mu-pad

3. Проверочный расчет стержня на прочность и жесткость

Для стержня (рис. 3.1), работающего на центральное растяжение-сжатие, необходимо выполнить проверочный расчет на прочность и жесткость, построить эпюру продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений. Исходные расчетные данные в табл. 3.1.

Решение.

3.1. Построение расчетной схемы.

Построим расчетную схему стержня. Для этого перенесем все силы к оси стержня, зададим систему координат, обозначим буквами B, C, D и H характерные сечения стержня. Заменим заделку в сечении C, возникающей в ней реакцией ZC. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин ступеней (рис. 3.2).

3.2.Определим неизвестные – в данном случае это реакция

взаделке, в точке С. Составим уравнение статического равновесия:

Z 0; 2F ql1 ZC 4F ql3 0;

ZC 2F ql1 4F ql3 2 11 86 0,2 4 11 86 0,4 4,8кН.

15

3.3. Построение эпюры продольных сил.

Стержень содержит 3 расчетных участка – BC, CD и DH. В рамках каждого из участков выберем сечения (рис. 3.2.).

Определим значение продольной силы на первом расчетном участке (0 z1 l1 ). Составим расчетную схему (рис. 3.3, а), запишем

уравнение равновесия и выразим продольную силу:Z 0; 2F qz1 N(z1 ) 0;

N(z1) 2F qz1.

Рис. 3.3. Схемы расчетных участков стержня

Определим значение продольной силы в начале и конце расчетного участка:

N(z1 0) 2F q 0 2 11 0 22,0 кН;

N(z1 l1) 2F ql1 2 11 86 0,2 4,8 кН.

Определим значение продольной силы на втором расчетном участке (0 z2 l2 ). Составим расчетную схему (рис. 3.3, б), запишем

уравнение равновесия и выразим продольную силу:Z 0; 2F ql1 ZC N(z2 ) 0;

N(z2 ) 2F ql1 ZC 2 11 86 0,2 4,8 9,6кН.

Определим значение продольной силы на третьем расчетном участке (0 z3 l3 ). Составим расчетную схему (рис. 3.3, в), запишем

уравнение равновесия и выразим продольную силу:Z 0; N(z3 ) qz3 0; N(z3 ) qz3.

Определим значение продольной силы в начале и конце расчетного участка:

N (z3 0) q 0 0; N (z3 l3 ) ql3 86 0,4 34,4 кН.

По полученным данным строим эпюру продольных сил ЭN(z) (рис. 3.4, б).

16

в– нормальных напряжений в долях от площади A поперечного сечения,

г– нормальных напряжений.

3.4. Проверка выполнения условия прочности.

Стержень имеет постоянное поперечное сечение и изготовлен из пластичного материала – Ст 1 ( = 28% [8, c.644]), а значит опасное сечение будет в сечении D справа, где действует наибольшая по абсолютной величине сила N(z3 ) max 34,4 кН.

Запишем условие прочности:

17

где nT – допускаемые напряжения, Т = 180 МПа [8, c. 644] –

предел текучести материала, n – коэффициент запаса прочности (для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 2, тогда

1802 90МПа.

Проверим выполнение условия прочности:

условие прочности выполняется, дополнительных уточнений площади поперечного сечения не требуется.

3.5. Построение эпюры нормальных напряжений.

Рассчитаем значения нормальных напряжений на каждом из расчетных участков и построим эпюру (рис. 3.4, г):

3.6. Расчет удлинений по расчетным участкам.

Для расчета удлинений воспользуемся законом Гука (с учетом того, что материал (модуль упругости E = 200 ГПа [8, c. 644]) и площадь поперечного сечения неизменны по длине расчетного участка):

li 1 li N (zi )dzi .

EA4 0

18

Определим значение абсолютной деформации на первом расчетном участке (0 z1 l1 ):

Определим значение абсолютной деформации на втором расчетном участке (0 z2 l2 ):

Определим значение абсолютной деформации на третьем расчетном участке (0 z3 l3 ):

3.7. Построение эпюры осевых перемещений. Расчет осевых перемещений производим по формуле:

wi w0 li ,

где wi – перемещение в сечении, соответствующем концу расчетного участка; w0 – перемещение в начале расчетного участка; li – удлинение данного расчетного участка. Исходя из этого, перемещения, возникающие вдоль оси будут положительными, а перемещения против направления оси – отрицательными.

Граничными условиями является перемещение в сечении C где расположена жесткая заделка, т.е. перемещение отсутствует wС = 0.

Определим перемещения на первом расчетном участке

19

wC wB l1; 0 wB 1,51 10 5 ; тогда wB 1,51 10 5 м.

Определим перемещения на втором расчетном участке

wD wC l2 ; wD 0 2,69 10 5 2,69 10 5 м.

Определим перемещения на первом расчетном участке

wH wD l3 2,69 10 5 3,87 10 5 1,18 10 5 м.

Построим эпюру осевых перемещений (рис. 3.4, д).

3.8. Проверка выполнения условия жесткости. Условие жесткости запишем в виде:

lmax l 10 3 l ,

где lmax – максимальное удлинение расчетной части стержня; [l] – допускаемое удлинение, l – сумма длин расчетной части.

Рассчитаем допускаемое удлинение:

l 10 3 l 10 3 l1 l2 l3 10 3 0,2 0,5 0,4 1,1 10 3 м.

Проанализировав эпюру осевых перемещений, можно сделать вывод, что наибольшее удлинение будет на участке CD:

lmax wD wC 2,69 10 5 0 2,69 10 5 м.

Условие жесткости выполняется:

lmax 2,69 10 5 м< l 1,1 10 3 м.

20

4. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня при кручении

Для ступенчатого стержня (рис. 4.1.), работающего на кручение, необходимо выполнить расчет на прочность, построив эпюру крутящих моментов, касательных напряжений в долях от неизвестного d3, определить данный базовый диаметр стержня d, построить эпюру распределения максимальных касательных напряжений по длине стержня и эпюру распределения касательных напряжений в опасном сечении стержня. Исходные расчетные данные в табл. 4.1.

Решение.

4.1. Построение расчетной схемы.

Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим систему координат, обозначим буквами B, C, D и H характерные сечения стержня. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин и диаметров ступеней (рис. 4.2.).

Рис. 4.2. Расчетная схема стержня

21

4.2. Определение неизвестных.

Определим неизвестные – в данном случае это момент T4 в точке D. Составим уравнение моментов онтносительно продольной оси z:

MZ 0; T1 T2 tl2 T4 T3 0;

T4 T1 T2 tl2 T3 16 20 8 0,5 22 62кНм.

4.3. Построение эпюры крутящих моментов.

Стержень содержит 3 расчетных участка – BC, CD и DH. В рамках каждого из участков выберем сечения (рис. 4.3.).

Определим значение продольной силы на первом расчетном участке (0 z1 l1 ). Составим расчетную схему (рис. 4.3, а), запишем

уравнение равновесия и выразим продольную силу:MZ 0; T1 T (z1 ) 0;

T (z1) T1 16кНм.

Рис. 4.3. Схемы расчетных участков стержня

Определим значение продольной силы на втором расчетном участке (0 z2 l2 ). Составим расчетную схему (рис. 4.3, б), запишем

уравнение равновесия и выразим продольную силу:MZ 0; T1 T2 tz2 T (z2 ) 0;

T (z2 ) T1 T2 tz2.

Определим значение продольной силы в начале и конце расчетного участка:

T (z2 0) T1 T2 t 0 16 20 0 36кНм;

T (z2 l2 ) T1 T2 tl2 16 20 8 0,5 40кНм.

Определим значение продольной силы на третьем расчетном участке (0 z3 l3 ). Составим расчетную схему (рис. 4.3, в), запишем

уравнение равновесия и выразим продольную силу: 22

в– максимальных касательных напряжений в долях d3,

г– максимальных касательных напряжений.

4.4.Построение эпюры максимальных касательных напряжений

вдолях от d3.

Стержень имеет различные диаметры поперечного сечения по длине, что не позволяет установить по эпюре крутящих моментов, где находится опасное сечение. Для этого необходимо рассчитать максимальные касательные напряжения по сечениям. Ввиду отсутствия заданного значения диаметров сделать это нельзя. Однако внешние и внутренние диаметры на каждой из ступеней выражены в долях от некоторого неизвестного диаметра d, который требуется

23