коллоквиум по математике 1семестр

1)Матрица-прямоугольная таблица чисел,состоящая из m-строк,n-столбцов.

М-у имеющую m-строк и n-столбцов назыв М-ей размера mn. М из одной строки назыв мат.строкой. М,все эл-ты кот=0,назыв нулевой М-ей. М-а назыв квадратной,если m=n.Квадр-я М назыв симметричной,если a_ik=a_jk. а₁₁,a₂₂,…,a_ij,..,a_mn образуют главную диагональ квадр Ма-цы. Диагональной назыв квадр М,у кот все эл-ты,кроме диагональных,=0. Единичной М-цей назыв диагон М-а у кот все эл-ты гл диагонали =1. Кв М имеющая n-строк и n-столбцов назыв М-ей порядка n. М-а А^Т назыв транспонированной к М-е А,если каждая её строка явл столбцом М-ы А.

Действия:линейными операциями над М явл операц слож-я,вычит,умнож на число.Слож-е и вычит М определенно только для М одинаков размерности.1)Две М А и В=, если = их соответств э-ты.2)Умнож-е М на число: .3)Слож и вычит: А+В=С.С_ij=а_ij+в_ij.;Св-ва лин.операц:1)А+В=В+А-коммутативность.2)(А+В)+С=А+(В+С)-ассоциативность.3)А+(-А)=0.4)А*1=А.5)А+0_‘=А.6)α*(А+В)=αА+αВ,α-дейст.число.2⁰.Умнож.М. Произведение двух матриц A и B обозначается символом AB и определяется равенством AB=

Произв-е М А на В определено только в том случае,когда число столбцов М А=числу строк М В.В результате получим М АВ у которой строк столько же как в А,а столб как в В; АВ≠ВА;ЕА=АЕ=А;АО=ОА=О.Св-ва опер умнож: 1)(АВ)С=А(ВС).2)(αА)В=α(АВ)=А(αВ).3)(А+В)С=АС+ВС.4)С(А+В)=СА+СВ.

2. if из ∆ вычеркнуть iстроку и jстолбец на пересечении кот стоит эл-т а_ij и сдвинуть оставшиеся ряды, то получим ∆ 2-го порядка назыв минором и обозначаемым М_ij.

Алгебраическим дополнением А_ij в ∆ назыв соответств ему минном взятый со зн +,if i+j четн число,со зн -,if i+j нечет.А_ij=(-1)^i+jМ_ij. ∆=а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃; Св-ва ∆:1) ∆ не измен при транспонировании,т.е. при замене всех его строк соотв столбцами.detA=detA^T;2)При перестановке двух стол(строк) ∆ меняет знак.3) ∆ с двумя одинак стол(строк)=0.4)if все эл-ты какого-л стол(стр) обладают общим множителем, то этот множитель можно вынести за знак ∆.5)∆ содержащ нулевую строку(столбец)=0.6)if каждый эл-т какого-л столб(строки) есть сумма двух слагаемых,то ∆=сумме двух ∆.Причем в одном из них столбец состоит из одних слаг,в др из вторых.7)if ∆ содержит две пропорцион строки,то он=0.8)Величина ∆ не изменится,if к эл-ам любого стол(строки) прибавить эл-ты др стол(стр) предварит умноженные на любое число.9) ∆ произв двух М порядка n=произв их ∆.det(AB)=detA*detB.

3.Теорема(о разлож опред по эл-ам стр(стол)): ∆ кВ М=сумме произвед эл-ов какой-л стр(стол) на их алгебраич дополнения.Замечание:Сумма произв-ий эл-ов стр(стол) на алгебраич дополн эл-ов др стр(стол)=0. а₁₁А₂₁+а₁₂А₂₂+а₁₃А₂₃ =0.

Рассмотрим n–эл-ов.Число перестановок этих эл-ов=n!.Опр-е:если в перестановке эл-т с большим номером стоит раньше,чем эл-т с меньшим номером,то эти эл-ты образ инверсию. Перестановка,содерж нечетн(четн) колич инверсий назыв нечет(четн). Все св-ва ∆ 3-го порядка сохр для ∆любого порядка.Опред:∆-и кВ М назыв число обознач ∆=и равное сумме всех n! Произвед-й эл-ов взятых по одному из каждого стол(стр)., взятых со знаком +(-),если перестановка ij-четное(неч).

4. Пусть А-кв М порядка n. М обознач А^-1 назыв обратной А,если АА^-1 или А^-1А=Е.Теорема(Критерий сущ-я обр М):Для того чтобы кВ М А имела обратную необходимо и достаточно,чтобы её ∆ не был =0.Формула для нахожд обр М: А^-1=, ∆не=0

6.Рассмотрим М А размера m×n. Выделим в М А k-строк и k-столбцов,Эл-ты стоящие на пересечении выдел стр и столцов явл эл-ми определителя k-порядка,кот назыв минором М k-го порядка. Обозначим М_k. Наивысший порядок отличного от 0 минора назыв рангом М. Из определителя ранга М утвержд-е: 1) 0≤ r ≤min(m;n). 2) r=0, М нулевая. 3)Д/кв М порядка n. r=n когда определитель М≠0.

Элементарные преобразования матриц:1)Транспонирование.2)Перестановка 2 столбоц или строк.3)Умнож-е эл-ов стр/стол на число k≠0. 4)Прибавление эл-ов к какой-н стр/стол к эл-ам др стр /столбца,возможно даже умнож-х на какое-н число.

Перечисленные эл-рные преобразования М-ц рангов М-цы не меняют.

Док-во.Т.к. ранг-это наивысший порядок 0 минора(т.е. опред-ля),то по св-ам опред-ей преобразование 1 величины опр-я,соответств и минора,не меняют. Преобразование 2 меняет знак минора на противоположный(соотв ранг остается прежний). Преобразование 3 увеличивает величину минора в k раз. Преобразование 4 величины опр-ля(минора) не меняет. Т.о.,преобразования 1-4 миноры≠0 останутся ≠0, а миноры =0,останутся=0. ранг М не изменится.

7. Теорема Кронекера-Капелли:Для того чтобы произвольная СЛУ была совместна необходимо и достаточно,чтобы ранг М А=рангу расшир М,т.е. r(A)=r(A/B)

8. Две СЛУ назыв эквивалентными, если они обе несовместны или имеют одинаковое колич-о реш-й.

Элементарные преобразования систем:1)замена i-уравнения j. И наоборот.

2)Прибавление к i-уравнению j-уравнения, умноженного на некоторое число.

Теорема:Эл-ые преобраз-ия 1,2 сохраняют эквивалентность линейных систем.Т.о, Если одна система полученна из другой с помощью конечного числа эл-ых преобразований, то эти системы эквивалентны.

Метод Гаусса(метод последовательного исключения неизвестных) состоит из двух этапов.На первом этапе система приводится к ступенчатому виду.На втором-идёт последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

9.Вектор-направленный отрезок(пара упорядоченных точек).Растояние между нач-ом и концом вектора назыв его длиной(модулем). Пара векторов назыв коллинеарными,если они лежат на // прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Три вектора назыв компланарными, если существует пл-ть кот-й они //. Два вектора назыв равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаково направлены.

Действия над векторами:1)Вектор ,соединяющий начало первого вектора с концом второго , называется суммой векторов a и b.Это правило сложения назыв-т правилом треугольника.Если век-ра a и b не коллинеарны и их начала совмещены в одной точке,то их сумма явл диаг-ю параллелограмма, построенного на векторах a и b(правило параллелограмма).2)Вычитание.Вычисть а-b означает найти c, такой что с+b=a. 3)Произ-м числа α на назыв b, такой что 1) =. 2)a и b-коллинеарны. 3)a и b одинаково направл,если α и противоположно напр,если α.

Св-ва:1) +=+.2)(a+b)+c=a+(b+c).3)a+0=a. 4)a+(-1)a=0. 5)(αβ)a=α(βa),для α,β R. 6)(α+β)a=αa+βa.7)α(a+b)=αa+αb. 8)1a=a

10.Рассмотрим систему векторов а₁,а₂,...а_k и люб числа α₁ α₂,…α_k R. Выражение α1а1+α2а2+…+α_ka_k назыв линейной комбинацией векторов a_1,…a_k, а числа α_i(i=)-коэффиц этой комбинации. Если =α₁+α2а2+…α_ka_k то говорят,что вектор а разложен по векторам а1,а2,…а_k.

11. Базисом в пространстве назыв любая упорядоч-я тройка некопланарных векторов(е₁,е₂,е₃). Базисом на пл-ти назыв любая упор-я пара неколлинеарных векторов.Базис на прямой-любой её ненулевой вектор.Утверждение1.При сложении векторов координаты векторов складываются,а при умнож-и вектора на число координаты умножаются на это число.Утв2)Система век-ов а₁…а_k явл линейнозависимой когда один из век-ов этой системы есть линейная комбинация остальных.Утв3)а)Любые 2 коллин век-ра лин-о зависимы и наоборот:любые 2 лин-о зависимых коллинеарно.б)Любые 3 компланарных век-ра лин-озависимы и наоборот:любые 3 лине-завис-х век-ра-компланарны.

ДСК назыв совокупность точки и базиса. Прямоуг-й ДСК назыв-т совокупность точки и ортонормированного базиса.Базис е₁,е₂,е₃ назыв ортонормированным,если вектора е_i ортогоальны и их длины=1.

12. Cкалярным произв a и b назыв число = произведению их длин на cos угла между ними. ^.

Св-во:1)Перестановочное: (ab)=(ba).2)(а, а)=²; ; 3) ,если один и век-ов=0 или вектора .; 4)α+β,=α +β

Вещественное линейное пространство назыв Евклидовым,если в нём определенно скалярн произв-е векторов.

Два вектора явл ортогональными,когда их скалярное произв-е =0

Во всяком n-мерном Евклидовом пространстве существует ортонормировый базис.

Проекцией вектора а на b назыв длина умножен на cos угла образован и . Пр_ba=cos(a^b).

13. Векторным произведением [] векторов и назыв ,такой что: ;2) , , 3)-правая тройка. Упорядоченная тройка векторов a,b,c назыв правой,если с конца третьего вектора С кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов левая.

Длина результата векторн произв-я численно равна S параллелограмма построенного на векторах .

Св-ва:1)некомутативность. .[a,b]= -[b,a]. 2)Д/любых векторов a,b и любого числа λ: [λa, b]= λ[a,b], [a, λb]=λ[a,b].3)Дистрибутивность: [a+b,с]= [a,с]+ [b,с].4)Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов a и b равенство 0 векторн произведения. [a,b]=0

Если a и b заданы своими координатами в прямоуг ДСК,т.е. (а₁,а₂,а₃),b(b₁,b₂,b₃),то их векторное произведение можно найти через формулу вычисления через координаты со множителями [a,b]=.

Условие коллинеарности векторов в координатах ортонормированного базиса,благодаря формуле вычисл через координаты со множителями,можно записать так

14. Смешанным произведением 3 векторов a,b,c назыв число,кот получается при умножении векторного произведения cкалярно на , т.е. ( )= ( ). Cв-во: 1)(a,b,c)=0, тогда и только тогда,когда a,b и с компланарны.2)операции скалярного и векторного умножения в смешан произвед-и можно менять местами.([a,b],c)=(a,[b,c]).3)Круговая перестановка 3^х сомножителей смеш произв-я не меняет его значения.Перестановка же двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный.4) (α a₁+βa₂ , b,c)=α (a_1,b,c)+β(a₂,b,c).Если a,b,c некомпланарны,то тройка. Если a,b,c заданы своими координатами в ортонормированном базисе a(a₁,b₁,c₁),b(a₂,b₂,c₂),c(a₃,b₃,c₃),то смешан произв-е можно посчитать следующим образом: ( )=.

15. Линейное пространство назыв n-мерным, когда в нём существуют n-независ-х лин векторов,а любые n+1 векторов уже будут лин-о зависимыми.

Совокупность из n-линейнозавис-х векторов назыв базисом.

Переход от старого базиса к новому задается М перехода ( ). При чем коэф-ты разложения новых базисных векторов по старому базису явл столбцами данной матрицы. Тогда координаты любого вектора Х в старом базисе выраж-ся через его координаты в новом базисе по формуле: =А

Итог.Множество векторов с действительными компонентами,в кот определены операции сложение векторов и умнож-е вект на число,удовлетворяющее св-ам 1-8 назыв векторным пространством.

Замечание.Под a,b,c можно рассматривать не только векторы,но и эл-ты любой природы.В этом случае,соответствующее множество эл-ов назыв линейным пространством.

17. Общее ур-е прямой. Ах+Ву+С=0

Угол м/у прямыми означает найти угол м/у их норм-ми векторами:

18. Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = {x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а(l,m,n). Поэтому имеют место равенства:называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Ур-е прямой в отрезках: 1

Формула вычисл-я расстояния от точки с координа-и (x₀,y₀) до прямой Ax+By+C=0: d=

19. Ур-е прямой,проход ч/з 2 точки: .

Условие параллельности прямых:если l₁// l₂, то вектора тоже параллельны,т.е. линейнозависимы.Значит их координаты пропорциональны,т.е. ; Условие перпендикулярности прямых: если l₁﬩ l₂ то ,т.е. скалярное произведение=0

20. Линии 2 порядка:Окружность: (х-х₀)² +(y-y₀)²=R^{2 –} уравнение окруж-ти с центром (x₀,y₀) и радиусом R.

Эллипсом назыв множество точек на пл-ти сумма расстояний от которых до двух данных точек называемых фокусами есть величина постоянная большая чем расстояние м-у фокусами.Ур-е эллипса с большой и малой полуосью: +=1

21. Гиперболой назыв множество точек на пл-ти модуль разности расстояние от кот-х до 2^х данных точек назыв фокусами есть величина постоянная меньшая чем расстояние м-у фокусами.Каноническое ур-е гиперболы: - =1

Параболой назыв множ-во точек на пл-ти равноудал-х на данной прямой называемой директрисой, и от данной точки назыв-ой фокусом.Канонич-е ур-е П: y² =2px

23.Общее ур-е пл-ти:Ax+By+Cz+D=0.Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

24. Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Расстояние от любой точки М₀(x₀,y₀,z₀) до пл-ти Q: Ax+By+Cz+D=0 находится по формуле: d=

27.Угол м/у плоск-ми: