Lektsii_po_teorii_lineynogo_programmirovania
.pdf
7. Алгоритм симплекс-метода решения задачи линейного программирования
Разберем алгоритм симплекс-метода решения канонической задачи линейного программирования на конкретном примере.
x1+ x2+2x3+3x4 |
+6x6 =9 |
x2+ x3+ x4 |
+ x6 =3 |
x3+ x4 - x5 +2x6 =1 |
|
x4 |
+ x6 =1 |
j =1,6 xj ≥ 0
x1 + x2 +... + x6 → max ?
В нашем примере
Зк: argmax <c,x>=?, Ax=b, x ≥0, x Rn, b Rm . n=6, m=4, c=(1,1,…,1) Т R6, b=(9,3,1,1)T R4 ,
1 |
1 |
2 |
3 |
0 |
6 |
||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||
A = |
0 |
0 |
1 |
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||
Дано: точка xкр =(1,2,0,0,1,1)Т является крайней
для этой задачи.
Решение задачи также является ее крайней точкой. Алгоритм решения дает правило вычисления последовательности крайних точек, начинающейся с заданной и оканчивающейся на решении задачи.
31
Берем из матрицы А столбцы, соответствующие ненулевым координатам заданной крайней точки:
а1 = (1,0,0,0)Т , а2 = (1,1,0,0)Т , а5 = (0,0,−1,0)Т , а6 = (6,1,2,1)Т
Они линейно независимы и образуют базис в R 4 (если Зк невырожденная, то это является необходимым следствием невырожденности). Составим квадратную матрицу из этих столбцов - базисную матрицу.
|
1 |
1 |
0 |
6 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
и вычислим |
||||
Abasic ≡ Ab = |
0 |
0 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
0 |
−5 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
−1 |
|
-1 |
|
|
||||
Ab |
= |
0 |
0 |
−1 |
2 |
. |
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
После этого вычисляем матрицу A b−1 (b,A). Заметим, что A b−1 b= xкр,b ( xкр,b обозначает вектор
xkp, из которого убраны нулевые координаты):
1 |
−1 |
0 |
−5 |
|
9 |
|
1 |
||||
|
0 |
1 |
0 |
−1 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
−1 2 |
|
× |
1 |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача. Почему так получается? (Решение смотрите в доказательстве теоремы 12, вариант (с)).
Обозначим A b−1 A=Q =( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )Т. Очевидно, ( x1 , x2 , x5 , x6 )=I 4 .
32
Для большей наглядности объяснений удобно расположить вычисления в виде следующей таблицы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. |
|
|
|
|
Первоначальная запись условий задачи |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сТ |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
c b |
|
b |
a1 |
|
a 2 |
a 3 |
a 4 |
|
a 5 |
а6 |
|
t |
|
a1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
0 |
1 |
-3 |
|
0 |
0 |
|
|
|
a 2 |
|
1 |
|
2 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
a 5 |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
-1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
1 |
I 0 = 5 |
a 6 |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
z |
|
|
|
5 |
1 |
|
1 |
1 |
-1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
-2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 = 4 |
|
|
|
|
|
|
сb |
получилось |
из вектора |
с |
удалением |
координат с |
||||||||||
номерами, которым соответствуют нулевые координаты
в векторе xкр . |
Под вектором b в четырех клетках стоит |
||||||||||
вектор xкр,b . Мы выделили рамкой матрицуxкр,b . |
|||||||||||
|
|
|
z j ≡< cb , x j >, j= |
|
, x 0 ≡ xкр,b . |
||||||
|
|
|
0,6 |
||||||||
В столбцах |
под векторами b, а j , j = |
|
|
стоят вектора |
|||||||
1,6 |
|||||||||||
x j (j= |
|
), |
координаты которых есть |
коэффициенты |
|||||||
0,6 |
|||||||||||
разложений b, а j по выбранному базису а1 , а2 , а5 , а6 . |
|||||||||||
∆ j ≡ z j − c j , |
j = |
|
. |
|
|||||||
1,6 |
|
||||||||||
Алгоритм решения задачи следующий.
Для заполнения клеток последнего столбца таблицы (под t) мы принимаем следующее альтернативное решение:
(а) Если j =1,6 ∆ j ≥ 0, то считаем вычисления
оконченными, задачу решенной с ответом
33
xкр = arg max < c, x >, |
Ax = b, |
x ≥ 0. |
(b) Если j0 с ∆ j0 < 0 |
и x j0 |
≤ 0, то считаем |
вычисления оконченными, а задачу не имеющей решения, S(b) = +∞
(с) |
Если есть ∆ j |
,..., ∆ j |
s |
< 0 , |
для |
которых у |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каждого |
вектора |
x j1 ,..., x js есть |
положительные |
|||||||||||
координаты, |
то |
среди |
этих |
|
∆ j |
,..., ∆ j |
s |
|
|
берем |
||||
|
|
∆ j0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
минимальное |
(если |
минимальных несколько, то |
||||||||||||
любое из них). В векторе |
x j0 |
для |
всех |
|
его |
|||||||||
положительных координат |
x j0 >0 составляем |
t |
j |
= |
xi |
, |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
x j0 |
||
где xi - это i −тая координата вектора xкр,b . |
|
|
|
|
|
i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Записываем ti в соответствующие клетки крайнего |
||||||||||||||
правого столбца. Выбираем i0 с наименьшим ti0 |
|
(если |
||||||||||||
минимальных несколько, то любое их них).
Внаборе базисных векторов (a1,a2 ,a5 ,a6 )
заменяем вектор ai0 (у нас - a5 ) на вектор a j0 (у нас -
a4 ) и составляем заново таблицу.
Так поступаем до тех пор, пока новая таблица не приведет к вариантам (a) или (b) и процесс решения закончится.
В нашем примере новая таблица имеет вид:
34
Таблица 2.
Результат пересчета по варианту (с)
|
c Т |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
t |
|
cв |
b |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
1 |
10 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
|
|
|
|
a2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
a4 |
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
a6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
z |
|
13 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
∆ |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
Получили вариант (a): все ∆j ≥ 0, |
j = |
|
. |
|
|||||||
|
1,6 |
|
||||||||||
Ответ: arg max Зk=(10,2,0,1,0,1); S(b)=13.
35
8. Обоснование алгоритма симплекс-метода
Мы дадим обоснование симплекс-метода для невырожденных задач.
Симплекс-метод может приводить к решению и вырожденные задачи, но не всегда. Применение алгоритма к вырожденной задаче может зациклиться. На каком-то шаге при пересчете таблицы, дающем новую крайнюю точку (xкр' вместе xкр), получится <c, xкр> = <c, xкр'>. То есть алгоритм симплекс-метода перескакивает с одной вершины многогранника области определения на другую, оставаясь на той же самой поверхности уровня функции <c,x>.
Но, во-первых, в практических задачах это встречается очень редко. А, во-вторых, трудность может быть преодолена специальным приемом расцикливания
– ухода с поверхности {x |< c, x >= const}.
Теорема 13. Дана невырожденная каноническая задача и
одна из ее крайних точек x |
кр |
= (x ,..., x |
m |
,0,...0) Rn |
|||
|
|
|
1 |
|
|
||
j = |
|
xj > 0 (переименованием |
координат, мы |
||||
1, m |
|||||||
ставим ненулевые координаты на первые места). Тогда применение алгоритма симплекс-метода решает задачу за конечное число шагов.
Доказательство:
Пусть мы пришли к варианту (а).
По теореме 6 |
det A ≠ 0, |
A−1. Рассмотрим yT = cT A−1 , |
||||
|
|
|
b |
b |
|
b b |
то |
|
есть |
cT |
= yT AT . |
Имеем, |
|
|
|
|
|
b |
b |
|
zT |
= cT Q = cT |
A−1 A = yT A = (AT y)T . |
Значит, |
|||
|
b |
b |
b |
|
|
|
0 ≤ ∆ = z − c = AT y − c . |
Это означает, что |
AT y ≥ c , то |
||||
|
|
|
|
36 |
|
|
есть y |
- допустимый элемент двойственной задачи. |
|||
Кроме |
того, |
Ab xкр,b = A xкр = b |
и |
поэтому |
< y,b >= cbT Ab−1 b =< cb , Ab−1 b >=< cb , xкр,b >=< c, xкр >
.
По критерию существования решения – теореме
10, xкр является решением задачи Зк, |
а |
|
y = Ab−1T cb |
- |
|||||||||
решением сопряженной задачи (Зк)*. |
□ |
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть мы пришли к варианту (b). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Положим |
x(t) = xкр − t(x j0 ,0)+ t e j0 . |
Здесь(x j0 ,0) |
- |
||||||||||
это x j0 |
Rm ; дополненное нулями, |
поставленными на те |
|||||||||||
места, |
координаты которых равны нулю в xкр, e j0 |
- орт |
|||||||||||
j0 - оси. |
|
x(t) ≥ 0 |
для |
всех |
t ≥ 0. |
Кроме |
того, |
||||||
Ax(t) = A x |
kp,b |
−tA x j0 |
+tAe j0 |
=b −ta j0 |
+ta j0 =b . То есть x(t) |
||||||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– допустимый элемент для всех t ≥0 . При этом |
|
|
|||||||||||
′ |
|
|
j0 |
,0) |
j0 |
>=<c,xкр |
>−t <cв,x |
j0 |
>+tcj |
= |
|
||
<c,x(t )>=<c,xкр −t(x |
+te |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
=<c,xкр >−tzj +tcj =<c,xкр >−t∆j →+∞ при |
t →+∞. |
|
|
||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
□
Рассмотрим вариант (c).
Покажем, что после перестройки таблицы в столбце «b» появляются ненулевые координаты новой крайней точки xкр′ ,b , с которой функция <c, x >
принимает большее чем прежде значение,
< c, xkp >< < c, xkp' >.
Так как множество всех крайних точек конечно, то
неравенство |
c, xкр < |
′ |
означает, что за конечное |
c, xкр |
число шагов мы дойдем до последней – решения задачи.
37
Ax =b для любого допустимого вектора x D Зл , а если x имеет (n − m) нулевых координат; x = (xb ,0) -
возможно, с переменной индексов координат, то b = Ax = Ab xb .
Для заданной с самого начала крайней точки xкр,b > 0 (невырожденность задачи) по теореме 6
det Ab ≠ 0 . Уравнение Ab−1a j = x j означает, разложение
векторов a j в выбранном базисе (a j )m |
A |
= A−1x |
кр,b |
|
|
j =1 |
b |
b |
|
однозначно выражает |
xкр,b через b |
|
формулой |
|
xкр,b = Ab−1b . (Это ответ на вопрос задачи, поставленный
выше – на стр. 32).
Проведем вычисление координат нового вектора x′через координаты прежнего вектора x (для краткости опускаем индекс кр.)
Основой перестраивания таблицы является замена
в первоначально выбранном базисе {a j }mj =1 вектора ai0 на вектор a j0 . Чтобы показать, что система векторов
{a j }mj =1 a j0 |
снова образует базис в пространстве Rm |
|||
j ≠i0 |
|
|
|
|
используем |
известный |
из |
алгебры |
результат: |
необходимое и достаточное условие линейной
независимости |
k |
векторов |
{y1,..., yk } |
есть |
||
невырожденность их матрицы Грамма |
|
|
|
|||
Γ ≡ Γ(y1,..., yk )= (< ys , yt >) |
|
, |
det Γ ≠ 0. |
|
||
|
|
|||||
|
|
s,t =1,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
Мы знаем, что det Γ(a1,...,am ) ≠ 0, |
a j0 |
= ∑x jj0 a j . |
|
|||
j=1
Рассмотрим Γ′ ≡ Γ(a1,..ai0 −1,ai0 +1,..,am ,a j0 ).
38
|
|
|
|
|
|
|
(as ,at )s,t= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(as ,a j0 |
|
)s= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,m |
|
|
|
|
|
|
|
1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
det Γ′ = det |
|
|
|
|
|
|
s,t≠i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(a j0 ,at |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a j0 ,a j0 |
|
s≠i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s= |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,m |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s,t= |
1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j0 |
|
as ,a j |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(as ,at ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s,t≠i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s≠i0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= det |
|
m |
x j0 ai ,at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
x j0 |
|
m |
x j0 ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
∑ |
,a j |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
t=1,m |
|
|
j=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(as , at )s,t= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xij0 (as , ai0 ))s= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,m |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= det |
|
|
|
|
|
s,t≠i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s≠i0 |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∑xi |
j0 |
i |
, a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
j0 |
a |
i |
, a |
j0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(as , at )s,t= |
|
|
|
|
|
|
|
|
(as , ai0 )s= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
j |
|
|
|
1,m |
|
|
|
|
|
1,m |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= xi0 |
|
det |
|
|
|
|
|
|
|
|
s,t≠0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s≠i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(xij0 ai0 , at |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j0 ai0 , ai0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=1,m |
|
|
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= (x j0 )2 det(as ,at ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(x j0 |
)2 det Γ ≠ 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s,t =1,m |
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Итак, {a |
j |
} |
|
|
|
|
a |
j |
0 |
- новый базис |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
j =1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
j ≠i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m
b = Ab x = ∑x j a j - переразложим в новом базисе
j =1
39
′ |
j |
′ |
j0 |
′ |
j |
′ |
j0 |
j |
′ |
′ |
j0 |
′ |
j0 |
i0 |
b= ∑xja |
+xj |
a |
=∑xja |
+xj |
∑xj |
a |
= ∑(xj |
+xj |
xj |
)aj +xj |
xi |
a . |
||
j≠i |
|
0 |
|
j≠i |
|
01≤j≤m |
|
j≠i |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1≤j≤m |
|
|
|
1≤j≤m |
|
|
|
|
1≤j≤m |
|
|
|
b |
|
Теперь |
получили |
два |
разложения |
вектора |
по |
|||||||||
одному и тому же базису {ai }mj =1 . Значит, координаты
должны совпадать.
|
|
|
(j = i0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x′j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(j ≠ i0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x′j + x′j0 |
xi0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Выражая x′через x , имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x′j0 = |
xi0 |
|
> 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j0 |
|
||
|
|
|
j |
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x′j |
|
= x j − x j 0 |
|
|
|
|
= x j 1 |
− |
|
|
|
|
|
|
> 0 , |
|||||
|
|
|
j0 |
|
|
x j |
|
|
|
||||||||||||
|
|
j ≠ j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
xi0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
xi |
0 |
|
|
|
|
потому что есть условие t |
i0 |
= min |
|
1 |
|
≡ |
|
|
|
> 0. |
|||||||||||
x j0 |
|
|
x j0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i0 |
|
|
|
|
Напомним, что дополняя вектор x′до n −мерного, остальные его координаты полагаем равными нулю. Ax′ = Ax = b. Итак, x′ −допустимый вектор.
Матрица A- невырожденная, вектор x′ имеет точно m ненулевых координат. Поэтому x′ - крайняя точка.
Сравним c, x′ с c, x .
40