z )}];

2) A { 0, x };

10) A [{1, x y }];

3) A { x y,x ~ y,x y z };

11) A [{1,x y,xy }];

4) A { x y,x y };

12) A [{1, xy }];

5) A { x y,xy };

13) A [{ x y,x y }];

14) A [{ x y }];

6) A { x y, x y,m( x, y, z )};

7) A { x y z,x };

15) A [{ xy z 1}].

8) A [{ x y }];

1) A {1, x1

x2 };

9) A { x1 x2 x3 1,0 };

2) A { 0,x

~ x

2

};

10) A L P ( x2 );

1

2

3) A { 0,1,x1 x2 x3 };

11) A ( L S ) { 0 };

4) A { x 1,x1 x2 };

12) A L\ S;

5) A { x

x

2

,x

~ x

2

};

13) A { x1 x2 ,x1 x2

x3 1,1};

1

1

6) A { x

x

2

x

,x 1,0 };

14) A { x1 x2 x1 x2 , x 1};

1

3

7) A { x

x

x

1,x ~ x

2

};

15) A ( L \ S ) P( X 2

).

1

2

3

1

1) f ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 );

6) f x x

2

x

3

x x

2

x

2

x x

2

x

3

;

1

1

1

2) f

m( x1 ,x2 ,x3 );

7)

~

(10010110 );

a f

3) f

x1 ( x2 ( x3

x1 ));

8)

~

(11011001);

a f

4) f x1 x2 x3 x1 x2 x2

;

9)

~

(10000111);

a f

5) f ( x1 x2 )x3 x1x2

x2 ;

~

10) a f ( 00011011).

Ответы: 1),3),4),6),8),9) – является; 2),5),7),10) – не является.

32. Подсчитать число функций, зависящих от переменных x1,…,xn и

принадлежащих множеству А:

1) A T0 T1 ;

3) A T0 L;

5) A T0 L;

2) A T0 T1 ;

4) A T1 S;

6) A L\ T1 ;

37) A ( L S )\ (T0 T1 );

42) A T0

T1 S;

38) A ( L T0 )\ ( S T1 );

43) A T0

T1 S L;

39) A ( S T0 )\T 1;

44) A T0

T1 L;

40) A ( L T0

T1 )\ S;

45) A ( L \ S ) ( T0 \ T1 ).

41) A (T0 T1

S )\ L;

Ответы: 1) 22n 2 ; 2)

3

22n ;

3)22n; 4) 22n 1 1 ; 5) 22n 1

2n ; 6)2n; 7) 22n 1 2n 1 ;

4

8) 2n 1 ; 9) 22n 1

22n 1

2n 1 ; 10)

1

( 22n 1 2n

); 15) 0.

2

33. Доказать, что:

1) L S T0 L S T1 L T0 T1 L S T0 T1 ;

2) S T0 S T1 S T0 T1 .

Указание: если

f T S , { 0,1}, то

f T

S; если f L T0 T1 ,то

f S.

1) A { xy,x y,x y,xy yz zx };

6) A { x,x( y ~ z ) ~ yz,x y z };

2) A { xy,x y,x y z 1};

7) A { xy( x y ),xy x y,1,xy yz zx };

3) A {1,x,x( y ~ z ) x( y z ),x ~ y };

8) A { xy( x z ),1};

4) A { 0,x,x( y z ) yz };

9) A { x y,x yx,x y z,1};

5) A { x,x( y ~ z ) ~ ( y z ),x y z };

10) A { x y,x y }.

Ответы: 2),4),6) – полна;

1)нет, A T0 ; 3)нет, A L; 5)нет, A S.

Ответы: 3),5) – полна; 1)нет, A L;

2)нет, A T0 ; 4)нет, A S; 6)нет, A M .

39. Выяснить, полна ли система А:

1) A ( S M ) ( L \ M );

3) A ( L T1 ) ( S M );

2) A ( L T1 T0 ) S \ (T0 T1 );

4) A ( L T1 ) ( S \ T0 );