54) Корреляционная функция

Корреляционная функция — функциявремениили пространственныхкоординат, которая задаеткорреляциюв системах со случайными процессами.

Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X(t) и Y(t) определяется, как

,

где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.

Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной:

.

Аналогично, можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

.

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.

Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем больше промежутки времени т, так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями х будет обычно слабее.

Чем менее инерционен (более подвижен) объект наблюдения, тем быстрее убывает R (т) с увеличением т. Например, у самолета, как подвижной цели, связь между последующими и предыдущими положениями (при заданном т) будет тем меньше, чем он легче и маневреннее. Отсюда следует, что чем быстрее убывает корреляционная функция, тем более высокие частоты будут присутствовать в случайном процессе. На рис. 11.14 в качестве примера приведены две корреляционные функции и две соответствующие им реализации процесса при одинаковых среднеквадратичных значениях случайной величины. Второй процесс по сравнению с первым имеет более тонкую структуру, т. е. в нем присутствуют более высокие частоты.

Таким образом при известной корреляционной функции легко определяются следующие вероятностные характеристики;

а)             среднее значение (момент первого порядка)

б)            среднеквадратичное значение

второго порядка)

г) среднеквадратичное отклонение

Корреляционную функцию можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса при наличии достаточно длительной записи

48. Случайные величины и процессы

Случайный процесс обозначим случайной функцией , значения которой в любой заданный момент времени не могут быть точно предсказаны, т.е. являются случайными величинами. Определенный вид, принятый случайной функциейв результате опыта называетсяреализацией случайной функции или процесса.

рис.3рис.4

Под опытом или испытанием понимают однократное включение источника случайного процесса на определенное время с соответствующей записью сигнала.

В результате опыта, предусматривающего параллельную работу источников, получается множество реализаций.

Случайный процесс полностью характеризуется бесконечным множеством реализаций, образующих ансамбль.

Понятием ансамбля, состоящего из бесконечно большого или конечного, но достаточно большого числа реализаций, удобно пользоваться при установлении статических закономерностей, свойственных случайным процессам. Совокупность мгновенных значений случайного процесса, заданного ансамблем, в произвольный момент времени называют сечением случайного процесса.

Для фиксированного момента времени t₁ (рис.3) можно вычислить распределение вероятности Р_х случайной величины :при достаточно большомN

где n – число значений , удовлетворяющих условию

N – общее число реализаций .

Плотность вероятности случайной величины :Она является производной от функции. Оба выражения полностью статистически характеризуют значение случайной функциив заданный момент времениt₁ и выражают ее одномерный закон распределения. Если t₁ выбирать произвольно, то можно получить одномерный закон распределения в виде зависимости от времени или. Если при этом закон распределения зависит отt, то говорят о нестационарности случайного процесса, если не зависит, то процесс является стационарным. При этом выполняются равенства: . Наряду с вероятными характеристикамиислучайной величинымогут рассматриваться и ее числовые характеристики, или моменты случайной величины.

Момент первого порядка или среднее значение случайной величины:

по определению называется математическим ожиданием.

Момент второго порядка или среднее значение квадрата случайной величины:

это математическое ожидание квадрата случайной величины.

Если вычесть из случайной величины ее среднее значение, получим новую, так называемуюцентрированную случайную величину:,

математическое ожидание которой:

Момент второго порядка от центрированной величины (среднее значение квадрата ее) называется дисперсией:

Она характеризует мощность отклонений случайной величины от ее среднего значения, выделяемую на единичной нагрузке:

Так как отличается отна неслучайную величину, то законы распределенияиотличаются лишь смещением поx:

Для стационарного процесса величины от времени не зависят и являются постоянными величинами:

Для фиксированного значения математическое ожидание определяет центр группирования случайных величин этого сечения. Рассеивание значений случайных величин относительно центра группирования определяет дисперсия.