Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОТО (2 сем, мага) / БДЗ / БДЗ_ОТО_Епифанов
.pdf
позволяет найти симметрии метрического тензора вдоль направления~ξ. При этом, поскольку
тензор gikдиагональный, мы имеем систему из четырех уравнений
L
~
ξ
gii= ξ
−
∂ξ
∂x
s
gsi−
i
∂g
ii
s
s
∂x
∂ξ
∂x
s
gis= ξ
i
∂g
ii
s
− 2 ·
s
∂x
i
∂ξ
gii= 0, (i = 0, 1, 2, 3)
i
∂x
Рассмотрим случай i = 0:
0 = ξ
∂x
s
∂g
00
s
Здесь мы получим уравнение:
− 2 ·
∂ξ
∂x
0
g00= ξ
0
r
1
ξ
r
g
2
− 2 ·
∂
1
∂x
∂ξ
∂x
1 −
1
0
0
1 −
r
g
− 2 ·
r
r
g
r
∂ξ
∂x
0
1 −
0
r
g
r
(4.1)
Случай i = 1:
∂
0 = −ξ
1
∂x
1 −
1
Умножая на −1 −
r
g
r
2
r
g
r
−1
+ 2 ·
, получим
∂ξ
∂x
1
1 −
1
r
g
1
ξ
2
r
− 2 ·
−1
r
g
∂ξ
∂x
1
1
= −ξ
1 −
r
r
g
1
1 −
2
r
r
g
= 0 (4.2)
r
−2
r
g
+ 2 ·
r
∂ξ
∂x
1
1 −
1
r
g
r
−1
Сравнивая первое и второе уравнение, можно установить, что компоненты вектора ξiсвязаны как
∂ξ
∂x
1
1
=
0
∂ξ
, или же
0
∂x
∂ξ
∂ξ
1
0
=
∂x
∂x
1
= v
0
где v – скорость радиального движения. Отсюда следует, что первые две компоненты вектора ξ
описывают радиальное движение со скоростью v
∂ξ1= v∂ξ
0
=⇒ ∆ξ1= v∆ξ
0
Рассмотрим второе уравнение подробнее
r
g
1
ξ
= 2 ·
2
r
∂ξ
∂r
1
1 −
r
g
r
=⇒
rgdr
(r2− rrg)
= 2 ·
dξ
x
1
1
Интегрируя левую и правую части, получим
ln(r −rg) −ln(r)
rg·
r
g
= 2 ln ξ1+ lnα
−2
1
Отсюда компонента ξ1выражается через координату r как
r
r
ξ1= α
1
1 −
g
r
Рассмотрим теперь случай с i = 2:
∂
1
ξ
∂x
2
r
− 2 ·
1
2
∂ξ
r2= 2rξ1− 2 ·
2
∂x
∂ξ
∂x
2
r2= 0
2
i
Делим на 2r и получаем уравнение
ξ1− r
2
∂ξ
= 0 (4.3)
2
∂x
21
Теперь зная, что ξ1зависит только от x1, запишем из этого уравнения
r
1 −
r
g
r
· θ + α
2
α
1
r
dξ2=
1
ξ
2
dx
r
=⇒ ξ2=
Величина ξ2описывает симметрию при движении вдоль направления θ – вращение вокруг центра
в центрально симметричном поле. Вернемся к первому уравнению и поступим так же:
dξ0=
r
2r
g
1
ξ
1 −
2
−1
r
g
dx0=
r
α1r
2r
g
p
2
1
1 −rg/r
dt =⇒ ξ0=
2r
α1r
p
2
1 −rg/r
g
t + α
0
Наконец рассмотрим случай i = 3:
∂g
33
s
ξ
∂x
s
− 2 ·
∂ξ
∂x
3
g33=ξ
3
∂
1
+ ξ
1
∂x
= 2rξ1sin2θ + ξ2r2· 2sin θ cos θ −2 ·
∂
2
2
∂x
3
∂ξ
r2sin2θ = 0
3
∂x
r2sin2θ −2 ·
3
∂ξ
r2sin2θ =
3
∂x
(4.4)
Учитывая, что ξ1, ξ2не зависят от x3и, поделив выражение на 2r2sin2θ, получим
r
α
1
r
1 −
r
g
(1 + θ cot θ) + α2cot θϕ + α
r
3
dξ3=
1
ξ1+ ξ2cot θdx
r
3
=⇒ ξ3=
Компонента ξ3описывает симметрии вращения1вокруг оси ϕ – вращения в сферически-симметричной
системе вокруг центра.
4.3 Вычислить величину смещения перигелия орбит следующих (произволь-
ных) объектов Солнечной системы: двух планет земной группы, двух
планет-гигантов, двух астероидов.
Величина смещения перигелия объектов Солнечной системы дается выражением:
6πµ
δϕ =
где p = a(1 − e2) – параметр орбиты объекта, µ= GM≈ 1.327 × 10−7Гм3/с2– гравитационный параметр солнца, c ≈ 0.3 Гм/с – скорость света. Величины смещения перигелия некоторых
объектов приведены в таблице:
Объект a, Гм e p, Гм δϕ
Меркурий 57.91 0.2056 55.46 0.1034
Марс 227.94 0.0934 225.95 0.0254
Юпитер 778.57 0.0489 776.71 0.0074
Уран 2 875.04 0.0464 2 868.85 0.0020
Юнона 399.73 0.2554 373.66 0.0153
Психея 437.24 0.1367 429.07 0.0134
pc
2
00
00
00
00
00
00
1
Наверное...
22
4.4 Вычислить величину угла гравитационного отклонения луча света: для
звезды Бетельгейзе (расстояние принять равным радиусу звезды), для
экзопланеты HD 85512 b (расстояние принять равным радиусу планеты), для галактики Андромеда (расстояние принять равным половине
радиуса галактики), для скопления Волос Вероники (расстояние принять равным половине радиуса скопления).
Величина гравитационного отклонения луча света дается выражением:
δϕ = 2
R
r
g
m
=
4µ
Rmc
2
где µ = GM – гравитационный параметр массивного объекта, Rm– прицельный параметр. Величины угла гравитационного отклонения для предложенных объектов представлены в таблице:
Объект µ R
Бетельгейзе (15 ±5) ·µ
HD 85512 b (3.6 ±0.5)µ
Андромеда (1.5 ±0.5) ×1012µ≈
ск. Волос Вероники ≈ 7 × 1014µ
m
+116
⊕
764
≈ 1.3R
220
4
≈ 5 ×106, св. лет 18.029
R
−62
⊕
× 103, св. лет 3.512
δϕ
0.0343
0.0016
00
00
00
00
4.5 Получить выражения для перехода от системы отсчёта удалённого наблюдателя (системы отсчёта Шварцшильда) к сопутствующей системе
отсчёта.
4.6 Найти сечение σ = πρ2падения безмассовой частицы в черную дыру, где
ρ - максимальный прицельный параметр, при котором частица достигает
горизонта событий.
Предположим, что максимальный прицельный параметр будет определяться отклонением лу-
ча света на угол π. Тогда в выражении
δϕ = 2
r
g
ρ
полагаем δϕ = π и находим прицельный параметр
2r
ρ =
g
π
а сечение падения в черную дыру будет равно
2
σ = πρ2= π ·
4r
π
4
g
2
=
2
2
r
∼ r
g
π
g
4.7 Вывести выражение для метрики гравитационного поля не вращающейся заряженной чёрной дыры (метрику Рейснера-Нордстрема).
23
5 Космология. Космологические модели.
5.1 Показать, что при малых временах t ∼ 0 в моделях открытой и замкнутой Вселенной масштабный фактор зависит от времени также, как и в
модели плоской Вселенной.
Для модели открытой Вселенной κ = −1, состоящей из пылевидной материи, масштабный
фактор и зависимость времени от конформного времени даются выражениями
a(η) =
a
0
(cosh η − 1), t(η) =
2
a
0
(sinh η − η)
2c
Раскладывая в ряд при η → 0, получим
a(η) =
t(η) =
a
a
2c
0
2
0
1 +
η +
2
η
+ .. .− 1!=
2
3
η
+ .. .− η!=
6
a
0
η2+ O(η4) ≈
4
a
0
η3+ O(η5) ≈
12c
a
0
4
12c
2
η
a
0
3
η
Отсюда видно, что при малых η, масштабный фактор зависит от времени аналогично модели
плоской вселенной:
a(t) ∼ t
2/3
Для случая замкнутой Вселенной κ = 1 поступаем аналогично. Масштабный фактор и время
определяются:
a(η) =
a
0
(1 −cos η) , t(η) =
2
a
0
(η −sin η)
2c
а разложение в ряд в окрестности η ∼ 0 дает такое же поведение:
a(η) =
t(η) =
a
a
2c
0
2
0
1 −1 −
η −η −
η
η
2
2
6
+ .. .
3
+ .. .
!
!
a
0
=
η2+ O(η4) ≈
4
a
0
=
12c
η3+ O(η5) ≈
a
0
4
12c
2
η
a
0
3
η
Отсюда, соответственно:
a(t) ∼ t
В ультрарелятивистском случае a(η) и t(η) имеют вид
κ = −1 : a(η) =√a0sinh η, t(η) =
κ = +1 : a(η) =√a0sin η, t(η) =
и при разложении в ряд в η ∼ 0 получим:
κ = ±1 : a(η) ≈√a0η, t(η) ≈
тогда масштабный фактор:
a(t) ∼ t
24
2/3
1/2
√
a
0
(cosh η − 1)
c
√
a
0
(cos η − 1)
c
√
a
0
η
2c
2
5.2 Получить зависимость от времени масштабного фактора в моделях открытой и замкнутой радиационно-доминантной Вселенной. Определить
конформное время достижения максимального размера Вселенной в модели замкнутой Вселенной для ультрарелятивистского уравнения состояния.
В радиационно-доминантной Вселенной первое уравнение Фридмана записывается в виде
a0=pa0− κa
2
В модели открытой вселенной κ = 1, тогда
a0=pa0+ a
2
Это дифференциальное уравнение решается разделением переменных:
√
a0+ a
da
2
= dη
=⇒ sinh
−1
√
a
= η
a
0
откуда получаем зависимость масштабного фактора от конформного времени
a(η) =√a0sinh η
Закон изменения плотности будет, соответственно, иметь вид
ρ ∼ ε ∼
1
4
a
∼
1
sinh4η
Явную связь времени и конформного времени найдем в соответствии с определением
t(η) =
Z
1
c
η
a(η) dη =
0
√
Z
η
a
0
c
sinh η dη =
0
√
a
c
0
cosh η
√
η
a
=
0
(cosh η − 1)
c
0
Для случая закрытой Вселенной κ = 1, уравнение Фридмана принимает вид
a0=pa0− a
2
Решение этого уравнения аналогично случаю открытой Вселенной.
t(η) =
Z
1
c
√
η
a(η) dη =
0
da
a0− a
2
= dη
=⇒ sin
a(η) =√a0sin η, ρ ∼ ε ∼
Z
√
η
a
0
c
sin η dη = −
0
√
−1
1
4
a
a
0
c
a
√
a
∼
cos η
0
1
sin4η
η
0
= η
=
√
a
0
c
(1 −cos η)
В этой модели существует некоторый максимальный размер Вселенной; конформное время
его достижения ηmможно найти из
0 =
d
dη
a(η)
η=η
m
Произведем дифференцирование и подставим значение ηm:
0 =√a0cos η
Решение этого уравнения имеет вид ηm(n) =
π(2n + 1)
m
. Полагая, что масштабный фактор Все-
2
ленной не имеет периодичности, получим, что ηm= π/2.
25
5.3 Путём варьирования действия (для стадии инфляции) по скалярному
полю получить уравнение для скалярного поля.
5.4 Предложить свой сценарий инфляции (выбор потенциала поля инфлантона), для которого рассмотреть условия применимости и определить
количество e-фолдов и время от начала до окончания стадии.
26
6 Нерешённые проблемы ОТО и космологии.
6.1 Выписать вид метрики ППН-формализма Эддингтона-Робертсона-Шиффа
для Солнечной системы и сравнить её с метрикой, полученной в ОТО.
27
Соседние файлы в папке БДЗ