Семинары / 2semteorgr

Семинар №2 по теории групп

“Целью настоящего курса является углубление и развитие трудностей, лежащих в основе современной теории.” Aкадемик Власов.

Понятие группы. Подгруппа. Смежные совокупности.

Задача 1. Множество целых чисел, Z образует группу по сложению. (a) Образует ли множество положительных целых чисел, включая 0, группу по сложению? (b) Образует ли данное множество группу по умножению? (c) Является ли подгруппой множество целых чисел, имеющих остаток 2 при делении на 5. (d) Образует ли подгруппу группы Z множество целых чисел, делящихся на 5? (e) Являются ли подгруппой группы Z все четные числа? все нечетные числа?

Решение. (a) Множество положительных целых чисел не представляет группу по сложению (единичным элементом является e=0), так как не содержит обратного элемента. Действительно, по отношению к числу n обратным будет число -n, не принадлежащее множеству положительных целых чисел.

(b) Если групповой операцией является умножение (единичным элементом является e=1), то множество Z не представляет группу, так как не содержит обратного элемента. Действительно, по отношению к умножению обратным числом к n является число n^-1, которое не содержится в множестве целых чисел и представляет рациональное число.

(с) Множество чисел m, делящихся на 5 с остатком 2 имеет вид m=5k+2, k=1, 2, ... . Операция сложения двух таких чисел приводит к числу m₁+m₂=5(k₁+k₂)+4, которое принадлежит множеству целых чисел, для которых остаток от деления на 5 дает число 4. Следовательно, числа m не образуют подгруппу.

(d) Да, так как m₁+m₂=5(k₁+k₂)Z.

(e) Да, так как m₁+m₂=2(k₁+k₂)Z.

Нечетные числа не образуют подгруппу по сложению. Ответьте, почему?

Задача 2. Составить таблицу умножения группы, состоящей из трех элементов n_G|G|=3.

Решение. G: e, a, b.

Рассмотрим групповую операцию. ae=a, be=b. Произведение ab не может быть равным a или b, так как тогда либо a, либо b равны единичному элементу, но единичный элемент в любой группе единственный, поэтому ab=ba=e. Следовательно, a^-1=b или b^-1=a.

Найдем произведение b²:

Если b²=e, то b^-1=b, но тогда а=b, но в группе элементы различны. b² не может быть равным b, поскольку тогда b=e, поэтому b²=a. Аналогично a²=b.

Итак: ab=ba=e, a²=b, b²=a, a^-1=b, b^-1=a. Вычислим a³. a³=(a²)a=ba=e. Группа имеет вид

G: e, a, a², (a³=e). Ту же группу можно записать аналогично через элемент b. Это абелева циклическая группа, порождаемая элементом a.

Вот некоторые реализации такой группы:

1 Повороты трехмерного пространства на углы 0, 2/3 и 4/3 вокруг оси z.

2 Кубические корни из единицы с обычным умножением в роли групповой операции.

Задача 3. Показать, что элементы, обратные элементам левой смежной совокупности, образуют правую смежную совокупность.

Решение. Запишем левую смежную совокупность по подгруппе H группы G: G={H+g₁+...+g_k-1+...}

G=H + g₁H + g₂H + ... + g_k-1H.

Правая смежная совокупность имеет тот же индекс, что и левая смежная совокупность.

Запишем обратный элемент для элемента совокупности (g_iH)^-1=H^-1g_i^-1=Hg_s. Покажем, что элемент g_s=g_i^-1 не принадлежит H. Действительно, если g_s принадлежит H, то и его обратный элемент принадлежит H, поскольку H образует подгруппу (замкнутую группу), но g_s^-1=g_i, а g_i по условию не принадлежит H. Поэтому:

G=H + Hg₁` + Hg<sub>2</sub>` + ... +Hg_k-1`.

Индекс подгруппы сохраняется на основании теоремы Лагранжа, поэтому число обратных элементов в разложении равно числу прямых элементов, но записанных в другом порядке. Элементы g₁`, g<sub>2</sub>`, ... g_k-1` являются обратными по отношению к элементам g₁, g₂, ... g_k-1.

Задача 4. Показать, что пересечение двух подгрупп группы G является снова подгруппой.

Решение. Пусть у группы G найдены две подгруппы H₁ и H₂.

H₁: e, h₂, ... h_m; H₁G.

H₂: e, h`<sub>2</sub>, ... h`_m`; H₂G

Пусть пересечение обеих подгрупп состоит из элементов:

H₃: e, h_i``, h<sub>j</sub>``_, ... h_s``. H₃H₁, H₃H₂. Покажем, что H₃ является подгруппой.

Единичный элемент является общим для подгрупп H₁ и H₂ и поэтому принадлежит H₃.

Проверим закон группового умножения в множестве H₃.

Поскольку любые элементы множества H₃ одновременно принадлежат подгруппам H₁ и H₂, то операция группового умножения приводит снова к элементу этих подгрупп.

h_i``h<sub>k</sub>``=h_r=h`<sub>r`</sub>, (*)

h_rH₁, h_{r`</sub>H<sub>2</sub>, таким образом групповое умножение приводит снова к общим элементам обеих подгрупп h<sub>r</sub>=h<sub>r`}H₃, таким образом групповое умножение выполняется для множества H₃.

Ассоциативность выполняется, так как все элементы H₃G.

Проверим существование обратных элементов для множества H₃.

Любой элемент h_i``, принадлежащий H<sub>3</sub>, имеет обратный элемент (h<sub>i</sub>``)^-1. Но так как элемент h_i`` принадлежит и подгруппе H<sub>1</sub>, то обратный элемент также содержится в подгруппе H<sub>1</sub>: (h<sub>i</sub>``)^-1H₁. То же самое справедливо и для подгруппы H₂: (h_i``)<sup>-1</sup>H<sub>2</sub>. Поэтому элемент (h``_i)^-1 является общим для обеих подгрупп и соответственно принадлежит множеству H₃.

Мы показали, что множество H₃ удовлетворяет всем групповым постулатам и, следовательно, является подгруппой группы G.

Задача 5. Найти подгруппы и разложить группу на смежные совокупности для группы G порядка 6 (|G|=6) с заданной таблицей умножения.

Таблица умножения группы G

G	e a b c d f
e a b c d f	e a b c d f a e d f b c b f e d c a c d f e a b d c a b f e f b c a e d

Решение. Выпишем для наглядности из таблицы все групповые операции умножения.

ae=a, aa=e, ab=d, ac=f, ad=b, af=c

be=b, ba=f, bb=e, bc=d, bd=c, bf=a

ce=c, ca=d cb=f, cc=e, cd=a, cf=b

de=d, da=c, db=a, dc=b, dd=f, df=e

fe=f, fa=b, fb=c, fc=a, fd=e, ff=d

Замкнутую алгебру имеют элементы (e,d,f). Они образуют подгруппу H₁: e, d, f.

Подгруппы также образуют элементы (e, a), (e, b), (e, c). H₂: e, a. H₃: e, b. H₄: e, c.

Разложим группу G на смежные совокупности по подгруппе H₁. Из теоремы Лагранжа следует, что индекс подгруппы равен k=6:3=2.

ae=a, ad=b, af=c  G=H₁+aH₁ (по левым) или G=H₁+H₁a (по правым) совокупностям.

be=b, bd=c, bf=a  G=H₁+bH₁ (по левым) или G=H₁+H₁b (по правым) совокупностям.

ce=c, cd=a, cf=b  G=H₁+cH₁ (по левым) или G=H₁+H₁c (по правым) совокупностям.

Задание на дом.

Разложите группу G задачи 5 на смежные левые и правые совокупности по подгруппам H₂, H₃, H₄.