Решение систем линейных уравнений

Это и есть математическая модель задачи, ее решение сводится к решению системы линейных уравнений (1.7).

Найдем значения токов на каждом из приборов при известных

и внутреннее сопротивление ( r 1= 0,1; r2 = 0,4; r3* = 0,45) источников

тока, Решение: Итак у нас 6 уравнений и 6 неизвестных. Запишем уравне-

ния, подставив известные значения в (1.8):

21

В более привычном виде эту систему можно записать так:

Решая данную систему, находим неизвестные токи на схеме:

Отрицательные значения токов говорят о том, что их направление выбрано не верно, то есть на самом деле, при указанных значениях параметров системы, все токи, кроме тока номер 4, направлены в сторону, обратную указанной на схеме. Таким образом, токи при решении задачи токи можно направлять в любую сторону – решение само подскажет верное направление.

Алгоритм решения задач 1, 2, 3 можно применить и к таким задачам как: нахождение токов в системе, нахождение ЭДС, внутренних сопротивлений источников ЭДС, нахождение значений сопротивления каждой ветки, чтобы в системы были указанные значения токов и так далее.

Для этого:

1.Определяем независимые контуры, задаем направления обхода в контурах.

2.Определяем узлы. Направляем в узлах токи.

3.Выписываем уравнения для контуров и узлов.

4.Проверяем полноту системы, чтобы число независимых уравнений совпадало с числом неизвестных.

5.Составляем систему уравнений и решаем ее любым известным методом.

22

При стационарном процессе распространения тепла, т.е. если

Это уравнение в математической физике называют уравнением Лапласа.

Если вычислять распределение температуры в плоском теле, на-

Уравнение в частных производных имеет бесконечное множество решений. Для выделения единственного решения необходимо на решение рассматриваемого уравнения наложить дополнительные условия. Дополнительные условия в зависимости от их физического смысла разделяются на начальные и граничные (краевые). При этом, условия, относящиеся к начальному моменту времени, называют начальными, а условия, относящиеся к фиксированным значениям координат (обычно это координаты граничных точек рассматриваемой области), – краевыми или граничными.

Применительно к уравнению (1.10) начальные условия – это значения искомой температуры тела в начальный момент времени, а граничные условия – это значение температуры на границе рассматриваемой области в любые моменты времени.

Пример задания граничных и начальных условий. Пусть имеется теплоизолированный (кроме концов) однородный нагретый стержень 0 ≤ x ≤ l, где l – длина стержня (рис. 1.6).

24

x

0 l

Рис. 1.6. Теплоизолированный однородный нагретый стержень

Температура стержня U = U (x, t) в точке x для любого момента

U (x, t 0) = f (x) ,

где f (x) – известная функция.

На концах стержня заданы условия:

U (0, t) = ϕ (x) ,

где ϕ (x) – известная функция. Например, если на конце стержня поддерживается температура 100ºC, то U (0, t) = 100 . Аналогично, для второго конца: если на конце стержня поддерживается темпера-

тура 0ºС, то U (l, t ) = 0 .

При стационарном процессе (1.12) для получения единственного решения достаточно задать только граничные условия.

Уравнение Лапласа в конечных разностях. Общий подход к решению уравнений в частных производных заключается в замене этого уравнения конечно-разностным уравнением.

Классическое определение производной функции одной переменной записывается в виде

Таким образом, при достаточно малом шаге x , производную можно заменить разностью

25

Такая подстановка называется правой разностью. Аналогично можно получить и другое равенство, называемое левой разностью

x и y. Применим формулы (1.14) и (1.15) к вычислению частных производных по x и y .

Вначале рассмотрим разности только в направлении x. Заменим

Для простоты обозначим ∂U = U x .

∂x

Используя (1.15), выведем соотношение для второй производной

Заменим первую производную U x левой разностью (1.15), чтобы

скомпенсировать эффект «сдвинутости» вправо (1.16) при замене первой производной

26

Аналогично, найдем разности для замены второй производной в направлении y:

Рис. 1.7. Соседние точки по горизонтали и вертикали для (x, y)

Если принять, что x = y = h , то получим

U (x + h, y) + U (x − h, y) − 4U (x, y ) + U (x, y + h) + U (x, y − h) = 0

или

U (x, y) = U ( x + h, y) + U (x − h, y) + U ( x, y + h) + U ( x, y − h) . (1.20)

4

27

Таким образом, для получения конечно-разностного уравнения

Решение уравнения Лапласа методом сеток. Пусть задана не-

которая произвольная плоская область D с границей G распростране-

ния тепла. Идея метода сеток, или метода конечных разностей со-

стоит в следующем. Для вычисления температурного режима для заданной области D с границей G достаточно разбить ее на n интервалов по направлениям x и y (рис. 1.8). Полученная сетка должна покрывать заданную область.

Координаты узлов сетки:

(x0 + kh; y0 + mh ) обозначим Tk ,m .

.

Рис. 1.8. Сетка, покрывающая область D

28

Разностные уравнения (1.21) связывают значение функции U в пяти внутренних узлах. Число уравнений равно числу внутренних узлов. Значения функции в граничных узлах задаются, и, следовательно, для них разностные уравнения не выписываются.

Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных (1.12) свелось к системе линейных уравнений. Каждое из этих уравнений представляет собой вычисление значения температуры в любом узле внутренней области как среднее арифметическое из четырех соседних с ним.

Рассмотрим построение конечно-разностных схем на простом примере распределения температуры при нагревании металлической пластины.

Задача 1. Металлическая пластинка (рис. 1.11) является деталью некоторого устройства. Во время работы устройства во всех точках края пластины поддерживается определенная температура. Пластина расчерчена в виде сетки с квадратными ячейками ( x = y ). Рассчитать значения температур в четырех внутренних узлах пластины.

Рис. 1.11. Заданная металлическая пластина

30