Variatsionnoe_ischislenia

V.3 Необходимые условия минимума в простейшей вариационной задаче

V.3.1 Условие Лежандра

Общую теорему о необходимом условии минимума мы перенесем на простейшую вариационную задачу

b

Z

J : x → L(t, x(t), x˙ (t))dt, x : [a, b] → R, x(a) = xa, x(b) = xb

a

Отметим, что необходимые условия слабого локального минимума будет одновременно необходимым условием слабого глобального минимума и сильного локального и глобального минимумов.

Пусть экстремаль xˆ дает локальный минимум. По теореме 24 необходима неотрицательность квадратичной

формы

hε(t) = ϕ( t − t0 )

ε

с фиксированной функцией ϕ C0∞, t0 (a, b) и достаточно малым ε, таким чтобы supphε (a, b). На таких

функциях имеем

D2J (ˆx)(hε, hε) =

Это неравенство называется неравенством Лежандра 2) (усиленным условием Лежандра называется строгое

2) Legendre A. M.(Лежандр Адриен Мари, 1752 - 1833) французский математик, исследовал "преобразования Лежандра"в 1789

г., обосновал и развил теорию геодезических измерeний, ему принадлежит ряд исследований по математическому анализу и теории чисел.

V.3.2 Условие Якоби

Получим еще одно следствие необходимого условия теоремы 24 неотрицательности квадратичной формы второй

Рассмотрим его на функциях с начальными данными ˙ . Определим точку как сопря- h h(a) = 0, h(a) = 1 t > a

женную с точкой a, если введенная выше функция h обращается в нуль в точке t .

˙

Теорема 28. Пусть выполнено усиленное условие Лежандра. Для того, чтобы экстремаль x = xˆ(t) давала слабый локальный минимум функционалу J (x) необходимо, чтобы интервал (a, b) не содержал точек, сопряженных с a.

Отсутствие сопряженных точек на интервале (a, b) называется условием Якоби3). Усиленным условием Якоби называется отсутствие сопряженных точек на полуинтервале (a, b]. Само уравнение Эйлера для квадратичного функционала, образованного второй производной функционала J на экстремали(V.6), называется уравнением Якоби функционала J .

Доказательство. Ранее было показано, что неотрицательность квадратичной формы второй производной функционала на экстремали является необходимым условием минимума. Значит, D32J (ˆx)(h, h) > 0. Рассмотрим про-

h(t) = αt + β. Очевидно, у функционала K вообще нет сопряженных точек. Образуем линейную комбинацию функционалов D2J (ˆx) и K

Ms : h → sD2J (ˆx) + (1 − s)K =

a

Для всех s [0, 1) квадратичный функционал Ms положительно определен на гильбертовом пространстве

3)Jacobi С.П.(Якоби Карл Густав, 1804 - 1851) немецкий математик, известны: Уравнение Якоби, Условие Якоби, определитель

-Якобиан

Доказательство. Так как полуотрезок (a, b] не содержит сопряженных с a точек, а P (t) > 0 на [a, b], то можно указать больший отрезок [a, b + ε], на котором нет сопряженных точек и P (t) > 0. Рассмотрим квадратичный

d2 ˙

−dt (P − α )h + Qh = 0

По свойству непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от параметров, при достаточно малых α и ε будет P (t)−α2 > 0 на [a, b] и решение h(t, α) написанного уравнения Эйлера с начальными данными

циальное уравнение Риккати4).Его можно свести к линейному уравнению заменой переменных по формуле w = −uu′ · (P − α2). При этом для u получаем уравнение −dtd (P − α2)u′ + Qu = 0 Это как раз уравнение Эйлера для функционала Nα и за u мы можем взять h(t, α). Оно не обращается в нуль на [a, b] и замена w на u законна.

Установленная для Nα формула (V.9) означает неотрицательность Nα

Теперь по формуле (II.12)для приращения функционала имеем

V.4.2 Достаточное условие сильного минимума.

Локальный сильный минимум – это минимум среди кусочно непрерывно дифференцируемых функций, взятых из малой окрестности, определяемой метрикой непрерывных функций. Эта окрестность может быть очень большой в метрике кусочно непрерывно дифференцируемых функций. Например, x(t) = ε sin nt при малых ε близко

4) Rikatti J.(Рикатти Я.) Впервые исследовал уравнение Рикатти в 1723 г.

Каждый сильный минимум является одновременно и слабым. Поэтому естественно искать достаточные усло-

вия сильного минимума, "взяв за основу"полученные ранее условия слабого минимума.

a

Мы рассматриваем простейшую вариационную задачу J (x) = R L(t, x(t), xˆ(t))dt → min, x(a) = xa, x(b) = xb

b

Теорема 30. Пусть L C4(a, b]×R2), функция x = xˆ(t) -класса C3[a, b] является экстремалью функционала J , Выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби . Пусть дополнительно функция L(t, x, v) является строго выпуклой по v R1 в некоторой окрестности v R2 графика экстремали = {(t, x)|x = xˆ(t), t [a, b]}. Тогда эта экстремаль дает локальный сильный минимум в поставленной задаче.

Пример 19. Пример сильного минимума функционала.

квадратичный, то уравнение Якоби совпадает с уравнением Эйлера. Его ненулевое решение h(t) с начальным условием h(0) = 0 есть h(t) = A sin t с A =6 0. Сопряженные точки удовлетворяют условию sin t = 0, ближайшая к нулю сопряженная точкa t0 = π. Поэтому, если T0 < π, то xˆ(t) = ξ sin t/ sin T0 дает сильный минимум.

Перед доказательством теоремы введем понятие поля экстремалей. Запишем уравнение Эйлер функционала

J

D32L(t, x, x˙ )¨x + D2D3L(t, x, x˙ )x˙ + D1D3L(t, x, x˙ ) − D2L(t, x, x˙ ) = 0.

˙

{(t, x, y) | t [a, b], x = xˆ(t), y = xˆ(t)}

продолжает соблюдаться условие D32L(t, x, y) > 0. Поэтому в этой окрестности уравнение Эйлера эквивалентно

системе, разрешенной относительно производных

Благодаря предположенной гладкости функции L записанная система удовлетворяет условиям известных тео-

рем локальной однозначной разрешимости задачи Коши и продолжимости решения. То есть найдутся такие числа ε > 0 и δ > 0, что решение x = xˆ(t) продолжимо на отрезок [a − ε, b + ε] и для любого λ R1, |λ| < δ, на отрезке [a−ε, b+ε] однозначно определено решение x = x(t, λ) задачи Коши с начальными данными x(t ) = xˆ(t ),

Покажем, что в условиях нашей теоремы справедлива

Лемма 1. Экстремаль x = xˆ(t) окружена центральным полем экстремалей.

Доказательство. Обозначим Dλx(t, λ)|λ=0 ≡ H(t, t ).

Дифференциальное уравнение для H получается дифференцированием по параметру λ уравнения Эйлера:

Это как раз уравнение Якоби. Кроме того, функция H должна удовлетворяет начальным условиям

= Dλxˆ(t ) = 0,

D1H(t , t ) = Dλx˙ (t , λ)|λ=0 = Dλ(x˙ (t ) + λ) = 1.

Пусть решение уравнения Якоби с условиями , ˙ . Выполнение усиленного

H(t, t0) H(a, a) = 0 H(a, a) = 1

условия Якоби означает, что H(t, a) 6= 0 при любом t (a, b]. По непрерывности H(t, t ) 6= 0 для любого t [a, b] при достаточной близости t к a.

Теперь возьмем отображение

(t, λ) 7→ψ(t, λ) ≡ (t, x(t, λ))

и построить единую для всей эктремали x = xˆ(t) функцию λ = λ(τ, ξ) C2. Построение центрального поля экстремалей завершено. Остается положить функцию наклона поля равной u(τ, ξ) = x˙ (τ, λ(τ, ξ)).

Доказательство теоремы 30. Нам надо показать, что для всех кусочно гладких кривых x = x(t), соединяющих точки (a, xa) и (b, xb) и лежащих в малой R2 - окрестности графика экстремали xˆ, будет

Выписанные интегралы можно записать в виде криволинейных интегралов второго рода(см. учебник Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т. II), взятых по кривым (t, x(t)) и (t, xˆ(t)) :

Идея доказательства состоит в том, чтобы записать второй интеграл в виде интеграла второго рода по той же кривой, что и первый интеграл. Тогда неотрицательность разности интегралов будет следствием неотрицательности разности подынтегральных выражений.

Для обоснования этих преобразований рассмотрим сначала функцию

τ

Z

S(τ, ξ) = L(t, x(t, λ), x˙ (t, λ)|λ=λ(τ,ξ)dt

t

Очевидно, она непрерывно дифференцируема, а интеграл второго рода от ее дифференциала не зависит от

Глава VI

Преобразование Лежандра

VI.1 Общее определение

Рассмотрим J : B → R функционал, определенный на множестве M B, непрерывно дифференцируемый (по Фреше). Oтображение u 7→DJ (u) называется градиентным, пусть оно является взаимно однозначным отображением M на N B , где B сопряженное к B пространство (то есть B это пространство линейных непрерывных функционалов на B).

Теорема 31. Если J C2, то L2 = I (такое свойство называется инволютивностью оператора L). Доказательство. L : {x, J (x)} 7→p,{ J (p)} означает p = DJ (x), x = (DJ )−1(p) и

J (p) = (p, x) − J (x).

Так как J является дважды непрерывно дифференцируемым функционалом, то мы имеем для вычисления DJ (p) формулу

q ≡ DJ (p) = (DJ )−1(p) + Dp((DJ −1)(p))T · p − −Dp((DJ )−1(p))T · DJ ((DJ )−1(p)) = x.

Поэтому

J (p) = (DJ (p), p) − J (p) = DJ (p) = q = x = (DJ )−1(x) = p

= (x, p) − (p, x) + J (x) = [(x, p) ≡ (p, x)] = J (x).

50