Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ядерная физика Архангельская (1 сем, мага) / Лабы / Лабораторная работа №1
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Кафедра ядерной физики и космофизики (№7)
Отчет по лабораторной работе №1
«Распределения вероятностей случайных величин, наблюдаемых в ядерно-физических
исследованиях, и оценка их параметров»
Выполнил:
студент группы M22-105
Васильева А. П.
Москва, 2022
Цель работы: знакомство с методами математической статистики, используемыми при анализе
измерений потоков частиц.
Введение
Зависимость вероятности наблюдения
от его значения называется статистическим
распределением величины . Если закон распределения априори не известен, он должен быть
определен экспериментально.
Пусть проведено измерений некоторой величины . В результате получен ряд значений
. При
этом из измерений зарегистрирована раз. Величину называют весом , а –
объемом выборки. Если диапазон разбивается на ячейки (бины) размером , то равно
суммарному числу результатов наблюдений, попавших в интервал . Величина ,
деленная на , дает вероятность реализации
и называется плотностью распределения.
Статистические распределения характеризуются параметрами, которые могут быть получены из
соответствующих моментов экспериментального распределения. Например, центральный момент
порядка определяется из соотношения
(1)
где – число точек по шкале ; – среднее x по объему выборки (называют «выборочное
среднее»).
Наиболее важные параметры статистических распределений:
1. Среднее из серии (выборки) измерений величины :
(2)
2. Дисперсия выборки :
(3)
Дисперсия конечной выборки при стремится к истинной дисперсии, которая связана
с соотношением
Величину называют стандартным отклонением.
Она служит мерой разброса измерений относительно среднего.
3. Дисперсия выборочного среднего и погрешность среднего квадратичного отклонения
:
(4)
(5)
4. Асимметрия распределения:
(6)
Распределение Пуассона описывает процессы, в которых случайная величина может принимать
целые положительные значения, и события, относящиеся к не перекрывающимся
(пространственным или временным) интервалам, статистически независимы. Распределение
определяется заданием только одного параметра – среднего . Вероятность наблюдения
событий при среднем составляет
(7)
при этом
Для распределения Пуассона .
Распределение Гаусса или нормальное распределение описывает статистические процессы, в
которых эффект обусловлен множеством малых независимых вкладов, носящих случайный
характер. Параметрами распределения являются среднее значение и среднее квадратичное
отклонение . Функция плотности вероятности для распределения Гаусса имеет вид:
(8)
Для нормального распределения
Результаты работы
С помощью пакета объектно-ориентированных программ и библиотек ROOT построены
распределения Гаусса (рис. 1а) и Пуассона (рис. 1б) и вычислены их параметры:
1) среднее значение распределения ;
2) стандартное отклонение
3) погрешность стандартного отклонения
4) коэффициент ассиметрии
.
Параметр распределений
рассчитан по формуле (4), а его погрешность:
(9)
Рисунок 1. Распределения Гаусса (а) и Пуассона (б)
(а)
(б)
Параметры распределения Гаусса (объем выборки ):
1)
2)
3)
;
4)
У нормального распределения коэффициент ассиметрии . Следовательно, рассчитанное
значение
согласуется с теорией.
Параметры распределения Пауссона (объем выборки ):
1)
2)
3)
;
4)
Рассчитанное значение коэффициента ассиметрии , как и должно быть для распределения
Пуассона.
На графики экспериментальных гистограмм нанесены теоретические распределения Гаусса
(рис. 1а) и Пуассона (рис. 1б). С помощью пакета ROOT определены параметры Пирсона для
обоих распределений (табл. 1).
Таблица 1. Параметры Пирсона для распределений
Распределение
Гаусс
Пуассон
Число степеней свободы
10
8
8.258
13.96
()
18.307
15.507
Для обоих распределений полученные значения хи-квадрата не превышают критические при
уровне значимости .
Для обоих распределений вычислены вероятности попадания результата измерения в интервалы:
(табл. 2).
Таблица 2. Вероятности попадания событий в заданные интервалы
72.5%
97.4%
100%
100%
Экспериментальные значения, полученные для распределения Гаусса, совпадают с табличными
значениями вероятностей для нормального распределения.
Заключение
В лабораторной работе освоены методы математической статистики, используемые при анализе
измерений потоков частиц.
На основе экспериментальных данных построены распределения Гаусса (рис. 1а) и Пуассона
(рис. 1б), вычислены их параметры.
Параметры распределения Гаусса:
•
•
•
•
Параметры распределения Пуассона:
•
•
•
•
У распределения Гаусса рассчитанный коэффициент ассиметрии равен нулю, а у распределения
Пуассона – больше нуля. Полученные для обоих распределений значения согласуются с теорией.
На экспериментальные гистограммы нанесены теоретические распределения Гаусса (рис. 1а) и
Пуассона (рис. 1б) и вычислены параметры Пирсона:
• распределение Гаусса – ;
• распределение Пуассона – .
Для обоих распределений полученные значения
не превышают критические при уровне
значимости .
Для обоих распределений вычислены экспериментальные значения вероятности попадания
результата измерения в интервалы: . С табличными вероятностями
для нормального распределения совпадают значения, полученные для распределения Гаусса.
Соседние файлы в папке Лабы