mu-pad
.pdf
Рис. 7.2. Расчетная схема стержня
7.2. Определение неизвестных.
Для определения реакций составим уравнения статического равновесия:
X 0; X A F cos30 0;
X A F cos30 54 cos30 46,8кН;
Y 0; YA F sin 30 0;
YA F sin 30 54 sin 30 27,0 кН;
M A 0; M A F cos30 l1 l2 l3 F sin 30 2l2 0; M A F cos30 l1 l2 l3 F sin 30 2l2
54cos30 0,6 0, 2 0,1 54sin 30 2 0, 2 =3,23кНм.
7.3.Построение эпюр внутренних силовых факторов. Рассматриваемый стержень имеет четыре расчетных участка
(рис. 7.2). В рамках этих участков выберем сечения и определим значения продольных сил N(z), перерезывающих сил Qy(z) и изгибающих моментов Mx(z) (рис. 7.3). Условимся, что локальные системы координат будем выбирать таким образом, чтобы продольная ось z совпадала с осью стержня на соответствующем
44
участке стержня, а x и y с соответствующими осями поперечного сечения.
Определим продольную, перерезывающую силу и изгибающий момент на первом расчетном участке (0 z1 l1 ) (рис. 7.3, а):
Y 0; X A Qy (z1 ) 0; Qy (z1 ) X A 46,8кН;
Z 0; YA N(z1 ) 0; N(z1 ) YA 27 кН;
M x 0; X A z1 M A M x (z1) 0; M x (z1 ) X A z1 M A.
а |
б |
в |
г |
Рис. 7.3. Схемы расчетных участков стержня
Рассчитаем значения изгибающего момента в начале и конце расчетного участка:
z1 |
0 : M A 3, 23кНм; |
M x (z1 ) |
l1 : X Al1 M A 46,8 0, 6 3, 2 24,9 кНм. |
z1 |
Определим внутренние силовые факторы на втором расчетном участке (0 z2 l2 ). Составим расчетную схему (рис. 7.3, б), запишем
уравнение равновесия и выразим внутренние силовые факторы:
Y 0; YA Qy (z2 ) 0; Qy (z2 ) YA 27 кН;Z 0; X A N(z2 ) 0; N(z2 ) X A 46,8кН;
M x 0; X Al1 YA z2 M A M x (z2 ) 0; M x (z2 ) X Al1 YA z2 M A.
Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце расчетного участка:
z2 |
0 : X Al1 |
M A 46,8 0, 6 3, 2 24,9 кНм; |
M x (z2 ) |
l2 : X Al1 |
YAl2 M A 46,8 0, 6 27 0, 2 3, 2 19, 4 кНм. |
z2 |
||
|
|
45 |
Определим внутренние силовые факторы на третьем расчетном участке (0 z3 l3 ). Составим расчетную схему (рис. 7.3, в), запишем
уравнение равновесия и выразим внутренние силовые факторы:Y 0; F cos 30 Qy (z3 ) 0;
Qy (z3 ) F cos 30 54 cos 30 46,8кН;
Z 0; N(z3 ) F sin 30 0;
N(z3 ) F sin 30 54sin 30 27 кН; |
|
||||||||||||
M x 0; M x (z3 ) F cos30 z3 0; |
M x (z3 ) F cos30 z3. |
||||||||||||
Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце |
|||||||||||||
расчетного участка: |
0 : |
|
F cos 30 |
|
0 |
0; |
|
|
|||||
|
3 |
|
|
||||||||||
z |
|
|
|
|
|
||||||||
M x (z3 ) |
|
l3 : F cos 30 |
l3 |
54cos 30 0,1 4, 7 кНм. |
|||||||||
z3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим |
внутренние силовые |
факторы на |
четвертом |
||||||||||
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
расчетном участке |
0 z4 |
|
|
|
|
0, 283м . Составим |
расчетную |
||||||
cos 45 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
схему (рис. 7.3, г), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние силовые факторы:
Y 0; Qy (z4 ) F cos15 0;
Qy (z4 ) F cos15 54 cos15 52, 2 кН;
Z 0; N(z4 ) F sin15 0;
N(z4 ) F sin15 54sin15 13,9кН;
M x 0; M x (z4 ) F cos 30 l3 z4 sin 45 F sin 30 z4 cos 45 0;
M x z4 F cos 30 |
l3 z4 sin 45 |
F sin 30 z4 cos 45 . |
|
||||||||
Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце |
|||||||||||
расчетного участка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M x (z4 |
0) F cos30 l3 54cos30 0,1 4,7 кНм; |
|
|||||||||
|
|
|
l2 |
|
F cos 30 |
|
|
l2 |
|
|
|
M x z4 |
|
|
|
l3 |
|
|
sin 45 |
|
|||
cos 45 |
cos 45 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F sin 30 |
|
|
|
cos 45 |
F cos 30 l3 l2 tg45 F sin 30 l2 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
cos 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
54 cos 30 0,1 0, 2 tg45 54sin 30 0, 2 19, 4 кНм. 46
По полученным данным строим эпюры продольных, перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 7.4, а, б, в). Из эпюры изгибающих моментов видно, что опасное сечение находится в точке B стержня BC, в которой действует наибольший изгибающий момент Mmax = 24,9 кНм, а продольная сила больше, чем на участке АВ.
а |
б |
в |
Рис. 7.4. Эпюры внутренних силовых факторов:
а – продольные силы, б – перерезывающие силы, в – изгибающие моменты.
7.4. Определение размеров поперечного сечения рамы.
Рама изготовлена из профиля квадратного поперечного сечения и выполнена из пластичного материала – сталь 40 ( = 19% [8, c.646]).
Момент сопротивления квадратного сечения Wx a3 . 6
Запишем условие прочности:
|
max (z) |
M x max (z) |
|
6M x max (z) |
, |
|
W |
a3 |
|||
|
|
|
|
||
где T / n |
|
x |
|
|
|
– допускаемые напряжения, Т = 335 МПа [8, c. 646] – |
|||||
предел текучести материала, n – коэффициент запаса прочности (для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 3,0, тогда
3353 112 МПа. 47
Из условия прочности выразим искомый размер a:
a 3 |
6M x max (z) |
3 |
6 24,9 103 |
110,1мм. |
|
[] |
112 106 |
||||
|
|
|
Округлим полученный размер в соответствии с рядом нормальных линейных размеров Ra10 и примем a = 125 мм.
7.5. Построение эпюр распределения напряжений в опасном сечении. Уточнение выполнения условия прочности.
В соответствии с эпюрой изгибающих моментов, построенной на сжатом волокне, во внутренней части рамы в опасном сечении в точке B будет растяжение, снаружи – сжатие.
Определим значение максимальных нормальных напряжений от изгибающего момента в сечении:
max (z) |
6 24,9 103 |
76,5МПа. |
|||
|
3 |
|
3 |
||
|
12510 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Определим нормальные напряжения, возникающие от продольной силы N(z) = 46,8 кН в точке В стержня ВС:
(z) |
N(z) |
|
N(z) |
|
|
46,8 103 |
|
2,9 МПа. |
||
A |
a2 |
|
|
3 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
12510 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим касательные напряжения, возникающие в опасном сечении. В соответствии с формулой Журавского, для квадратного сечения получаем:
( y, z) |
Qy (z)S( y) |
|
3Qy (z) |
|
1 |
4 |
y |
2 |
|
3Qy (z) |
1 |
4 |
|
y |
2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
I |
b( y) |
|
|
|
2bh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда максимальные касательные напряжения в сечении от |
|||||||||||||||||||||||||||
перерезывающей силы Qy(z) = 27 кН: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
max ( y) |
3Qy (z) |
|
|
|
|
3 |
27 103 |
|
|
|
2,6 МПа. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2a2 |
|
2 |
|
12510 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По полученным значениям строим эпюры распределения нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении (рис. 7.5). Как видно из эпюр наиболее нагруженными будут нижние точки сечения, где действуют растягивающие нормальные напряжения от продольной силы и максимальные нормальные напряжения от изгибающего момента.
48
а |
б |
в |
г |
Рис. 7.5. Опасное сечение стержня: а – схема действия нагрузок, |
|||
б– эпюра нормальных напряжений от изгибающего момента Mx(z);
в– эпюра нормальных напряжений от продольной силы N(z);
г– эпюра касательных напряжений от перерезывающей силы Qy(z).
Уточним выполнение условия прочности для данных точек:max M x N 76,5 2,9 79, 4 МПа < 112 МПа,
условие прочности выполняется, вносить изменения в конструкцию не требуется.
49
IV. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
1. Основные понятия, определения, допущения и принципы
1.1 |
Способность твердого тела |
а) |
устойчивостью |
|
|
|
сопротивляться внешним |
б) |
прочностью |
|
|
нагрузкам, не разрушаясь |
в) |
жесткостью |
|
|
(способность сопротивляться |
г) |
выносливостью |
|
|
разрушению), называется… |
|
|
|
1.2 |
Принцип, утверждающий, что |
а) |
принципом начальных |
|
|
результат действия системы сил |
б) |
размеров |
|
|
равен сумме результатов действий |
принципом Сен-Вена |
|
|
|
каждой силы в отдельности, |
в) |
все утверждения верны |
|
|
называется… |
г) |
принципом независимости |
|
|
|
|
действия сил |
|
1.3 |
Принцип, утверждающий, что при |
а) |
принципом независимости |
|
|
упругих деформациях в |
б) |
действия сил |
|
|
большинстве случаев перемещения, |
принципом начальных |
|
|
|
возникающие в конструкции, малы |
в) |
размеров |
|
|
и форма конструкции изменяется |
принципом суперпозиции |
|
|
|
незначительно, называется… |
г) |
принципом Сен-Вена |
|
1.4 |
Свойство материала тела |
а) |
твердостью |
|
|
восстанавливать свои |
б) |
упругостью |
|
|
первоначальные размеры после |
в) |
однородностью |
|
|
снятия внешних сил называется… |
г) |
изотропностью |
|
1.5 |
Разделение тела на части под |
а) |
разрушением |
|
|
действием внешних нагрузок |
б) |
идеальной упругостью |
|
|
называется… |
в) |
пластичностью |
|
|
|
г) |
прочностью |
|
1.6 |
Сопротивление материалов – это |
а) |
прочность |
|
|
наука о методах расчета элементов |
б) |
прочность, жесткость и |
|
|
инженерных конструкций на… |
в) |
устойчивость |
|
|
|
жесткость |
|
|
|
|
г) |
устойчивость |
|
1.7 |
Механическое свойство, |
а) |
изотропностью |
|
|
характеризующее способность |
б) |
упругостью |
|
|
материала сопротивляться его |
в) |
твердостью |
|
|
разрушению под действием |
г) |
прочностью |
|
|
внешних сил, называется… |
|
|
|
1.8 |
Способность конструкции, ее |
а) |
жесткостью |
|
|
элементов сопротивляться внешним |
б) |
устойчивостью |
|
|
нагрузкам в отношении изменения |
в) |
упругостью |
|
|
формы и размеров называется… |
г) |
твердостью |
51
1.9 |
Объект, освобожденный от |
а) |
расчетной схемой |
|
особенностей, несущественных при |
б) |
реальной конструкцией |
|
решении данной задачи, |
в) |
математической моделью |
|
называется… |
г) |
абсолютно твердым телом |
1.10 |
Если не учитывается конкретная |
а) |
однородности и изотропности |
|
структура материала (зернистая, |
б) |
изотропности |
|
кристаллическая и др.), и считается, |
в) |
анизотропности |
|
что материал непрерывно заполняет |
г) |
сплошности |
|
весь объем элемента конструкции, то |
|
|
|
материал обладает свойством… |
|
|
1.11 |
Если свойства материала образца, |
а) |
идеально – упругим |
|
выделенного из тела, не зависят от |
б) |
анизотропным |
|
его угловой ориентации, то такой |
в) |
изотропным |
|
материал называется… |
г) |
однородным |
1.12 |
Тело, один размер которого намного |
а) |
пластиной |
|
превышает два других, называется… |
б) |
оболочкой |
|
|
в) |
массивом |
|
|
г) |
стержнем |
1.13 |
В модели формы при расчетах |
а) |
кривого стержня или |
|
прочностной надежности вводят |
б) |
тонкостенной трубы |
|
упрощение в геометрию элементов |
шарнирно-стержневой |
|
|
конструкций, приводя их к схеме… |
в) |
системы и ломаного стержня |
|
|
стержневой системы и |
|
|
|
|
статически неопределимой |
|
|
г) |
рамы |
|
|
стержня, пластинки, оболочки |
|
|
|
|
и массива (пространственного |
|
|
|
тела) |
1.14 |
В сопротивлении материалов |
а) |
сплошности и однородности |
|
относительно структуры и свойств |
б) |
материала |
|
материала принимаются гипотезы… |
устойчивости и жесткости |
|
|
|
в) |
сплошности, однородности, |
|
|
|
изотропности и идеальной |
|
|
г) |
упругости материала |
|
|
изотропности и идеальной |
|
|
|
|
упругости |
1.15 |
Упрощение, на основании которого |
а) |
принципом начальных |
|
при составлении уравнений |
б) |
размеров |
|
равновесия тело, после нагружения |
условием неразрывности |
|
|
внешними силами рассматривают |
в) |
деформаций |
|
как недеформированное, |
твердостью |
|
|
называется… |
г) |
принципом независимости |
|
|
|
действия сил |
52
|
1.16 Тело, длина которого l существенно |
а) |
пластинкой |
|
|
|
превышает характерные размеры |
б) |
массивом (пространственным |
|
|
поперечного сечения (ширины и |
|
телом) |
|
|
высоты) b и h, называется… |
в) |
стержнем |
|
|
|
г) |
оболочкой |
|
1.17 |
Векторная величина, которая |
а) |
полным напряжением в точке |
|
|
характеризует интенсивность |
б) |
нормальным напряжением |
|
|
распределения внутренних сил по |
в) |
касательным напряжением |
|
|
сечению тела, называется… |
г) |
напряженным состоянием в |
|
|
|
|
точке |
|
1.18 |
Утверждение, что напряжения и |
а) |
принципом независимости |
|
|
перемещения в сечениях, удаленных |
б) |
действия сил |
|
|
от места приложения внешних сил, |
принципом начальных |
|
|
|
не зависят от способа приложения |
в) |
размеров |
|
|
нагрузки, называется… |
принципом Сен-Венана |
|
|
|
|
г) |
гипотезой плоских сечений |
|
1.19 |
Величины, служащие мерой |
а) |
внутренними силовыми |
|
|
механического действия одного |
б) |
факторами |
|
|
материального тела на другое, |
внутренними силами |
|
|
|
называются… |
в) |
напряжениями |
|
|
|
г) |
внешними силами |
|
|
|
|
(нагрузками) |
1.20Силы взаимодействия между частями а) поверхностными рассматриваемого тела называются… б) внутренними
|
|
в) |
объемными |
|
|
г) |
внешними |
1.21 |
Компонент вектора полного |
а) |
напряженным состоянием |
|
напряжения р, действующего в |
б) |
нормальным напряжением |
|
некоторой точке сечения тела, |
в) |
касательным напряжением |
|
определяемый проекцией вектора р |
г) |
поперечной силой |
|
на плоскость сечения, называется… |
|
|
1.22 Проекции главного вектора и |
а) |
поперечными силами и |
|
|
главного момента всех внутренних |
б) |
изгибающими моментами |
|
сил в данном сечении на три взаимно |
сосредоточенными силами и |
|
|
перпендикулярные оси, |
в) |
моментами |
|
расположенные в этом же сечении по |
внутренними силовыми |
|
|
определенному правилу, |
г) |
факторами |
|
называются… |
компонентами напряженного |
|
|
|
|
состояния |
1.23 |
Для определения внутренних |
а) |
метод сечений |
|
силовых факторов, действующих в |
б) |
принцип независимости |
|
сечении тела, используется… |
в) |
действия сил |
|
|
метод сил |
|
|
53 |
г) |
гипотеза плоских сечений |
|
|
|
|
1.24 Полное напряжение в точке сечения, |
а) |
нормальное и касательное |
||||||||
|
в общем случае, раскладывается на… |
б) |
напряжения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормальное напряжение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
касательное напряжение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
среднее напряжение |
1.25 Проекция главного вектора R |
а) |
напряженным состоянием |
||||||||
|
внутренних сил на ось (Х или У), |
б) |
поперечной силой Qx (или Qy) |
|||||||
|
лежащую в плоскости сечения, |
в) |
продольной силой N |
|||||||
|
называется… |
г) |
касательным напряжением |
|||||||
1.26 |
Суммарный момент относительно |
а) |
изгибающим моментом |
|||||||
|
оси стержня всех внутренних сил, |
б) |
поперечной силой |
|||||||
|
действующих в поперечном сечении, |
в) |
крутящим моментом |
|||||||
|
называется… |
г) |
моментом силы относительно |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
1.27 |
Момент внутренних сил, |
а) |
изгибающим моментом |
|||||||
|
действующих в поперечном сечении |
|
Mx (или My) |
|||||||
|
стержня относительно оси Х (или У), |
б) |
крутящим моментом Mx |
|||||||
|
лежащей в плоскости сечения, |
в) |
главным моментом |
|||||||
|
называется… |
г) |
моментом силы относительно |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оси |
1.28 |
Количественная мера изменения |
а) |
абсолютным удлинением |
|||||||
|
геометрических размеров в |
б) |
стержня |
|||||||
|
окрестности точки называется… |
полным перемещением точки |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
линейной деформацией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
деформированным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состоянием в точке |
1.29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угловым перемещением сечения |
|
|
||
является величина… |
|
|
||
1.30 В результате действия внешних сил |
а) |
полным перемещением |
||
на деформируемое тело точка К |
б) |
линейной деформацией |
||
заняла новое положение К1. Вектор |
в) |
угловой деформацией |
||
|
|
называется… |
г) |
проекцией вектора |
|
KK1 |
|||
|
|
|
|
перемещения |
1.31 Деформации (линейные и угловые |
а) |
0,12 (или 12%) |
||
) считаются практически малыми, |
б) |
0,05 (или 5%) |
||
если они не превосходят… |
в) |
0,2 (или 20%) |
||
54 |
г) |
0,1 (или 10%) |
||
|
|
|||