Релятивистская квантовая механика / Экзамен / Шпора

Уравнение Клейна-Гордона: (2/t2-2+m2)(x)=0 Уравнение Клейна-Гордона в ковариантной форме: (2+m2)(x)=0

Уравнение не содержит спиновых операторов, т. е. оно описывает бесспиновые частицы с массой m. Поскольку полевая функция  является скалярной функцией, говорят: уравнение Клейна –Гордона описывает скалярные частицы (например, мезоны со спином S=0).

Ток уравнения Клейна – Гордона: j_=i(*_-_*).

Уравнение непрерывности: _j_=0 /t+divj=0, где =i[*(/t)-(/t)*]; j=-i[*-*]

Уравнение Клейна – Гордона имеет два типа фундаментальных решений:

_p⁽⁺⁾(x)=(1/2E)^1/2exp{-i(px)} – положительно-частотное решение, отвечающее частицам

_p^(-)(x)=(1/2E)^1/2exp{i(px)} –отрицательно-частотное решение, отвечающее античастицам

Общий вид уравнения первого порядка по времени и координатам:

(/t+₁/x+₂/y+₃/z+im)(x)=0 или более кратко: (/t++im)(x)=0

_i =0 _i , =I 0, 1=I 0

_i 0 0-I 0 I

Дираковский гамильтониан имеет вид: H_D=(-i)+m

Введем новые четырехрядные матрицы: ₀ и =. Образуем 4-матричный вектор _(₀,).

Уравнение Дирака в ковариантной форме: [i-m](x)=0

-матрицы Дирака подчиняются антикоммутационному соотношению: __+__=2g_1

Уравнение непрерывности: _(_) + (_)_=0 или в компактной форме _j_=0

Ток уравнения Дирака: j_=_

Плотность вероятности, нулевая компонента 4-вектора тока: j₀ =₀=⁺=||²0

Гамильтониан уравнения Дирака не коммутирует с оператором момента количества движения L, но коммутирует с суммарным оператором момента J=L+S, где S –оператор спина ½.

Алгебраические уравнения для u(p) и u(p): (p̂ - m)u(p)=0 и u(p)(p̂ - m)=0

Алгебраические уравнения для v(p) и v(p): (p̂ + m)v(p)=0 иv(p)(p̂ + m)=0

u(p) =  (E+m)^1/2w  v(p) =  (E-m)^1/2(n)w` 

 (E-m)^1/2(n)w  (E+m)^1/2w` 

Уравнение Дирака для свободных частиц имеет два типа фундаментальных решений:

_p⁽⁺⁾(x) = (1/2E)^1/2 u^(p)exp(-ipx) – положительно-частотное решение, описывающее частицы.

_p^(-)(x) = (1/2E)^1/2v^(p)exp(ipx) – отрицательно-частотное решение, описывающее античастицы.

Проекционный оператор: P₊=_ u^(p)u^(p) = p̂ + m и P_-=_ v^(p)v^(p) = p̂ - m

u_L = (1/2)(1+₅)u^ – левый биспинор, описывающий частицы.

u_R = (1/2)(1-₅)u^ – правый биспинор, описывающий частицы.

v_L = (1/2)(1-₅)v^ - левый биспинор, описывающий античастицы.

v_R = (1/2)(1+₅)v^ - правый биспинор, описывающий античастицы.

Полевые функции фотона: A_(x) = _^()exp(-ikx)/(2)^1/2 и A_*(x) = _^()*exp(ikx)/(2)^1/2

Лагранжиан для свободного заряженного скалярного поля (Кл.-Г. частиц): L_0(скал) = _*_ - m²*

Лагранжиан для свободного заряженного спинорного (дираковского) поля: L_{0(спинор)} = i__ - m

Лагранжиан электромагнитного поля: L_э-м = -(1/4)F_F_

Глобальная калибровочная инвариантность: (x)  exp(ie)(x) или (x)  exp(ie)(x)

Локальное калибровочное преобразование:   exp(ie(x)),   exp(-ie(x))

Чтобы сделать лагранжианы и вместе с ними интеграл действия инвариантными относительно локального калибровочного преобразования, надо их “поправить” – для этого введем 4-вектор A_(x) (поскольку добавка _ представляет 4-вектор), который при локальном калибровочном преобразовании полей одновременно преобразуется по закону: A_(x)  A_(x) - _(x). Введем так называемую ковариантную (или, проще, “длинную”) производную D_: D_ = (_ + ieA_(x)) и заменим всюду в лагранжианах _  D_.

Лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (КЭД): Lint = e(x)(x)A(x)  ej(x)A(x)

Полный лагранжиан заряженных дираковских частиц состоит из трех слагаемых: лагранжиана свободных заряженных спинорных частиц L_0спин + лагранжиан электромагнитного поля L_э-м + лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем L_int:

L = [i(x)__(x) - m(x)(x)] + [-1/4F_F_] + [e(x)_(x)A_(x)]

Для скалярных заряженных частиц, подчиняющихся уравнению Клейна – Гордона, лагранжиан с учетом взаимодействия имеет вид: L = D_**D_ - m²*,

где лагранжиан взаимодействия скалярных частиц с электромагнитным полем

L_int = ei[(_*(x))(x) - *(x)(_(x))]A_(x)+ e²*(x)(x)A_(x)A_(x)

Причинная функция Грина: G(x₂,x₁) = _n_n(x₂)_n*(x₁)(t₂-t₁)

Дифференциальное уравнение для причинной функции Грина: (i/t₂ – Ĥ(x₂))G(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁)

Интегральное уравнение для причинной функции Грина: G(x₂, x₁) = G₀(x₂-x₁) +  d⁴x₃ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G(x₃, x₁)

Ряд теории возмущений по потенциалу: G(x₂, x₁) = _k=0 ^ G^(k)(x₂, x₁)

S-матрица преобразует начальное состояние квантово-механической или квантово-полевой системы в отдаленном прошлом (t-) _нач в конечное состояние в отдаленном будущем (t) _кон: S_кон = _нач

S-матрица унитарна S⁺S=SS⁺ =1

Общее определение элемента S-матрицы: S_fi = d³x₂ _f*(x₂)_i(x₂) = (lim_t1-)(lim_t2)d³x₂d³x₁ _f*(x₂)G(x₂, x₁)_i(x₁)

Инвариантная амплитуда (или амплитуда рассеяния) T_fi : S_fi = _fi + iT_fi

Правило получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений

Для получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений необходимо найти из интегрального уравнения для функции Грина (16) функцию Грина в n-ном порядке теории возмущений, заменив в полученном выражении функции Грина свободных частиц, стоящие в начале и конце выражения для G(n), соответственно волновыми (полевыми) функциями начального нач и конечного *кон состояний.

Функцию Грина для спинорных частиц принято обозначать S(x₂, x₁):

S(x₂, x₁) = _n _n⁽⁺⁾(x₂)_n⁽⁺⁾(x₁) при t₂>t₁,

S(x₂, x₁) = -_n _n^(-)(x₂)_n^(-)(x₁) при t₂<t₁.

Дифференциальное уравнение для функции Грина дираковских частиц: (i__2 - eÂ(x₂) – m) S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁)

Для функции Грина свободных частиц S₀(x₂-x₁) дифф. уравнение: (i__2 - m) S₀(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁)

Интегр. уравнение для функции Грина дираковских частиц: S(x₂, x₁) = S₀(x₂, x₁) + d⁴x₃ S₀(x₂, x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁)

Функция Грина свободной дираковской частицы (пропагатор) в импульсном представлении:

(с учетом доопределения Фейнмана) S₀(p) = -(p̑+m)/(p²-m²+i)

Пропагатор фотона (его обозначают D_(k)) в импульсном представлении имеет вид: D_(k) = g_/(k²+i)

d/d₂ = [Z²²/4p₀²v₀²] (1-v₀²sin²/2)/sin⁴/2 Формула Мотта

Перенормировки

Первая проблема. Возникает фундаментальная задача о выяснении связи между массой и зарядом “голого” электрона и массой и зарядом реального физического электрона m_R и e_R (буква R означает Renormalization – перенормировка). Если в принципе это возможно проделать, то мы найдем соотношение вида: e=e(e_R) и m=m(e_R, m_R) И с их помощью исключим параметры e и m, выразив их через наблюдаемые m_R и e_R.

Такое исключение нефизических параметров с помощью введения наблюдаемых величин называется перенормировкой и является составной частью любой квантово-полевой теории.

Вторая проблема возникает в связи с появлением расходящихся интегралов в высших порядках теории возмущений.

Однако ясно, что даже при отсутствии бесконечностей в теории, ее необходимо перенормировать. Происхождение перенормировки связано с тем, что состояния системы описываются с помощью невозмущенных “голых” волновых (полевых) функций, хотя в реальном физическом мире мы никогда не можем выключить взаимодействие между полями. Единственное требование, налагаемое на физически разумную теорию, заключается в том, чтобы S-матрица после перенормировки была конечной.

Степень расходимости диаграмм Фейнмана КЭД не зависит от числа вершин, т. е. от порядка теории возмущений, а определяется только числом внешних линий диаграммы. Это позволяет предположить, что степень расходимости не увеличивается с ростом порядка теории возмущений. Именно это обстоятельство является необходимым условием перенормируемости квантово-полевой теории.

Уравнение Дайсона: D = D₀ + D₀ПD

Точную функция Грина фотона: D(k) = 1/[k²+i - П(k)] = [1/(k²+i)][1/(1 – П(k)/k²]

Способ устранения бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражениям наперед заданных значений, установленных физическими требованиями. Об этой процедуре говорят как о перенормировке соответствующих величин.

Квантово-полевой процесс, “ответственный” за перенормировку заряда – это рождение виртуальными фотонами короткоживущих состояний, пар заряженных частиц e⁺e^-. То есть перенормировку заряда генерирует поляризационный оператор П(k).

Точная перенормировка заряда в КЭД

R = eR2/4 = /[1 + (/3)ln(L2/m2)] - точная перенормировка заряда (10) Z3= 1/[1 + (/3)ln(L2/m2)] - константа перенормировки заряда

Внешние фотонные линии не перенормируются, они не дают вклада в перенормировку заряда.

Эта совершенно уникальная формула “рассказывает” нам, по какому закону с энергией меняется константа связи КЭД. Константа связи уже не является постоянной – ее называют бегущей (или эффективной) константой связи КЭД: (k²) = _R/[1 – (_R/3)ln|-k²/m²|]

Из формулы для константы связи можно получить ограничения на пределы применимости КЭД. Заметим прежде всего, что знаменатель соотношения обращается в нуль, т. е. имеет полюс при (_R/3)ln|-k²/m²| = 1.

Это так называемая сингулярность или полюс Ландау. Нет никаких физических причин, по которым (k²) должна обращаться в бесконечность при каком-либо k², а, следовательно, полюс Ландау никогда не достигается. Из этого критерия следуют ограничения на предельные импульсы и параметры обрезания в КЭД.

(_R/3)ln|k²_max/m²| < 1 или k_max ~ L  mexp(3/2_R)  m10²⁸⁰.