Теория множеств(пособие ЕНФ)(Водопьянов)

г) А – А = ;

д) A U = AC;

е) А В = (А В) – (А В);

18. Пусть A U, B U. Доказать:

а) A – B = A BC;

б) A B = (A BC) (AC B).

19. Решить систему уравнений

A X B, а) A X C,

где А, В, С – данные множества и В А С.

A \ X B,

б) X \ A C,

где А, В, С – данные множества и В А , А С = .

A \ X B,

в) X A C,

где А, В, С – данные множества и В А С.

20. Определить операции , , \ через: а) и ; б) и ;

а) \ и .

21. Доказать, что для любых множеств E, F, G, H справедливы включения:

а) E (F G) (E F) (E G);

б) E (F – G) (F E) – (G E);

в) (E F) (G H) (E G) (F H);

г) (E F)-(G H) [E (F-H)] [(E-G) (F H)]; д) E (F G) (E F) (E G);

е) (F E) (G H) (G E) (F H). 22. Справедливо ли равенство

(А В) (С D) = (А С) (В D)? 23. Справедливо ли равенство

(А В) (С D) = (А С) (В D)?

§ 3. Произведение множеств. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности.

13

Определение. Пусть А и В - множества. Произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а, в), где а А и в В. Произведение обозначается А В.

А В={(a,b):a A и b B}.

Произведение двух множеств часто называют прямым или декартовым произведением. Заметим, что произведение n штук одного и того же множества А обозначается через Аn .

Примеры. 1) Если А = {a, b}, B = {0, 1}, C = , то А В = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), b, 1)}, B A = {(0, a) (0, b), (1, a), (1, b)},

A C = C A = .

2)Пусть R – множество действительных чисел. Тогда R2 – множество, которое обычно изображается в виде плоскости, а элементы из R2 называются точками плоскости.

3)Пусть [a, b], [c, d] – отрезки прямой. Тогда [a, b] [c, d] – прямоугольник на плоскости.

Определение. Бинарным отношением (или просто отношением) в А В

называется любое подмножество множества А В.

Примеры. 1) Пусть А = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Тогда A B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7)}.

2) Возьмем S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6)}. Ясно, что S A B, т.е. S является бинарным отношением в A B. Это отношение может быть охарактеризовано следующей формой

S= {(x,y) A B: x A является делителем y B}.

3)Пусть А некоторое множество, а b(А) множество всех его подмно-

жеств. Множество b(А) называется булеаном. Пусть W отношение в b(А) b(А), задаваемое формой:

W = {(B, C) b(A) b(A): B C}.

Тогда W является отношением включения множеств.

Если S является некоторым отношением и (x, y) S, то мы будем писать xSy и говорить, что x находится в отношении S с y.

Если S является отношением в А А, то говорят, что S является отношением в А.

Пусть S некоторое отношение в А В. Введем два множества:

DS = {a A: b B: (a,b) S}, RS = {b B: a A: (a,b) S}.

Множество DS называется областью определения отношения, а множество RS – областью значений. Если DS = A, то такое отношение называют всюду определенным, а если RS = B – сюръективным. Когда отношение одновремен-

14

но является сюръективным и всюду определенным, то говорят, что S отношение на А В (соответственно на А, если В=А).

Отношение S называется инъективным, если из (a, b) S и (c, b) S следует, что а = с. Если отношение S является всюду определенным, инъективным и сюрьективным, то его называют биективным .

Иногда отношения называются соответствием между элементами множества А и В.

Пусть S некоторое отношение в А В. Введем отношение S-1 следующим образом: (у, х) S-1 (х, у) S. Отношение S-1 назовем обратным отношением.

Определение. Отношение S на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1)аSа для а А (рефлексивность);

2)если аSв, то вSа (симметричность);

3)если аSв и вSс, то аSс (транзитивность).

В дальнейшем отношение эквивалентности будем обозначать значком . Определение. Пусть задано отношение эквивалентности на А. Множе-

ство Х А называется классом эквивалентности для этого отношения, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1)для любых х Х и у Х выполняется х у;

2)если х Х , у А и х у, то у Х.

Пусть на А задано отношение эквивалентности. Введем следующее обозначение:

[x] = {y A: x y}.

Нетрудно видеть из определений, что [x] является классом эквивалентно-

сти. Его называют классом эквивалентности, порожденным элементом х.

Лемма 1. Для классов эквивалентности [x] и [y] возможны только следующие два случая:

1)[x] = [y];

2)[x] [y] = .

Доказательство. Предположим, что [x] [y] и а [x] [y]. Тогда x a и y a. Покажем, что в этом случае один класс эквивалентности содержится в другом, а так как они равнозначны, то будет доказано равенство этих классов.

Пусть в [x]. Тогда х в, а х, следовательно в а. Но а y, значит в y

и в [y], т.е. [x] [y].

Пусть некоторое множество А представимо в виде:

А= А , где А А = , если .

Вэтом случае говорят, что {A } задает разбиение А. Из доказанной леммы вытекает, что классы эквивалентности задают разбиение на А. Оказывается, верно и обратное.

15

Лемма 2. Если {A } - некоторое разбиение множества А, то отношение S,

определяемое следующим условием: аSв : а А и в А , является отношением эквивалентности.

Доказательство. По существу, в доказательстве нуждается лишь третье свойство эквивалентности. Пусть аSв и вSс. Тогда из задания отношения S вы-

текает следующее: : а А и в А , а также : в А и с А . Тогда в А А и из свойств разбиения следует, что А = А или = , следовательно, а А

и с А . Это доказывает, что аSс и отношение S является отношением эквивалентности.

Теорема. Пусть S - некоторое отношение эквивалентности на А. Пусть {А } - разбиение множества А, порожденное этим отношением (лемма 1).

Пусть Т - отношение эквивалентности, порожденное разбиением {А } (лемма

2). Тогда S=T.

Доказательство. Для доказательства напомним, что S и T являются подмножеством А А и их равенство понимается как равенство множеств. Пусть (а,в) S, т.е. аSв. Тогда а и в из одного класса эквивалентности, т.е. : а А и

в А . Это означает, что (а,в) T и S T. Аналогично показывается обратное включение.

Задачи.

1.Доказать, что существуют А, В и С такие, что а) А В В А; б) А (В С) (А В) С.

2.Доказать, что если А, В, С и D не пусты, то

а) А В и С D А С В D;

б) А=В и С=D A C = B D.

3. Доказать, что

а)(А В) (С D) = (А С) (В D);

б)(А В) (C D) (A C) (B D);

в)(А В) С=(А С) (В С); г)А (В С)=(А В) (А С);

д)(А В) (C D)=(A C) (B C) (A D) (B D);

е)(А-В) С=(А С)-(В С); ж)А (В-С)=(А В)-(А С);-

з)А В=(A D) (C B), где А С и B D.

4. Найти область определения и область значений для отношений:

а) R={(x,y): x, y N и x делит y}; б) R={(x,y): x, y N и y делит x}; в) R={(x,y): x, y R и x+y 0};

16

г) R={(x,y): x,y R и 2x>3y}.

5. Пусть R, S, T - некоторые отношения. Проверить справедливость равенств:

а) Ro(SoT) = (RoS)oT; б) (R-1)-1 = R;

в) (RoS)-1 = S-1oR-1.

6. Пусть на множестве А заданы отношения R1 и R2. Доказать:

а) если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны отношения

R1 R2, R1 R2, R1-1, R1oR2;

б) если отношения R1 и R2 иррефлексивны (т.е. для х А не выполняется хRх), то иррефлексивны R1 R2, R1 R2, R1-1, суперпозиция R1оR2 может быть иррефлексивной;

в) если отношения R1 и R2 симметричны, то симметричны отношения

R1 R2, R1 R2, R1-1, R1oR2-1;

г) отношение R1oR2, где R1 и R2 симметричны, симметрично тогда и только тогда, когда R1oR2 = R2oR1;

д) если отношения R1 и R2 антисимметричны, то антисимметричны

R1 R2, R1-1.

7. Пусть А - конечное множество, n - число его элементов. Доказать, что число подмножеств множества А, состоящих из m элементов, где 0 m n, равно

8. Пусть r - отношение, обладающее свойством рефлексивности и транзитивности в множестве А. Определим для а, b А отношение R, полагая аRb, если аrb и brа.

а) Доказать, что R есть отношение эквивалентности на А. в) Доказать, что если аRа', bRb' и аrb, то а'rb'.

9. Во множестве Z+ Z+ положим по определению (а, b)r(с, d), если

а+d=b+с. Доказать, что r является отношением эквивалентности на данном множестве.

«Понятие функции такое же основное, как и понятие множества»

Хаусдорф

§ 4. Функция

Пусть Х и У два множества и F отношение в Х У.

Определение. Отношение F называется функцией из Х в У, если оно удовлетворяет свойству:

17

из xFy и xFz следует, что y = z.

В дальнейшем мы будем применять также обозначение y = F(x) вместо xFy, если F является функцией. Множества DF и RF , введенные в предыдущем пункте для функции F носят соответственно названия: DF - область определения и RF - область значений функции F. Очень часто область определения и область значений заранее не задаются, а возникают, исходя из задания функции.

Примеры.

1){(1,2), (2,2), (Рузвельт, Черчилль)};

2){(1,2), (1,3), (2,2)};

3){(x, x2 +x+1)|x R};

4){(x2 ,x)|x R}.

Из приведенных примеров 1 и 3 определяют функцию, а 2 и 4 не являются функцией, т.к. не выполнено определение функции.

Для функции применяются также другие названия: преобразование, отображение, соответствие. Если y = F(x), то x называют аргументом функции, а y

образом.

Две функции F и G считаются равными, если выполнены равенства соответствующих множеств. Последнее эквивалентно следующим двум равенствам:

DF =DG и F(x)=G(x) для x DF.

Следующие определения переносятся с отношений:

1)В случае, когда DF = Х функцию называют всюду определенной.

2)Функция F из Х в У называется сюръекцией (или отображением на),

если RF =У.

3) Функция F из Х в У называется инъекцией (или однозначным отоб-

ражением), если из х1 х2 следует, что F(х1) F(х2).

Всюду определенная функция F из Х в У называется биекцией, если она одновременно является сюръекцией и инъекцией.

Примеры: 1) функция у=еx - биекция из R в R+ ;

2) у=х2 - сюръекция из [-1, 1] на [0, 1], не являющаяся инъекцией. Определение. Пусть F - функция из X в Y, а G - из Y в Z. Суперпозицией

функций F и G называется такая функция H из X в Z, что z = H(x) (т.е. (x, z) HX Z) тогда и только тогда, когда y=F(x) и z=G(y). Суперпозиция обозначается

GoF. В определении Н – функция, почему?

Определение. Для функции F из Х в У функция G из У в Х называется правой обратной (соответственно, левой обратной), если справедливо равенство FoG=IУ (соответственно, GoF=IХ), где через IХ (IУ) обозначено тождественное отображение на Х (соответственно на У), т.е. IХ(x) = x (IУ(y) = y).

Функция у=х2, из рассмотренного выше примера не имеет левой обратной, но имеет правую обратную (ею является функция х= у ). Однако если сузить область определения функции у=х2 до отрезка [0,1] (или [-1,0]), оставив

18

туже самую область значений, то эта функция будет иметь уже и левую обратную: х= у (соответственно, х= - у ).

Лемма 1. Если функция F имеет левую обратную, то F является инъекци-

ей.

Доказательство. Действительно, если бы F не являлась инъекцией, то существовали бы х1 х2 такие, что y=F(x1)=F(x2). Пусть G - левая обратная к F, то x1 = GoF(x1 ) = G(y) = GoF(x2 ) = x2, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если функция F имеет правую обратную, то F является сюръек-

цией.

Доказательство. Утверждение легко вытекает из определения правой обратной функции G: для любого у У FoG(у)=у.

Лемма 3. Если у функции F из Х в У существуют левая и правая обратная функции, то они совпадают.

Доказательство. Пусть G и H - обозначают соответственно левую и правую обратную функции к F. Тогда DG = RF = DH = У. Остается проверить равен-

ство G(y) = H(y) для любого y У. Но G(y) = G(IУ(y)) = G(F(H(y))) = IХ(H(y)) = H(y).

Определение. Функция из У в Х, которая является правой и левой обратной к функции F, называется обратной функцией к F и обозначается через F -1.

Теорема. Пусть F является функцией из Х в У. Для существования обратной функции F-1 из У в Х необходимо и достаточно, чтобы F была биекцией.

Необходимость легко вытекает из лемм 1 и 2.

Достаточность. Пусть y У. Так как F является сюръекцией, то существует х Х такое, что F(x)=y. При этом такое х одно, так как F также и инъекция. Определим функцию G(x)=y. Легко проверить, что таким образом определенная функция является обратной к F.

Следствие. Если F является биекцией, то и F-1 также является биекцией.

Задачи.

1.Установить, что следующие отношения являются функцией: а) в У, R = X {в} X У (постоянное отображение);

б) R = {(x, x): x X} X X (тождественное отображение IX);

в) R = {((x, y), x)} (X Y) X ( проекция на Х); г) R = {((x, y), у)} (X Y) Y ( проекция на Y).

2.Пусть А - произвольное множество из области определения функции f(х). Верно ли равенство f -1 [f(A)] = A всегда ?

3.Пусть В - произвольное множество из области значений функции f(х). Верно ли равенство: f[f -1 (B)] = B всегда ?

4.Верны ли равенства:

f(A B) = f(A) f(B); f(A B) = f(A) f(B)?

19

5. Верно ли, что f(R – А) = f(R) – f(А), где R - область определения функ-

ции?

6. Пусть А и В - два множества из области значений функции у = f(х). Верны ли равенства:

f -1 (A B) = f -1 (A) f -1 (B), f -1 (A B) = f -1 (A) f -1 (B)?

7.Пусть L - область значений функции у = f(х), а А L. Справедливо ли равенство: f -1 (L – A) = f -1 (L) – f-1 (А)?

8.Задана функция f: х х2 + рх + q и интервал (a, b). Определить множе-

ство f -1 ((a, b)).

9.Задана функция f из А в В. Доказать, что для всякого М В справедливо включение f[f -1 (M)] M. Пусть Е А. Доказать, что f-1 [f(E)] E.

10.Задана функция f из А в В. Пусть Е1 А, Е2 А, М1 В, М2 В. Доказать, что если Е1 Е2 , то f(Е1) f(Е2), если М1 М2, то f -1 (М1) f -1(М2).

11.Задана функция f из А в В. Доказать, что следующие условия попарно

эквивалентны:

а) f - инъекция;

б) f -1 (f(Е)) = Е для любого Е А;

в) f(Е М) = f(Е) f(М) для любых Е, М А;

г) f(Е) f(М) = для любой пары множеств Е А, М А такой, что Е М=

;

д) F(Е – М) = f(Е) – f(М) для любой пары множеств Е А, М А такой, что

М Е.

12. Пусть даны множества А, В, С, D и функции

f: А В, g: В С, h: С D.

Доказать, что если каждая из суперпозиций gof и hog есть биекция, то и все функции f, g и h являются биекциями.

13.Пусть А - конечное множество и f функция из А в А. Доказать, что а) если f является сюръекцией, то f также и инъекция;

в) если f является инъекцией, то f также и сюръекция.

14.Построить отношения, удовлетворяющие следующим требованиям: а) рефлексивное, симметричное, не транзитивное; б) рефлексивное, транзитивное, не симметричное; в) симметричное, транзитивное, не рефлексивное.

§ 5. Мощность множеств. Конечные множества

Определение. Если для двух множеств А и В существует биекция А на В, то говорят что они имеют равную мощность. Если же существует инъекция множества А на В и не существует биекции между ними, то говорят, что мощность множества А меньше мощности множества В.

20

Первый зародыш общего понятия равномощности появляется у Галилея, заметившего, что отображение n n2 устанавливает биекцию между натуральными числами и их квадратами. Этот пример был приведен Галилеем в качестве контрпримера к “аксиоме”: “целое больше части”. Понятие равномощных множеств было введено Больцано.

Мощность множества А мы будем обозначать card(A). По определению, если множества А и В равномощны, то пишут card(A) = card(B). Если же мощность множества А меньше мощности В, то соответственно пишут card(A)<card(B). В этом случае, согласно определению, множество А равномощно некоторой части множества В.

Если рассмотреть отношение “иметь равную мощность” на множестве всех множеств, то нетрудно проверить, что оно является отношением эквивалентности.

Два конечных множества являются равномощными только в том случае, когда они имеют одинаковое количество элементов.

В случае, когда в конечном множестве А содержится n элементов, говорят, что его мощность равна n и пишут card(А)=n.

Теорема 1. Для конечных множеств справедливы равенства:

а) если А В= , то card(А В) = card(A)+card(B);

б) если А В , то card(А В) = card(A)+card(B)-card(A B).

Доказательство. Осуществляется прямым счетом элементов множества А В. В случае а) из х А В либо х А и х В, либо х А и х В. Из этого уже следует утверждаемое. В случае же б) множество А В можно разбить на следующие части: элементы х А и х В, элементы х В и х А и, наконец элементы х А и х В.

Следствие. Если А В, то card(B-A) = card(B)-card(A).

Теорема 2. Для конечных множеств справедливо равенство card(A B) = card(A) card(B).

Доказательство. Пусть А={а1, а2, ..., аn} и В={в1, в2, ..., вm}. Тогда А В=

{(аi, вj): i=1, 2,..., n; j=1, 2,..., m}= {(а1, в1), (а1, в2), ..., (а1, вm)} {(а2, в1), (а2, в2), ...,

(а2, вm)} ..... {(аn, в1), (аn, в2),..., (аn, вm)}. Каждое из множеств, входящих в выписанное объединение, не пересекается с остальными и содержит точно m элементов. Всего множеств в объединении n штук. По предыдущей теореме получаем необходимое равенство.

Следствие. Справедливо равенство card(An) = (card(A))n .

Задача. Известно, что из 100 студентов живописью увлекается 28 человек, спортом - 42 человека, музыкой - 30, живописью и спортом - 10, живописью и музыкой - 8, спортом и музыкой - 5, живописью, спортом и музыкой - 3. Найти количество студентов, занимающихся только спортом; не увлекающихся ничем.

21

Решение. Обозначим первой большой буквой множество студентов, увлекающихся тем или иным видом (например, Ж – множество студентов, увлекающихся живописью). Множество всех студентов обозначим через U. Тогда нас интересует card(С – (Ж М)) и card(U –(Ж М С)). Из теоремы 1 и ее следствия, свойств операций над множествами имеем:

card(С – (Ж М)) = card(С – ((Ж М) С))) =

=card(С) –card((Ж С) (М С)) =

=card(С) – (card(Ж С) + card(М С) – card(Ж М С)) =

=42 – (10 + 5 – 3) = 30.

card(U – (Ж М С)) = card(U) – card(Ж М С) =

=100 – (card(Ж М) + card(С) – card((Ж М) С) =

=100 – (card(Ж) + card(М) – card(Ж М) + 42 card((Ж С) (М С))) =

=100 –(28 + 30 – 8 + 42 – (card(Ж С) + card(М С) – card(Ж М С))) =

=100 – (92 – (10 +5 – 3)) = 100 – (92 – 12) = 20.

Теорема 3. Если card(А) = n, то card(b(А)) = 2n.

Доказательство. Рассмотрим множество

Еn ={(v1, v2, ..., vn): vk Е },

где Е - множество, содержащее 2 элемента: 0 и 1. Из следствия теоремы 2 вытекает, что card (En) = (card(E))n = 2n. Покажем, что множества En и b(А) равномощны. Пусть множество А = {а1, а2, ..., аn} и В некоторое подмножество А. Поставим в соответствие множеству В элемент (v1, v2, ..., vn), полагая

0, е слиak B; vk 1, е слиak B.

Несложно проверить, что данная функция является инъекцией и сюръекцией множества b(А) на множество Е . Таким образом, card(b(A)) = 2n.

Задачи.

1. Можно ли сказать, что если А = В, то А и В равномощны, и наоборот, если А и В равномощны, то А=В?

4. Доказать, что для любых трех конечных множества А, В, С справедливо равенство, называемое формулой включения и исключения:

card(A B C) = card(A)+card(B)+card(C) – card(A B) – card(A C) – card(B C) +card(A B C).

§ 6. Теоремы о счетных множествах. Множества мощности континуум

Если рассмотреть любое конечное множество и любое его собственное (непустое и не совпадающее с ним самим) подмножество, то элементов в подмножестве меньше, чем в сам множестве, т. е. часть меньше целого.

22