Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Шпора
.pdf
Уравнение Клейна-Гордона: (
2
/t2-2+m2)(x)=0
Уравнение Клейна-Гордона в ковариантной форме: (
2+m2
)(x)=0
Уравнение не содержит спиновых операторов, т. е. оно описывает бесспиновые частицы с массой m. Поскольку
полевая функция является скалярной функцией, говорят: уравнение Клейна –Гордона описывает скалярные
частицы (например, мезоны со спином S=0).
Ток уравнения Клейна – Гордона: j=i(*-*).
Уравнение непрерывности: j=0 /t+divj=0, где =i[*(/t)-(/t)*]; j=-i[*-*]
Уравнение Клейна – Гордона имеет два типа фундаментальных решений:
p
(+)
(x)=(1/2E)
1/2
exp{-i(px)} – положительно-частотное решение, отвечающее частицам
p
(-)
(x)=(1/2E)
1/2
exp{i(px)} –отрицательно-частотное решение, отвечающее античастицам
Общий вид уравнения первого порядка по времени и координатам:
(/t+1/x+2/y+3/z+im)(x)=0 или более кратко: (/t++im)(x)=0
i =0 i , =I 0, 1=I 0
i 0 0-I 0 I
Дираковский гамильтониан имеет вид: HD=(-i)+m
Введем новые четырехрядные матрицы: 0 и =. Образуем 4-матричный вектор (0,).
Уравнение Дирака в ковариантной форме: [i
-m](x)=0
-матрицы Дирака подчиняются антикоммутационному соотношению:
+
=2g1
Уравнение непрерывности: () + ()=0 или в компактной форме j=0
Ток уравнения Дирака: j
=
Плотность вероятности, нулевая компонента 4-вектора тока: j0 =0=+=||20
Гамильтониан уравнения Дирака не коммутирует с оператором момента количества движения L, но
коммутирует с суммарным оператором момента J=L+S, где S –оператор спина ½.
Алгебраические уравнения для u(p) и u(p): (p
- m)u(p)=0 и u(p)(p - m)=0
Алгебраические уравнения для v(p) и v(p): (p
+ m)v(p)=0 иv(p)(p + m)=0
u(p) = (E+m)
1/2
w v(p) = (E-m)
1/2
(n)w`
(E-m)
1/2
(n)w (E+m)
1/2
w`
Уравнение Дирака для свободных частиц имеет два типа фундаментальных решений:
p
(+)
(x) = (1/2E)
1/2 u
(p)exp(-ipx) – положительно-частотное решение, описывающее частицы.
p
(-)
(x) = (1/2E)
1/2v
(p)exp(ipx) – отрицательно-частотное решение, описывающее античастицы.
Проекционный оператор: P+= u(p)u(p) = p + m и P-= v(p)v(p) = p - m
uL = (1/2)(1+5)u – левый биспинор, описывающий частицы.
uR = (1/2)(1-5)u – правый биспинор, описывающий частицы.
vL = (1/2)(1-5)v - левый биспинор, описывающий античастицы.
vR = (1/2)(1+5)v - правый биспинор, описывающий античастицы.
Полевые функции фотона: A(x) =
()
exp(-ikx)/(2)
1/2
и A*(x) =
()
*exp(ikx)/(2)
1/2
Лагранжиан для свободного заряженного скалярного поля (Кл.-Г. частиц): L
0(скал)
= * - m2*
Лагранжиан для свободного заряженного спинорного (дираковского) поля: L
0(спинор)
= i - m
Лагранжиан электромагнитного поля: L
э-м
= -(1/4)FF
Глобальная калибровочная инвариантность: (x) → exp(ie)(x) или (x) → exp(ie)(x)
Локальное калибровочное преобразование: → exp(ie(x)), → exp(-ie(x))
Чтобы сделать лагранжианы и вместе с ними интеграл действия инвариантными относительно локального
калибровочного преобразования, надо их “поправить” – для этого введем 4-вектор A(x) (поскольку добавка
представляет 4-вектор), который при локальном калибровочном преобразовании полей одновременно
преобразуется по закону: A(x) → A(x) - (x). Введем так называемую ковариантную (или, проще, “длинную”)
производную D: D = ( + ieA(x)) и заменим всюду в лагранжианах → D
.
Лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (КЭД):
L
int
= e(x)(x)A(x) ej(x)A(x)
Полный лагранжиан заряженных дираковских частиц состоит из трех слагаемых: лагранжиана свободных
заряженных спинорных частиц L
0спин
+ лагранжиан электромагнитного поля L
э-м
+ лагранжиан взаимодействия
дираковских частиц с электромагнитным полем L
int
:
L = [i(x)(x) - m(x)(x)] + [-1/4FF] + [e(x)(x)A(x)]
Для скалярных заряженных частиц, подчиняющихся уравнению Клейна – Гордона, лагранжиан с учетом
взаимодействия имеет вид: L = D**D - m2*,
где лагранжиан взаимодействия скалярных частиц с электромагнитным полем
L
int
= ei[(*(x))(x) - *(x)((x))]A(x)+ e2*(x)(x)A(x)A(x)
Причинная функция Грина: G(x2,x1) = nn(x2)n*(x1)(t2-t1)
Дифференциальное уравнение для причинной функции Грина: (i/t2 – Ĥ(x2))G(x2, x1) = i
(4)
(x2-x1)
Интегральное уравнение для причинной функции Грина: G(x2, x1) = G0(x2-x1) + d4x3 G0(x2-x3)(-iV(x3))G(x3, x1)
Ряд теории возмущений по потенциалу: G(x2, x1) =
k=0
G(k)
(x2, x1)
S-матрица преобразует начальное состояние квантово-механической или квантово-полевой системы в
отдаленном прошлом (t→-)
нач
в конечное состояние в отдаленном будущем (t→)
кон
: S
кон
=
нач
S-матрица унитарна S+S=SS+ =1
Общее определение элемента S-матрицы: S
fi
= d3x2 f*(x2)i(x2) = (lim
t1→-
)(lim
t2→
)d3x2d3x1 f*(x2)G(x2, x1)i(x1)
Инвариантная амплитуда (или амплитуда рассеяния) T
fi
: S
fi
= fi + iT
fi
Правило получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений
Для получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений необходимо найти из
интегрального уравнения для функции Грина (16) функцию Грина в n-ном порядке теории возмущений,
заменив в полученном выражении функции Грина свободных частиц, стоящие в начале и конце выражения
для G
(n)
, соответственно волновыми (полевыми) функциями начального
нач
и конечного *
кон
состояний.
Функцию Грина для спинорных частиц принято обозначать S(x2, x1):
S(x2, x1) = n
n
(+)
(x2)
n
(+)
(x1) при t2>t1,
S(x2, x1) = -n
n
(-)
(x2)
n
(-)
(x1) при t2<t1.
Дифференциальное уравнение для функции Грина дираковских частиц: (i2 - eÂ(x2) – m) S(x2, x1) = i
(4)
(x2-x1)
Для функции Грина свободных частиц S0(x2-x1) дифф. уравнение: (i2 - m) S0(x2-x1) = i
(4)
(x2-x1)
Интегр. уравнение для функции Грина дираковских частиц: S(x2, x1) = S0(x2, x1) + d4x3 S0(x2, x3)(-ieÂ(x3))S(x3, x1)
Функция Грина свободной дираковской частицы (пропагатор) в импульсном представлении:
(с учетом доопределения Фейнмана) S0(p) = -(p+m)/(p2-m2+i)
Пропагатор фотона (его обозначают D(k)) в импульсном представлении имеет вид: D(k) = g/(k2+i)
d/d2 = [Z22/4p
0
2
v
0
2
] (1-v
0
2
sin2/2)/sin4/2 Формула Мотта
Перенормировки
Первая проблема. Возникает фундаментальная задача о выяснении связи между массой и зарядом “голого”
электрона и массой и зарядом реального физического электрона mR и eR (буква R означает Renormalization –
перенормировка). Если в принципе это возможно проделать, то мы найдем соотношение вида: e=e(eR) и
m=m(eR, mR) И с их помощью исключим параметры e и m, выразив их через наблюдаемые mR и eR.
Такое исключение нефизических параметров с помощью введения наблюдаемых величин называется
перенормировкой и является составной частью любой квантово-полевой теории.
Вторая проблема возникает в связи с появлением расходящихся интегралов в высших порядках теории
возмущений.
Однако ясно, что даже при отсутствии бесконечностей в теории, ее необходимо перенормировать.
Происхождение перенормировки связано с тем, что состояния системы описываются с помощью
невозмущенных “голых” волновых (полевых) функций, хотя в реальном физическом мире мы никогда не
можем выключить взаимодействие между полями. Единственное требование, налагаемое на физически
разумную теорию, заключается в том, чтобы S-матрица после перенормировки была конечной.
Степень расходимости диаграмм Фейнмана КЭД (𝐃 = 𝟒 –
𝟑𝐅
𝐞
𝟐
− 𝐁𝐞) не зависит от числа вершин, т. е. от
порядка теории возмущений, а определяется только числом внешних линий диаграммы. Это позволяет
предположить, что степень расходимости не увеличивается с ростом порядка теории возмущений. Именно это
обстоятельство является необходимым условием перенормируемости квантово-полевой теории.
Уравнение Дайсона: D = D0 + D0ПD
Точную функция Грина фотона: D(k) = 1/[k
2
+i - П(k)] = [1/(k2+i)][1/(1 – П(k)/k2]
Способ устранения бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражениям наперед заданных
значений, установленных физическими требованиями. Об этой процедуре говорят как о перенормировке
соответствующих величин.
Квантово-полевой процесс, “ответственный” за перенормировку заряда – это рождение виртуальными
фотонами короткоживущих состояний, пар заряженных частиц e+e-. То есть перенормировку заряда генерирует
поляризационный оператор П(k).
Точная перенормировка заряда в КЭД
R = e
R
2
/4 = /[1 + (/3)ln(L2/m2)] - точная перенормировка заряда (10)
Z3= 1/[1 + (/3)ln(L2/m2)] - константа перенормировки заряда
Внешние фотонные линии не перенормируются, они не дают вклада в перенормировку заряда.
Эта совершенно уникальная формула “рассказывает” нам, по какому закону с энергией меняется константа
связи КЭД. Константа связи уже не является постоянной – ее называют бегущей (или эффективной) константой
связи КЭД: (k
2
) = R/[1 – (R/3)ln|-k2/m2|]
Из формулы для константы связи можно получить ограничения на пределы применимости КЭД. Заметим
прежде всего, что знаменатель соотношения обращается в нуль, т. е. имеет полюс при (R/3)ln|-k2/m2| = 1.
Это так называемая сингулярность или полюс Ландау. Нет никаких физических причин, по которым (k2)
должна обращаться в бесконечность при каком-либо k2, а, следовательно, полюс Ландау никогда не
достигается. Из этого критерия следуют ограничения на предельные импульсы и параметры обрезания в КЭД.
(R/3)ln|k
2
max
/m2| < 1 или k
max
~ L mexp(3/2R) m10
280
.
Соседние файлы в папке Экзамен