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1)¥á«¨ f 0(x) > 0 (§- ª \+") ¯à¨ x < x0 ¨ f 0(x) < 0 (§- ª \ ") ¯à¨ x > x0, â® äã-ªæ¨ï y = f (x) ¢ â®çª¥ x0 ¤®á⨣ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ;
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’ ª¨¬ ®¡à §®¬, â®çª ¬ ªá¨¬ã¬ ®â¤¥«ï¥â ãç á⮪ ¬®-®â®--®£® ¢®§à - áâ -¨ï äã-ªæ¨¨ ®â ãç á⪠¬®-®â®--®£® ã¡ë¢ -¨ï, â®çª ¬¨-¨¬ã¬ | ãç á⮪ ¬®-®â®--®£® ã¡ë¢ -¨ï ®â ãç á⪠¬®-®â®--®£® ¢®§à áâ -¨ï (¥á«¨ ¤¢¨¦¥-¨¥ ¯à®¨á室¨â ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¬ - ¯à ¢«¥-¨¨ ®á¨ ¡áæ¨áá).
•à¨¬¥à 4. • ©â¨ â®çª¨ íªáâ६㬠äã-ªæ¨¨ y = x3 3x.
•¥è¥-¨¥. • 室¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî:
y0(x) = 3x2 3 = 3(x2 1) = 3(x 1)(x + 1):
•¥è ï ãà ¢-¥-¨¥ 3(x 1)(x + 1) = 0, ¯®«ãç ¥¬ ¤¢¥ â®çª¨ ¢®§¬®¦-®£® íªáâ६㬠: x = 1, x = 1. •à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ â®çªã x = 1 (á«¥¢ - ¯à ¢®) ¯à®¨§¢®¤- ï y0(x) ¬¥-ï¥â §- ª á \ " - \+", á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¢ â®çª¥ x = 1 ¬¨-¨¬ã¬. •à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ â®çªã x = 1 ¯à®¨§¢®¤- ï y0(x) ¬¥-ï¥â §- ª á \+" - \ ", á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¢ â®çª¥ x = 1 ¬ ªá¨¬ã¬. „ «¥¥ - 室¨¬: ymin = y(1) = 2, ymax = y( 1) = 2.
22 |
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¢ ⥫ì-®, ¨áª®¬ë¥ â®çª¨ íªáâ६㬠ᮤ¥à¦ âáï á।¨ ª®à-¥© ãà ¢-¥-¨ï y0(x) = 0. ‚ëç¨á«ï¥¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî: y0(x) = x2 x3 = x2(1 x). • 室¨¬ ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï: x = 0, x = 1. • áᬮâਬ §- ª¨ ¯à®¨§¢®¤-®© - ¨-â¥à¢ - « å:
1 < x < 0; y0(x) > 0 | äã-ªæ¨ï ¢®§à áâ ¥â; 0 < x < 1; y0(x) > 0 | äã-ªæ¨ï ¢®§à áâ ¥â; 1 < x < +1; y0(x) < 0 | äã-ªæ¨ï ã¡ë¢ ¥â:
•à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã x = 0 (á«¥¢ - ¯à ¢®) ¯à®¨§¢®¤- ï §- ª -¥ ¬¥-ï¥â, ¯®í⮬ã â®çª x = 0 -¥ ï¥âáï -¨ â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ , -¨ â®çª®© ¬¨-¨¬ã¬ . •à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã x = 1 ¯à®¨§-
¢®¤- ï ¬¥-ï¥â §- ª á \+" - |
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\ ". •â® ®§- ç ¥â, çâ® â®çª x = 1 ï¥âáï |
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y0(x) > 0 | äã-ªæ¨ï ¢®§à áâ ¥â; |
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x = 0 ï¥âáï â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ , â®çª |
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ˆ-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ â®çª¨ íªáâ६㬠äã-ªæ¨¨ y = f (x) ¬®¦-® - 室¨âì ¯® á«¥¤ãî饬㠫£®à¨â¬ã.
x4. ˆ-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ â®çª¨ íªáâ६㬠äã-ªæ¨¨ |
23 |
1.‚ëç¨á«¨âì ¯à®¨§¢®¤-ãî f 0(x).
2.• ©â¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¯¥à¢®£® த , â® ¥áâì â®çª¨, ¢ ª®â®àëå
f 0(x) «¨¡® à ¢- -ã«î, «¨¡® -¥ áãé¥áâ¢ã¥â (- ©¤¥--ë¥ â®çª¨ à §¡¨-
¢ îâ ç¨á«®¢ãî ®áì - -¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¨-â¥à¢ «ë).
3.‚ ª ¦¤®¬ ¨§ ¯®«ã稢è¨åáï ¨-â¥à¢ «®¢ ®¯à¥¤¥«¨âì §- ª ¯à®¨§¢®¤-®© (¬®¦-® - à¨á®¢ âì á奬ã). Ž¯à¥¤¥«¨âì - «¨ç¨¥ ¨ å à ªâ¥à íªáâà¥- ¬ã¬®¢.
4.‚ëç¨á«¨âì §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª å íªáâ६㬠.
•à¨¬¥à 7. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ ¨áá«¥¤®¢ âì - íªáâ६㬠äã-ªæ¨î y = x3 9x2 + 24x.
•¥è¥-¨¥. 1. ˆ¬¥¥¬ y0(x) = 3x2 18x + 24 = 3(x 2)(x 4).
2.•à®¨§¢®¤- ï à ¢- -ã«î ¯à¨ x = 2 ¨ ¯à¨ x = 4. •à®¨§¢®¤- ï ®¯à¥- ¤¥«¥- ¢áî¤ã, §- ç¨â, ªà®¬¥ ¤¢ãå - ©¤¥--ëå â®ç¥ª, ¤àã£¨å ªà¨â¨ç¥áª¨å â®ç¥ª -¥â.
3.‡- ª ¯à®¨§¢®¤-®© ¨§¬¥-ï¥âáï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯à®¬¥¦ã⪠⠪, ª ª
¯®ª § -® - «¥¢®¬ à¨áã-ª¥. •à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ â®çªã x = 2 ¯à®¨§¢®¤- ï
¬¥-ï¥â §- ª á \+" - \ ", §- ç¨â x = 2 | â®çª ¬ ªá¨¬ã¬ . •à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ â®çªã x = 4 ¯à®¨§¢®¤- ï ¬¥-ï¥â §- ª á \ " - \+", §- ç¨â x = 4 | â®çª ¬¨-¨¬ã¬ .
4. • 室¨¬ §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª å íªáâ६㬠. ymax = y(2) = 20, ymin = y(4) = 16. •áª¨§ £à 䨪 äã-ªæ¨¨ ¨§®¡à ¦ñ- - ¯à ¢®¬ à¨áã-ª¥.
•à¨¬¥à 8. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ ¨áá«¥¤®¢ âì - íªáâ६ã¬
äã-ªæ¨î y = x21+1.
•¥è¥-¨¥. 1. • 室¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî: y0 = (x22+1)x 2 .
2. •à¨à ¢-¨¢ ï ¯à®¨§¢®¤-ãî -ã«î, - 室¨¬ ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã ¯¥à¢®£® த : y0 = (x22+1)x 2 = 0, ®âªã¤ x = 0. „àã£¨å ªà¨â¨ç¥áª¨å â®ç¥ª -¥â, â ª
24 |
x4. ˆ-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ â®çª¨ íªáâ६㬠|
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ª ª ¯à®¨§¢®¤- ï ®¯à¥¤¥«¥- ¤«ï «î¡®£® x. |
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4. • 室¨¬ §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ ¬ ªá¨¬ã¬ : ymax = y(0) = 1.
•à¨¬¥à 9. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ ¨áá«¥¤®¢ âì - íªáâ६㬠|
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2. •à¨à ¢-¨¢ ï ¯à®¨§¢®¤-ãî -ã«î, - 室¨¬ ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã ¯¥à¢®£®
த : y0 = p 2x = 0, ®âªã¤ x = 0. •à®¨§¢®¤- ï -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ª®£¤
3 3 (x2 1)2
§- ¬¥- â¥«ì ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì, â® ¥áâì ¯à¨ x = 1 ¨ ¯à¨ x = 1. ˆá室- ï äã-ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥- ¯à¨ «î¡®¬ x, ¯®í⮬㠨¬¥¥âáï âਠªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¯¥à¢®£® த : x = 1, x = 0, x = 1.
3.•¨á㥬 á奬㠨 - 室¨¬ ¨-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ â®çª¨ íªáâ६ã-
¬. ˆ¬¥¥¬: y0 > 0 ¯à¨ x > 0, x 6= 1; y0 < 0 ¯à¨ x < 0, x 6= 1. •®í⮬ã -
¨-â¥à¢ « å (1; 1) ¨ ( 1;0) äã-ªæ¨ï ¬®-®â®--® ã¡ë¢ ¥â, - ¨-â¥à¢ - « å (0;1) ¨ (1;+1) | ¬®-®â®--® ¢®§à áâ ¥â. ‚ â®çª¥ x = 0 äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¬¨-¨¬ã¬, ¢ â®çª å x = 1 ¨ x = 1 íªáâ६㬠-¥â.
4. • 室¨¬ §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ íªáâ६ «ì-®© â®çª¥: ymin = y(0) = 1.
x4. ˆ-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ â®çª¨ íªáâ६㬠äã-ªæ¨¨ |
25 |
4.6. ‚â®à®© ¤®áâ â®ç-ë© ¯à¨§- ª áãé¥á⢮¢ -¨ï íªáâ६㬠|
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•ãáâì äã-ªæ¨ï y = f (x) ¨¬¥¥â ¢ ¤ --®© ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¥ x0 ª®-¥ç-ãî ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî. ’®£¤ , ¥á«¨ f 00(x0) < 0, â® äã-ªæ¨ï y = f (x) ¨¬¥¥â ¢ â®çª¥ x0 «®ª «ì-ë© ¬ ªá¨¬ã¬, ¥á«¨ f 00(x0) < 0, â® äã-ªæ¨ï y = f (x) ¨¬¥¥â ¢ â®çª¥ x0 «®ª «ì-ë© ¬¨-¨¬ã¬.
•à¨¬¥à 10. ˆáá«¥¤®¢ âì - íªáâ६㬠äã-ªæ¨î y = x3 9x2 + 24x.
•¥è¥-¨¥. ˆ¬¥¥¬: y0 = 3x2 18x +24. •à®¨§¢®¤- ï ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì ¢ â®çª å x = 2 ¨ x = 4. „ «¥¥ - 室¨¬: y00 = 6x 18; y00(2) = 6 < 0, y00(4) =
= 6 > 0. ‡- ç¨â, x = 2 | â®çª |
¬ ªá¨¬ã¬ , |
x = 4 | â®çª ¬¨-¨¬ã¬ |
äã-ªæ¨¨ (áà. á à¥è¥-¨¥¬ ¯à¨¬¥à |
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|
•à¨¬¥à 11. ‚ëïá-¨âì, ï¥âáï «¨ â®çª |
x = 0 â®çª®© íªáâ६㬠|
|
äã-ªæ¨¨ y = x2 cosx x3. |
|
|
•¥è¥-¨¥. • 室¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨: |
|
|
y0 = 2x cosx x2 sinx 3x2; |
y0(0) = 0: |
|
• 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨: |
|
|
y00 = 2cosx 4x sinx x2 cosx 6x; |
y00(0) = 2 > 0: |
|
’ ª ª ª ¢ â®çª¥ x = 0 ¯¥à¢ ï ¯à®¨§¢®¤- ï à ¢- |
-ã«î, ¢â®à ï | -¥ à ¢- |
|
-ã«î, â® â®çª x = 0 ï¥âáï â®çª®© íªáâ६㬠. “ç¨âë¢ ï ¥éñ, çâ® ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï ¯®«®¦¨â¥«ì- , - 室¨¬, çâ® x = 0 | â®çª ¬¨-¨¬ã¬ .
4.7.’à¥â¨© ¤®áâ â®ç-ë© ¯à¨§- ª áãé¥á⢮¢ -¨ï íªáâ६㬠(á ¯®¬®éìî ¯à®¨§¢®¤-ëå ¢ëá襣® ¯®à浪 )
•ãáâì n | -¥ª®â®à®¥ - âãà «ì-®¥ ç¨á«® ¨ ¯ãáâì äã-ªæ¨ï y = f (x) ¨¬¥- ¥â ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0 ¯à®¨§¢®¤-ãî ¯®à浪 n 1, ¢ á ¬®© â®çª¥ x0 | ¯à®¨§¢®¤-ãî n-£® ¯®à浪 . •ãáâì ¢ â®çª¥ x0 ¢л¯®«-повбп б«¥- ¤гой¨¥ б®®в-®и¥-¨п:
f 0(x |
) = f 00(x |
) = : : : = f (n 1)(x |
) = 0; f (n)(x |
) = 0: |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
’®£¤ :
1) ¥á«¨ n | çñâ-®¥ ç¨á«®, â® äã-ªæ¨ï y = f (x) ¨¬¥¥â «®ª «ì-ë© íªáâ६㬠¢ â®çª¥ x0, ¨¬¥--®: ¬ ªá¨¬ã¬ ¯à¨ f (n)(x0) < 0 ¨ ¬¨-¨¬ã¬ ¯à¨ f (n)(x0) > 0;
2)¥á«¨ n | -¥çñâ-®¥ ç¨á«®, â® äã-ªæ¨ï y = f (x) -¥ ¨¬¥¥â íªáâ६ã¬
¢â®çª¥ x0.
•à¨¬¥à 12. ˆáá«¥¤®¢ âì - íªáâ६㬠äã-ªæ¨î y = x3.
26 |
x4. ˆ-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ â®çª¨ íªáâ६㬠|
äã-ªæ¨¨ |
|
|
•¥è¥-¨¥. • 室¨¬: y0(x) = 3x2, ®âáî¤ , ¢®§¬®¦- ï â®çª |
íªáâ६ã- |
|
¬ |
| x = 0 (á¬. ¯à¨¬¥à 2). „ «¥¥, |
|
|
|
y00(x) = 6x; |
y00(0) = 0; y000(x) = y000(0) = 6 > 0: |
|
|
ˆâ ª, ¯¥à¢ ï ¨ ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤-ë¥ äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ x = 0 à ¢-ë -ã- |
||
«î, âà¥âìï | -¥ à ¢- |
-ã«î, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, x = 0 -¥ ï¥âáï â®çª®© |
||
íªáâ६㬠(3 | -¥çñâ-®¥ ç¨á«®). |
|
||
|
•à¨¬¥à 13. ˆáá«¥¤®¢ âì - íªáâ६㬠äã-ªæ¨î y = x4. |
|
|
|
•¥è¥-¨¥. • 室¨¬: y0(x) = 4x3, ®âáî¤ , ¢®§¬®¦- ï â®çª |
íªáâ६ã- |
|
¬ |
| x = 0 (á¬. ¯à¨¬¥à 3). „ «¥¥, |
|
|
y00(x) = 12x2; y00(0) = 0; y000(x) = 24x; y000(0) = 0; y(4)(x) = y(4)(0) = 24 > 0:
•®«ã稫¨, çâ® ¯¥à¢ ï, ¢â®à ï ¨ âà¥âìï ¯à®¨§¢®¤-ë¥ äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ x = 0 à ¢-ë -ã«î, ç¥â¢ñàâ ï | -¥ à ¢- -ã«î, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, x = 0 ï¥âáï â®çª®© íªáâ६㬠(4 | çñâ-®¥ ç¨á«®). ’ ª ª ª y(4)(0) > 0, â® x = 0 | â®çª ¬¨-¨¬ã¬ .
•à¨¬¥à 14. ‚ëïá-¨âì, ï¥âáï «¨ â®çª x = 0 â®çª®© íªáâ६㬠äã-ªæ¨¨
x6 y = 2 + x2 ex4 1 :
•¥è¥-¨¥. •®á«¥¤®¢ ⥫ì-® - 室¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ äã-ªæ¨¨:
y0(x) = 3x5 + 2x ex4 1 + 4x5ex4; y0(0) = 0;
|
|
|
|
|
|
y00(x) = 15x4 + 2 |
ex4 1 |
+ 28x4ex4 + 16x8ex4; y00(0) = 0; |
|||
y000(x) = |
|
60x3 + 120x3ex4 |
+ 112x7ex4 + : : : ; y000(0) = 0; |
||
|
|
|
|
|
|
y(4)(x) = 180x2 + 360x2ex4 + : : : ; |
y(4)(0) = 0; |
||||
y(5)(x) = 360x + 720xex4 + : : : ; |
y(5)(0) = 0; |
||||
y(6)(x) = 360+ 720ex4 + : : : ; y(6)(0) = 360:
’ ª ª ª y(6)(0) = 360 > 0 ¨ ç¨á«® 6 çñâ-®¥, â® â®çª x = 0 ï¥âáï â®çª®© ¬¨-¨¬ã¬ ¤ --®© äã-ªæ¨¨.
4.8.• 宦¤¥-¨¥ - ¨¡®«ì襣® ¨ - ¨¬¥-ì襣® §- ç¥-¨© -¥¯à¥àë¢- -®© äã-ªæ¨¨ - ®â१ª¥
•ãáâì äã-ªæ¨ï y = f (x) -¥¯à¥àë¢- - ®â१ª¥ [a;b]. ’®£¤ - í⮬ ®â१ª¥ ®- ¤®á⨣ ¥â ᢮¨å - ¨¡®«ì襣® ¨ - ¨¬¥-ì襣® §- ç¥-¨©.
x4. ˆ-â¥à¢ «ë ¬®-®â®--®á⨠¨ â®çª¨ íªáâ६㬠äã-ªæ¨¨ |
27 |
• ¨¡®«ì襥 ¨ - ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨ï - ®â१ª¥ -¥¯à¥àë¢-®© äã-ªæ¨¨ ¬®£ãâ ¤®á⨣ âìáï ª ª ¢-ãâਠ®â१ª , â ª ¨ - ¥£® ª®-æ å. …᫨ ᢮¥£® - ¨¡®«ì襣® ¨«¨ - ¨¬¥-ì襣® §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨ï ¤®á⨣ ¥â ¢® ¢-ãâà¥--¥© â®çª¥ ®â१ª , â® â ª ï â®çª ï¥âáï â®çª®© íªáâ६㬠.
• 室¨âì - ¨¡®«ì襥 ¨ - ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨ï - ®â१ª¥ [a;b] -¥¯à¥àë¢- -®© äã-ªæ¨¨ y = f (x) 㤮¡-® ¯® á«¥¤ãî饩 á奬¥.
1.• ©â¨ ¯à®¨§¢®¤-ãî f 0(x).
2.• ©â¨ â®çª¨, ¢ ª®â®àëå f 0(x) = 0 ¨«¨ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ®â®¡à âì ¨§ -¨å â¥, ª®â®àë¥ «¥¦ â ¢-ãâਠ®â१ª [a;b].
3.‚ëç¨á«¨âì §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ y = f (x) ¢ â®çª å, ¯®«ãç¥--ëå ¢® ¢â®-
஬ ¯г-ªв¥, в ª¦¥ - ª®-ж е ®ва¥§ª ¨ ¢л¡а вм ¨§ -¨е - ¨¡®«м- и¥¥ ¨ - ¨¬¥-ми¥¥: ®-¨ ¨ п¢«повбп б®®в¢¥вбв¢¥--® - ¨¡®«ми¨¬ ¨ - ¨¬¥-ми¨¬ §- з¥-¨п¬¨ дг-ªж¨¨ y = f (x) - ®ва¥§ª¥ [a;b].
•à¨¬¥à 15. • ©â¨ - ¨¡®«ì襥 ¨ - ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ y =
= x3 3x2 45x + 225 - ®â१ª¥ [0;6]. |
= 3x2 6x 45. |
•¥è¥-¨¥. 1. • 室¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî: y0 |
|
2. •à®¨§¢®¤- ï y0 áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ ¢á¥å x. • ©¤ñ¬ â®çª¨, ¢ ª®â®àëå y0 = 0, |
|
¯®«ã稬: |
|
3x2 6x 45 = 0; x2 2x 15 = 0; x = 3; x = 5: |
|
Žâ१ªã [0;6] ¯à¨- ¤«¥¦¨â ⮫쪮 â®çª x = 5. |
|
3. ‚ëç¨á«ï¥¬ §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª å x = 0, x = 5, x = 6: |
|
y(0) = 225; y(5) = 50; |
y(6) = 63: |
• ¨¡®«ì訬 ¨§ - ©¤¥--ëå §- ç¥-¨© äã-ªæ¨¨ ï¥âáï ç¨á«® 225 (¤®áâ¨- £ ¥âáï ¯à¨ x = 0), - ¨¬¥-ì訬 | ç¨á«® 50 (¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨ x = 5).
•à¨¬¥à 16. • ©â¨ - ¨¡®«ì襥 ¨ - ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ y = = x3 2xjx 2j - ®â१ª¥ [0;3].
•¥è¥-¨¥. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î ®â¤¥«ì-® - ¬-®¦¥á⢠å [0;2] ¨ [2;3]. …᫨ x 2 [0;2], â® jx 2j = (x 2), ¨ ¤ -- ï äã-ªæ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì
§ ¯¨á - ¢ ¢¨¤¥ y = x3 +2x2 |
|
4x. • 室¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî: y0 = 3x2 +4x |
|
4. |
|||||||||||||
Š®à-ﬨ ãà ¢-¥-¨ï 3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
+4x 4 = 0 п¢«повбп з¨б« x = 2, x = 3 |
. Š®à¥-ì |
|||||||||||||||
x = 2 2= [0;2], |
ª®à¥-ì x = 32 |
2 [0;2]. ‡- ç¨â, - ¨¡®«ì襥 ¨ - ¨¬¥-ì襥 |
|||||||||||||||
¨§-y(2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
ç¥-¨ï ¤ --®© äã-ªæ¨¨ - |
®â१ª¥ [0;2] - 室ïâáï á।¨ ç¨á¥«: y(0), y |
2 |
|
||||||||||||||
ɇǬ x 2 [2;3],3 |
â®2 jx 2j = x 2, ¨ ¤ -- ï äã-ªæ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á - |
|
|||||||||||||||
¢ ¢¨¤¥ y = x |
2x + 4x. • 室¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|||
y0 |
= 3x2 4x + 4 = 3 |
x |
|
|
|
+ |
|
> 0 ¯à¨ «î¡®¬ x: |
|
|
|
|
|||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
28 |
x5. |
ˆ-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ |
|||||
’ ª ª ª äã-ªæ¨ï y = x3 2x2 + 4x -¥¯à¥àë¢- - |
®â१ª¥ [2;3] ¨ y0(x) > 0 |
||||||
- |
¨-â¥à¢ «¥ (2;3), â® íâ |
|
äã-ªæ¨ï ¢®§à áâ ¥â - |
®â१ª¥ [2;3]. ‘«¥¤®¢ - |
|||
⥫ì-®, - ¨¡®«ì襥 §- ç¥-¨¥ ¤ --®© äã-ªæ¨¨ - |
®â१ª¥ [2;3] ¥áâì y(3), |
||||||
- ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨¥ | y(2). |
|
|
|||||
|
’¥¯¥àì - 室¨¬ - ¨¡®«ì襥 ¨ - ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ - ¢áñ¬ |
||||||
®â१ª¥ [0;3]. „«ï í⮣® ¢ëç¨á«ï¥¬ §- ç¥-¨ï: |
|
||||||
|
y(0) = 0; |
y |
|
3 |
|
= 27; y(2) = 8; |
y(3) = 21: |
|
|
|
|
2 |
|
40 |
|
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, - ¨¡®«ì襥 §- ç¥-¨¥ ¤ --®© äã-ªæ¨¨ - ®â१ª¥ [0;3] ¥áâì y(3) = 21, - ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ à ¢-® y 23 = 4027.
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï
•©â¨ - ¨¬¥-ì襥 ¨ - ¨¡®«ì襥 §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ - ®â१ª¥:
58.y = 2x 1, [0;1];
59.y = x2 6x + 8, [1;4];
60.y = 3x3 4x + 8, [ 1;1];
61.y = 3x4 + 4x3 + 1, [0;1];
62.y = 3x4 + 4x3 + 1, [ 2;1];
63.y = sinx + 2x, [ ; ];
64.y = sin2 x, 4; 23 ;
65.y = sinx x x33 , [0; ];
66.y = x1 + x, [0; 1;10];
67.y = x xx2 1, [ 2;2];
68.y = x lnx x, 1e ;e .
x5. ˆ-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨
5.1. ‚ë¯ãª«®áâì ¢¢¥àå ¨ ¢-¨§
”ã-ªæ¨ï y = f (x) ¢ë¯ãª« ¢¢¥àå ¢ â®çª¥ x0, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ- -®áâì â®çª¨ x0 â ª ï, çâ® ¤«ï ¢á¥å ¥ñ â®ç¥ª x ª á ⥫ì- ï ª £à 䨪ã äã-ª- 樨 ¢ â®çª¥ M (x0;y0) «¥¦¨â ¢ëè¥ £à 䨪 .
”ã-ªæ¨ï y = f (x) ¢ë¯ãª« ¢-¨§ ¢ â®çª¥ x0, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ-®áâì
â®çª¨ x0 â ª ï, çâ® ¤«ï ¢á¥å ¥ñ â®ç¥ª x ª á ⥫ì- ï ª £à 䨪ã äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ M (x0;y0) «¥¦¨â -¨¦¥ £à 䨪 .
x5. ˆ-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ |
29 |
…᫨ - -¥ª®â®à®¬ ¨-â¥à¢ «¥ (a;b) ¢á¥ ª á ⥫ì-ë¥ ª £à 䨪ã äã-ªæ¨¨ y = f (x) «¥¦ â ¢ëè¥ á ¬®£® £à 䨪 , â® - ¤ --®¬ ¨-â¥à¢ «¥ äã-ªæ¨ï ¢ë- ¯ãª« ¢¢¥àå. …᫨ - -¥ª®â®à®¬ ¨-â¥à¢ «¥ (a;b) ¢á¥ ª á ⥫ì-ë¥ ª £à 䨪ã äã-ªæ¨¨ y = f (x) «¥¦ â -¨¦¥ á ¬®£® £à 䨪 , â® - ¤ --®¬ ¨-â¥à¢ «¥ äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª« ¢-¨§.
‡ ¬¥ç -¨¥. ˆ-®£¤ , äã-ªæ¨î y = f (x), ¢ë¯ãª«ãî ¢¢¥àå - ¨-â¥à¢ «¥ (a;b), - §ë¢ îâ ¢®£-ã⮩, ¢ë¯ãª«ãî ¢-¨§ | ¢ë¯ãª«®© (¡¥§ á«®¢ ¢-¨§) - ¨-â¥à¢ «¥ (a;b).
•®-ï⨥ ¢ë¯ãª«®á⨠äã-ªæ¨¨ - ¯à®¬¥¦ã⪥ ¬®¦-® ¢¢¥áâ¨, -¥ âॡãï áãé¥á⢮¢ -¨ï ª á ⥫ì-®© ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ £à 䨪 .
‚ë¯ãª« ï ¢¢¥àå - |
®â१ª¥ äã-ªæ¨ï å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¢á¥ â®çª¨ |
|
«î¡®© ¤ã£¨ ¥ñ £à 䨪 |
à ᯮ«®¦¥-ë - ¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 å®à¤®©. ‚ë¯ãª«- |
|
ï ¢-¨§ - |
®â१ª¥ äã-ªæ¨ï å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ⥬, çâ® ¢á¥ â®çª¨ «î¡®© ¤ã£¨ |
|
¥ñ £à 䨪 |
à ᯮ«®¦¥-ë ¯®¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 å®à¤®©. |
|
5.2. „®áâ â®ç-®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ë¯ãª«®á⨠äã-ªæ¨¨ - ¨-â¥à¢ «¥
…᫨ ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï f 00(x) äã-ªæ¨¨ f (x) áãé¥áâ¢ã¥â - ¨-â¥à¢ «¥ (a;b) ¨ -¥ ¬¥-ï¥â §- ª - ¨-â¥à¢ «¥ (a;b), â®:
1) ¯à¨ f 00(x) > 0 (§- ª \+") äã-ªæ¨ï f (x) ¢ë¯ãª« ¢-¨§ - ¨-â¥à¢ «¥ (a;b);
30 |
x5. ˆ-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ |
äã-ªæ¨¨ |
||
|
2) ¯à¨ f 00(x) < 0 (§- ª \ |
|
") äã-ªæ¨ï f (x) ¢ë¯ãª« ¢¢¥àå - |
¨-â¥à¢ «¥ |
|
|
|
|
|
(a;b).
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï - 宦¤¥-¨ï ¨-â¥à¢ «®¢ ¢ë¯ãª«®á⨠¢¢¥àå ¨ ¢ë¯ãª- «®á⨠¢-¨§ äã-ªæ¨¨ f (x) -ã¦-® - ©â¨ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨ ¨ à¥-
è¨âì -¥à ¢¥-á⢠|
f 00(x) < 0 ¨ f 00(x) > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
•à¨¬¥à 1. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠äã-ªæ¨¨ y = (x2 4x + 3)2. |
||||||||||||||||||||||||||||
•¥è¥-¨¥. 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî: y |
00 |
= 12 |
|
|
|
x2 |
|
4x + 11 |
. •¥è - |
|||||||||||||||||||
¥¬ -¥à ¢¥-á⢠•y00 > 0 ¨ y00 < 0. ˆ¬¥¥¬: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
y00 > 0 ¨«¨ 12 x2 4x + 3 |
> 0; ®âªã¤ |
x < 2 p |
; x > 2 + p |
; |
||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
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|
|
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1 |
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|
1 |
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|||||||
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|
|
|
y00 < 0 ¨«¨ 12 |
x2 4x + 3 |
< 0; ®âªã¤ |
|
2 p |
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
< x < 2 + p : |
|
|||||||||||||||||||||||
|
11 |
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1 |
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1 |
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|||
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|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, - |
¨-â¥à¢ « å 1;2 p1 |
|
|
¨ 2 + p1 |
|
;+1 |
äã-ªæ¨ï ¢ë- |
|||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
¯ãª« ¢-¨§, - ¨-â¥à¢ «¥ 2 p1 |
|
;2+ p1 |
|
|
|
äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª« |
¢¢¥àå. |
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
‡ ¬¥ç -¨¥. ‚¬¥áâ® à¥è¥-¨ï -¥à ¢¥-á⢠f 00(x) < 0 ¨ f 00(x) > 0 㤮¡-® ¢ëç¨á«ïâì §- ç¥-¨ï f 00(x) ¢ ®â¤¥«ì-ëå â®çª å, ¢§ï¢ ¯® ¯à®¨§¢®«ì-®© â®çª¥ ¨§ ª ¦¤®£® ¨-â¥à¢ « §- ª®¯®áâ®ï-á⢠äã-ªæ¨¨ f 00(x).
’®çª M0(x0;f (x0)) £à 䨪 äã-ªæ¨¨ y = f (x) - §ë¢ ¥âáï â®çª®© ¯¥à¥- £¨¡ í⮣® £à 䨪 , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ®ªà¥áâ-®áâì â®çª¨ x0, ¢ ¯à¥¤¥- « å ª®â®à®© £à 䨪 äã-ªæ¨¨ y = f (x) á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ®â M0 ¨¬¥¥â à §-ë¥
-¯à ¢«¥-¨ï ¢ë¯ãª«®áâ¨.
•à¨áã-ª¥ ¨§®¡à ¦ñ- £à 䨪 äã-ªæ¨¨ y = f (x), ¨¬¥î騩 ¯¥à¥£¨¡ ¢ â®çª¥ M0(x0;f (x0)).
•à¨¬¥à 2. • ©â¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = (x2 4x + 3)2.
•¥è¥-¨¥. ‚ ¯à¨¬¥à¥ 1 ¤«ï ¤ --®© äã-ªæ¨¨ - ©¤¥-ë ¨-â¥à¢ «ë ¢ë- ¯ãª«®á⨠¢¢¥àå ¨ ¢-¨§. „«ï â®ç¥ª x = 2 p13 ¨ x = 2 + p13 áãé¥áâ¢ãîâ