Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум_по_математике(2семестр)

.pdf

Скачиваний:

1521

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

2.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Вычислить объем тел, ограниченных заданными поверхностями.

191.z x2 y2 , 0 z 1.

192.z 4 x2 y2 , 0 z 2.

193.z x2 y2 , 0 z 1.

194.z x2 y2 , 0 z 2.

195.z x2 2 y2 , x2 2 y2 z2 6 z x2 2 y2 .

Вычислить объем тел вращения данной кривой вокруг оси Ox .

196.	y sin x , 0 x .					197.			y ex , 0 x 1.
	y								y			1
198.				x , 0 x 2.		199.						1	, 0 x 1.


											1 x
200.	y		1 x2		, 0 x 1.
201.	y2 x 4 x x 3 , y 0.
Вычислить объем тел вращения данной кривой вокруг оси Oy .
	y arctg x , 0 x 1.
202.	y arctg x , 0 x 1.					203.			y 3 x ,				0 x 1.
204.	y ln x , 1 x e.					205.			y arccos x ,					0 x 1.
	y x2 1,
206.	y x2 1,				0 x 3 .
						ОТВЕТЫ
						16
191.	2 .				192.		3	.					193.		.
	8									11				2
	8									11				2
194.		.			195.	2 2 6						.	196.		.
194.		.			195.	2 2 6						.	196.		.
	3									3				2

197.	2 e2		1 .		198.	2 .							199.	2 .

200.		2	.		201.*		15 16ln 2		.	202.		2 .
200.	3		.		201.*		15 16ln 2		.	202.		2 .
	3					2						4
203.	.			204.		e2		1 .		205.	2 .
	7					2					4
206.	2			3 .

1.13. Вычисление длины дуги плоской кривой

1) если функция f (x) непрерывна вместе с

f (x) на отрезке a,b , то

длина L дуги графика функции выражается формулой:

L 1 f

(x)dx .

(3)

Пример 1.28. Найти длину астроиды x 3

(рис. 4).

Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, получим:

y y

1 .

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:

1 y2

3 a,

1 S

dx a1

отсюда S 6a.

2) если кривая задана параметрическими уравнениями:

x x(t),
	(здесь x( ) a, y( ) b ),
y y(t), t

то в формуле нужно сделать замену:

x=x(t), dx=x/(t)dt:

b	2	b		yt		2


L	1 y (x)	dx	1		x (t)dt

a		a		xt

или

L b x 2 (t) y 2 (t)dt .

Пример 1.29. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды (рис. 5):

x a(t sin t),y a(1 cost),

0 t 2 .

(Циклоида – плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по прямой линии.)

Решение.

x a(t sin t),	2			2
	2			2	t		t	2
	L a	(1 cos t)2 sin2 tdt 2a sin			t		t	2
y a(1 cos t)						dt 4a cos		\|	8a,
y a(1 cos t)					2	dt 4a cos	2	\|	8a,
	0		0		2		2	0
0 t 2 .
Пределы интегрирования t1 0			и t2 2 соответствуют крайним

точкам арки циклоиды.

Рис. 4	Рис. 5
	Рис. 5
3) если кривая AB задана в полярных координатах уравнением
( ) , то нужно перейти к прямоугольным координатам:
	x ( ) cos ,

	y ( ) sin .

Так как		sin cos ,

x ( ) cos ( ) sin ,	y

то формула (3) принимает вид:

L 2 ( ) 2 ( )d .

Найти длину дуги кривой.

207.	y ch x , 0 x a.																						208.		y2 2x , 0 y 2 .

209.	y ln x ,											3 x						8 .

	y			x x2 arcsin
210.	y			x x2 arcsin																x , 0 x 1.
	y ln					ex				1				a x				b.
211.													,
211.						ex				1			,
						ex				1
212.	y ln 1 x2 ,														0 x						1	.
212.	y ln 1 x2 ,														0 x						2	.
																					2
		x t 2								,

															3 t
213.								1							3 t						3 .
	y t							1			t3 ,
	y t										t3 ,
								3
	x cost t sin t,
214.		sin t t cost,																0 t .
	y	sin t t cost,
	x t sin t,													0 t				2 .
215.						cost,								0 t				2 .
	y 1					cost,

	x cos							3		t, 0 t							1
216.																	1		.
216.																			.
	y sin3 t,																	2
																										8	cos		0
																											cos		0	2 .
217.			a				,	0							2			.					218.					,		2 .
219.			1		,		3								4	.

							4								3
			x
			x
	y													dx ,						x
220.	y								cos x					dx ,				2		x			2	.
																		2					2
			2

										ОТВЕТЫ
																1		ln 2							.
207.	sh a .									208.		5				1								5
207.	sh a .									208.		5				2								5
																2
209.	1	1		ln	3	.				210. 2.													211.			ln			eb e b		.
209.	1			ln	2	.				210. 2.													211.			ln					.
	2				2																								ea e a
212. ln 3 0,5 .																											1	2 .
										213. 4		3 .											214.				1
										213. 4		3 .											214.			2
																										2
215. 8.										216.	3		.
215. 8.										216.			.
										2										.
	a						1	a ln		2
217.			1 4 2				1								1 4 2
217.			1 4 2												1 4 2
					2
218. 4.										219. ln				3			5		.				220.* 4.
218. 4.										219. ln									.				220.* 4.
												2				12
1.14. Несобственные интегралы 1 и 2 рода
Определение 1.2
Пусть функция f(x) определена на																					промежутке									[a,∞)		и
интегрируема на любом										отрезке [a, R],												т.е. R 0								существует
R																				R
R
f (x)dx . Тогда, если существует																	lim				f (x)dx					, то его называют
f (x)dx . Тогда, если существует																R										, то его называют
a																				a
несобственным интегралом первого рода и обозначают

												f (x)dx .
										a
Таким образом,
																	R
									f (x)dx lim										f (x)dx				.									(4)
												R											.									(4)
								a									a

В этом случае говорят, что интеграл (4) существует или сходится, иначе (если предел не существует или бесконечен), то интеграл (4) не существует или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

b		b
	f (x)dx lim	f (x)dx
	R	R
		R

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

	c
	f (x)dx	f (x)dx f (x)dx, c .
		c

Примеры 1.30. Исследовать на сходимость интегралы:

			dx
			dx			cos xdx
1)		1	2	; 2)		cos xdx	; 3)
1)	0	1	x	; 2)		0	; 3)
	0					0
			dx		lim arctgx\|R
Решение. 1)			dx
Решение. 1)			1 x	2
		0	1 x			R	0
						R	0

		dx
e	x	dx
		dx ; 4)		.
		dx ; 4)	x	.
		1

2		(сходится);
2


2)	cos xdx lim sin x\| lim sin R			(предел		не	существует,
2)	0	R	0 R	(предел		не	существует,
	0
несобственный интеграл расходится);
		0			lim ex \|R
3)	ex dx	ex dx ex dx lim ex \|0			lim ex \|R
3)			R	R	R	0
			0

(расходится, так как достаточно того, что первый предел бесконечен).

(*) , const .

а)

если 1,

то интеграл (*)

примет вид:

R1 1

, 1( расходится),

lim

R 1

, 1(сходится)

б) если 1 , то интеграл (*) примет вид:

lim ln x|R ( расходится) .

R 1

Интеграл (*) назовем эталонным интегралом для несобственных интегралов первого рода.

Во многих случаях нет необходимости находить сами несобственные интегралы. Достаточно установить их сходимость.

Теорема 1.6 (признак сравнения).

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке [a,∞) и

удовлетворяют на	нем условию 0 f (x) g(x) , то	из сходимости

интеграла g(x)dx	(I) следует сходимость интеграла	f (x)dx (II), а
a		a

из расходимости (II) следует расходимость (I).

Определение 1.3

Если функция y=f(x) неограниченна в окрестности точки с, которая называется особой точкой отрезка [a, b] и непрерывна на промежутках [a, с) и (с, b], то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой:

b		c		b
f (x)dx lim			f (x)dx lim	f (x)dx,
a	0	a	0	c

где , 0 .

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае c=b и c=a:

c		c
	f (x)dx lim		f (x)dx	,
a	0	a		,
a		a
b		b
f (x)dx lim		f (x)dx .
c	0 c

Для несобственных интегралов второго рода имеет место аналогичный признак сравнения.

Теорема 1.7
Если функции f(x) и g(x)	непрерывны на промежутке	(а, b], и
		b
x (a, a ) : 0 f (x) g(x),	то из сходимости интеграла	g(x)dx
		a
	b

следует сходимость интеграла

f (x)dx ,

а из расходимости интеграла

следует расходимость интеграла g(x)dx .

f (x)dx

Замечание. В качестве эталона для сравнения функций часто

берут функцию

(x)

( 0) :

(x c)

расходится при 1

и сходится при 1.

(x c)

Это же относится и к интегралам

(c x)2

Примеры 1.31. Исследовать на сходимость интегралы:

											1	dx		1			dx
										1)		dx					dx
													; 2)
												x2				3x2	3		.
												x2				3x2	3	x	.
											1			0
	Решение.
	1	dx	0	dx			1	dx						1	)\|0 lim(					1	)\|1
		dx		dx				dx			lim(			1						1
1)		2		2				2			lim(
1)	1	x	1		x		0	x			0			x		1	0			x 0
	1		1				0
(расходится:						1	,		1		).
(расходится:							,				).

1					dx														1							1
1
2) 0										сходится, так как																			(по признаку
																		3x2 3							3
		3x2
																						x
						3 x																x						x
							1			dx
сравнения), а															сходится (		1	1 ).
											1						1
									x		1		3				3
							0		x				3				3
Вычислить интегралы.
							dx																dx
221.							dx							.			222.						dx				.
																				x2 4x
			x2 4x 8																	x2 4x
	0																		2
	2						dx												2				dx
							dx																dx
223.															.		224.									.
223.			x			2	6x				10				.		224.			x	2		2x			.
			x				6x				10									x			2x

							dx																	dx
225.		1					dx					.					226.							dx						.

			1 x																	x2 6x 12
			1 x							x										x2 6x 12
	3					dx													5		dx
227.						dx		.									228.				dx				.

				9 x2																5 x
	0			9 x2															1	5 x
	2						2dx
229.							2dx									.


			x 1 2 x
	1		x 1 2 x

Исследовать интеграл на сходимость с помощью теорем сравнения.

						dx
						dx
230.										.

				x	1 x2
		1
	2
	2

				3x	2			x	2	9
232.				3x				x		9	dx .


	1			3 x2 2x x3
	1 x2
234.							dx .
234.			1 x4				dx .
	0

				x dx
				x dx
231.						.

				2 x6
	1			2 x6
	1			dx
				dx
233.							.
233.		x	3	2x	2		.
	0	x		2x
	0

1 sin 2x

235. dx.

0 3 x4

ОТВЕТЫ

					ln 3
221.	8 .			222.		.		223.	4 .
					4
		ln 2							3
224.			.	225.	2 .			226.	3 .
		2
227.	.			228. 4.				229.	2 .
	2
230.	Интеграл сходится.						231.	Интеграл сходится.
232.	Интеграл расходится.						233.	Интеграл расходится.
234.	Интеграл сходится.						235.* Интеграл сходится.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.03.2015699.9 Кб25ПРАКТИКУМ тлп.doc
#
18.03.2015763.83 Кб121Практикум №1 по русскому языку.pdf
#
18.03.2015458.38 Кб62Практикум №2 по русскому языку.pdf
#
10.11.20191.85 Mб1Практикум_Демогр_2012.doc
#
06.03.20161.52 Mб16Практикум_Иннов мен в УП_2 сент 2015.pdf
#
18.03.20152.08 Mб1521Практикум_по_математике(2семестр).pdf
#
18.03.2015459.26 Кб8практикум_по_Электронике_и_МПТ_2_курс.doc
#
14.09.2019733.7 Кб3Практическая 3.doc
#
14.09.20191.36 Mб1Практическая 5.doc
#
19.11.2019302.08 Кб2Практическая грамматика .doc
#
24.11.2018116.32 Кб5практические задания 5,6.docx