Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ОТО (2 сем, мага) / БДЗ / Задания
.pdf
БДЗ по курсу ’Общая Теория Относительности’
НИЯУ МИФИ, весенний семестр 2022 г.
Решения задач БДЗ необходимо отправлять на почту aepifanov.inbox@gmail.com. Файлы с ре-
шениями должны быть в формате pdf ; название файла должно содержать вашу фамилию.
1 Введение. Специальная теория относительности. Тен-
зоры.
Срок сдачи: 24.04.2022 23:59
1.1 Используя подход, рассмотренный на лекции (задача о «замедлении хода
часов»), вывести:
1.1.1 Уравнение для сокращения длины стержня, движущегося для наблюдателя;
1.1.2 Уравнение для периода колебания электромагнитной волны в случае продоль-
ного эффекта Доплера (источник светового сигнала приближается и удаляется
от наблюдателя);
1.1.3 Уравнение для аберрации света;
1.1.4 Уравнение, иллюстрирующее эффект увлечения света движущейся средой с
неединичным коэффициентом преломления.
1.2 Показать справедливость калибровочного (градиентного) преобразования 4-х потенциала A
0
= Aµ+ f,µ(неизменность тензора электромагнит-
µ
ного поля).
1.3 Найти выражения для инвариантов электромагнитного поля, построенных из свёрток тензора электромагнитного поля:
Примечание: Тензор ЭМ поля имеет вид
Fµν=
0 E
−E
−EyB
−Ez−ByB
x
0 −BzB
x
z
E
y
0 −B
x
E
z
y
0
, Fµν=
x
0 −Ex−Ey−E
E
EyB
Ez−ByB
0 −BzB
x
z
0 −B
x
z
y
x
0
1
1.3.1 Свертка ковариантного и контравариантного тензоров.
1.3.2 Свертка дуально сопряжённого ковариантного и контравариантного тензоров.
1.4 Вывести преобразования Лоренца для электрического и магнитного векторов, используя известные преобразования Лоренца для координат и
определение тензора электромагнитного поля. Представить преобразо-
0
вания в виде лоренцевских бустов Λ
µ
и записать вид матрицы Λ
µ
1.5 Провести вариационный вывод динамических уравнений Максвелла.
0
µ
.
µ
1
1.6 Провести доказательства:
1.6.1 Всех рассмотренных на лекции действий с тензорами на примере смешанного
тензора 2-го ранга (сложение, свертка, умножение);
1.6.2 Того, что внутреннее произведение двух тензоров первого ранга – это скаляр-
ное произведение векторов и инвариант.
2 Начала классической теории гравитации
Срок сдачи: 10.05.2022 23:59
2.1 Пусть на плоскости в декартовых координатах коэффициенты связности
равны нулю. Определить коэффициенты связности в полярных координатах.
2.2 Показать, что ковариантная производная от символа Кронекера равна
нулю.
2.3 Определить производную Ли от контравариантного тензорного поля второго ранга.
2.4 Для тензора кривизны и ковариантного тензора кривизны доказать:
Примечание: Тензор кривизны записывается в виде
i
∂Γ
=
∂x
qk
j
R
i
qjk
А ковариантный тензор кривизны можно получить опусканием индекса
R
2.4.1 Их антисимметрию по перестановке второй пары индексов;
R
2.4.2 Их антисимметрию по перестановке первой пары индексов;
−
lqjk
lqjk
i
∂Γ
qj
k
∂x
= gilR
= −R
+ Γ
i
lj
i
qjk
lqkj
l
i
Γ
− Γ
qk
l
Γ
qj
lk
1
см. Ландау ”Теория Поля“.
R
lqjk
= −R
2
qljk
2.4.3 Тождество Риччи;
i
R
qjk
2.4.4 Их симметрию по перестановке пар индексов;
2.4.5 Тождество Бьянки.
∇lR
iqjk
+ R
R
lqjk
+ ∇kR
i
kqj
+ R
= R
iqlj
i
jkq
jklq
+ ∇jR
= 0
iqkl
= 0
2.5 Вывести уравнение, связывающее упрощённые символы Кристоффеля с
определителем метрического тензора
2.6 Доказать утверждение теоремы Шура для пространства ОТО о постоянстве кривизны во всех его точках (используя тождество Бианки, ковариантное постоянство метрического тензора и связь тензора кривизны с
римановой кривизной).
2.7 Получить выражения, связывающие тензор Риччи и скалярную кривизну с римановой кривизной.
2.8 Определить количество независимых компонент тензора кривизны Римана в n-мерном пространстве (n ∈ N ). При решении использовать результаты задачи 2.4.
2.9 Определить тензор кривизны Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну для поверхности 2-сферы (S2) в трехмерном пространстве. Учесть
результаты задачи 2.8.
3
3 Уравнения и эффекты общей теории относительности.
Частицы в гравитационном поле. Уравнения гравитационного поля. Гравитационные волны.
Срок сдачи: 17.05.2022 23:59
3.1 Определить элемент пространственного расстояния в системе координат,
вращающейся с постоянной циклической скоростью ω.
3.2 Определить силу, действующую на релятивистскую частицу в постоянном гравитационном поле.
3.3
3.3.1 Получить вид оператора Д’Аламбера в криволинейных координатах.
3.3.2 Используя волновое уравнение в криволинейных координатах, вывести урав-
нение для эйконала электромагнитной волны, меняющей направление распространения (предположить большую величину производных ∂ψ/∂xi).
3.4
3.4.1 Оценить величину гравитационного красного смещения для фотонов, реги-
стрируемых на Земле и образующихся в источнике, который расположен в
центре Галактики (точное расстояние от центра выбрать по своему усмотрению). Ответ представить в эВ и в относительных единицах. Привести пример
значимости эффекта для наблюдательных данных.
3.4.2 Сравнить временной ход часов на двух идентичных планетах, вращающихся
на расстоянии 1 а.е.: от звёзды с массой, равной солнечной, и от чёрной дыры с
массой в миллион солнечных. Влиянием приливных сил и вращением объектов
в данной задаче пренебречь.
3.5 Получить выражения для символов Кристоффеля второго рода из условия минимума вариации действия гравитационного поля по связностям
(в методе Палатини).
3.6 Из условий энергодоминантности установить ограничения на компоненты тензора энергии-импульса идеальной сплошной среды (плотности энергии и давления).
3.7 Получить выражение для возмущения метрики в линейном приближении при наложении гармонической калибровки gqjΓ
l
qj
= 0.
3.8 Получить дисперсионное уравнение для гравитационных волн.
3.9 Вывести систему уравнений для тензора поляризации гравитационной
волны (4 из условия калибровки и 4 из условия преобразования координат ξi).
4
4 Уравнения и эффекты общей теории относительности.
Центрально-симметричное гравитационное поле. Физика чёрных дыр. Кротовые норы.
Срок сдачи: 24.05.2022 23:59
4.1
4.1.1 Для центрально-симметричного статического поля вычислить все ненулевые
компоненты для символов Кристоффеля.
4.1.2 Для центрально-симметричного статического поля вычислить все ненулевые
компоненты для тензора Риччи.
4.1.3 Получить систему уравнений К. Шварцшильда с ненулевым тензором энергии-
импульса.
4.2 Найти симметрии метрического тензора, описывающего статическое центральносимметричное гравитационное поле. Каков их физический смысл?
4.3 Вычислить величину смещения перигелия орбит следующих (произвольных) объектов Солнечной системы: двух планет земной группы, двух
планет-гигантов, двух астероидов. Сравнить полученные значения с экспериментально измеренными величинами.
4.4 Вычислить величину угла гравитационного отклонения луча света: для
звезды Бетельгейзе (расстояние принять равным радиусу звезды), для
экзопланеты HD 85512 b (расстояние принять равным радиусу планеты), для галактики Андромеда (расстояние принять равным половине
радиуса галактики), для скопления Волос Вероники (расстояние принять равным половине радиуса скопления).
4.5 Получить выражения для перехода от системы отсчёта удалённого наблюдателя (системы отсчёта Шварцшильда) к сопутствующей системе
отсчёта.
4.6 Найти сечение σ = πρ2падения безмассовой частицы в черную дыру, где
ρ - максимальный прицельный параметр, при котором частица достигает
горизонта событий.
4.7 [По желанию] Вывести выражение для метрики гравитационного поля не
вращающейся заряженной чёрной дыры (метрику Рейснера-Нордстрема).
5
5 Космология. Космологические модели.
Срок сдачи: 24.05.2022 23:59
5.1 Показать, что при малых временах t ∼ 0 в моделях открытой и замкнутой Вселенной масштабный фактор зависит от времени также, как и в
модели плоской Вселенной.
5.2 Получить зависимость от времени масштабного фактора в моделях открытой и замкнутой радиационно-доминантной Вселенной. Определить
конформное время достижения максимального размера Вселенной в модели замкнутой Вселенной для ультрарелятивистского уравнения состояния.
5.3 Путём варьирования действия (для стадии инфляции) по скалярному
полю получить уравнение для скалярного поля.
5.4 Предложить свой сценарий инфляции (выбор потенциала поля инфлантона), для которого рассмотреть условия применимости и определить
количество e-фолдов и время от начала до окончания стадии.
6 Нерешённые проблемы ОТО и космологии.
Срок сдачи: 24.05.2022 23:59
6.1 Выписать вид метрики ППН-формализма Эддингтона-Робертсона-Шиффа
для Солнечной системы и сравнить её с метрикой, полученной в ОТО.
6
Соседние файлы в папке БДЗ