Ядерная физика Архангельская (1 сем, мага) / Лабы / Лабораторная работа №1

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Кафедра ядерной физики и космофизики (№7)

Отчет по лабораторной работе №1

«Распределения вероятностей случайных величин, наблюдаемых в ядерно-физических исследованиях, и оценка их параметров»

Выполнил:

студент группы M22-105

Васильева А. П.

Москва, 2022

Цель работы: знакомство с методами математической статистики, используемыми при анализе измерений потоков частиц.

Введение

Зависимость вероятности наблюдения от его значения называется статистическим распределением величины . Если закон распределения априори не известен, он должен быть определен экспериментально.

Пусть проведено измерений некоторой величины . В результате получен ряд значений . При этом из измерений зарегистрирована раз. Величину называют весом , а – объемом выборки. Если диапазон разбивается на ячейки (бины) размером , то равно суммарному числу результатов наблюдений, попавших в интервал . Величина , деленная на , дает вероятность реализации и называется плотностью распределения.

Статистические распределения характеризуются параметрами, которые могут быть получены из соответствующих моментов экспериментального распределения. Например, центральный момент порядка определяется из соотношения

(1)

где – число точек по шкале ; – среднее x по объему выборки (называют «выборочное среднее»).

Наиболее важные параметры статистических распределений:

1. Среднее из серии (выборки) измерений величины :

(2)

2. Дисперсия выборки :

(3)

Дисперсия конечной выборки при стремится к истинной дисперсии , которая связана с соотношением Величину называют стандартным отклонением. Она служит мерой разброса измерений относительно среднего.

3. Дисперсия выборочного среднего и погрешность среднего квадратичного отклонения :

(4)

(5)

4. Асимметрия распределения:

(6)

Распределение Пуассона описывает процессы, в которых случайная величина может принимать целые положительные значения, и события, относящиеся к не перекрывающимся (пространственным или временным) интервалам, статистически независимы. Распределение определяется заданием только одного параметра – среднего . Вероятность наблюдения событий при среднем составляет

(7)

при этом Для распределения Пуассона .

Распределение Гаусса или нормальное распределение описывает статистические процессы, в которых эффект обусловлен множеством малых независимых вкладов, носящих случайный характер. Параметрами распределения являются среднее значение и среднее квадратичное отклонение . Функция плотности вероятности для распределения Гаусса имеет вид:

(8)

Для нормального распределения

Результаты работы

С помощью пакета объектно-ориентированных программ и библиотек ROOT построены распределения Гаусса (рис. 1а) и Пуассона (рис. 1б) и вычислены их параметры:

1. среднее значение распределения ;

2. стандартное отклонение

3. погрешность стандартного отклонения

4. коэффициент ассиметрии .

П

(б)

(а)

араметр распределений рассчитан по формуле (4), а его погрешность:

(9)

Рисунок 1. Распределения Гаусса (а) и Пуассона (б)

Параметры распределения Гаусса (объем выборки ):

1. 

2. 

3. 

;

4. 

У нормального распределения коэффициент ассиметрии . Следовательно, рассчитанное значение согласуется с теорией.

Параметры распределения Пауссона (объем выборки ):

1. 

2. 

3. 

;

4. 

Рассчитанное значение коэффициента ассиметрии , как и должно быть для распределения Пуассона.

На графики экспериментальных гистограмм нанесены теоретические распределения Гаусса (рис. 1а) и Пуассона (рис. 1б). С помощью пакета ROOT определены параметры Пирсона для обоих распределений (табл. 1).

Таблица 1. Параметры Пирсона для распределений

Распределение	Гаусс	Пуассон
Число степеней свободы	10	8
	8.258	13.96
( )	18.307	15.507

Для обоих распределений полученные значения хи-квадрата не превышают критические при уровне значимости .

Для обоих распределений вычислены вероятности попадания результата измерения в интервалы: (табл. 2).

Таблица 2. Вероятности попадания событий в заданные интервалы

	72.5%	97.4%	100%	100%

Экспериментальные значения, полученные для распределения Гаусса, совпадают с табличными значениями вероятностей для нормального распределения.

Заключение

В лабораторной работе освоены методы математической статистики, используемые при анализе измерений потоков частиц.

На основе экспериментальных данных построены распределения Гаусса (рис. 1а) и Пуассона (рис. 1б), вычислены их параметры.

Параметры распределения Гаусса:

Параметры распределения Пуассона:

У распределения Гаусса рассчитанный коэффициент ассиметрии равен нулю, а у распределения Пуассона – больше нуля. Полученные для обоих распределений значения согласуются с теорией.

На экспериментальные гистограммы нанесены теоретические распределения Гаусса (рис. 1а) и Пуассона (рис. 1б) и вычислены параметры Пирсона:

• распределение Гаусса – ;

• распределение Пуассона – .

Для обоих распределений полученные значения не превышают критические при уровне значимости .

Для обоих распределений вычислены экспериментальные значения вероятности попадания результата измерения в интервалы: . С табличными вероятностями для нормального распределения совпадают значения, полученные для распределения Гаусса.