Семинары / 3semteorgr

Семинар №3 по теории групп

“Пока вы не допустите ошибку, сделать можно все, что угодно.” К. Готфрид

Классы сопряженных элементов. Инвариантные подгруппы. Фактор-группы. Центр группы.

Задача 1. Разбить группу G задачи 5 семинара №2 на классы сопряженных элементов.

Решение. Сначала рассмотрим таблицу умножения группы G.

G	e a b c d f
e a b c d f	e a b c d f a e d f b c b f e d c a c d f e a b d c a b f e f b c a e d

Разобьем группу G на классы.

Единичный элемент всегда образует класс K₁=e.

Рассмотрим класс (g). В общем случае (g)=g + g₂gg₂^-1 + ... + g_ngg_n^-1

(d)= d + ada^-1 + bdb^-1 + cdc^-1 + fdf^-1

a²=e, a^-1=a, ada^-1=(ad)a=ba=f. b²=e, b^-1=b, bdb^-1=(bd)b=cb=f. c²=e, c^-1=c, cdc^-1=(cd)c= ac=f. fd=e, f^-1=d, fdf^-1=(fd)d=ed=d. d~f.

Класс K₂=d, f.

(a)=a+bab^-1+cac^-1+dad^-1+faf^-1

b²=e, b^-1=b, bab^-1=b(ab)=bd=c. c²=e, c^-1=c, c^-1ac=c(ac)=cf=b. df=e, d^-1=f, dad^-1=d(af)=dc=b. df=e, f^-1=d, faf^-1=f(ad)=fb=c. a~b~c.

Класс K₃=a, b, c.

Итак, группа G имеет три класса сопряженных элементов: K₁=e; K₂=d, f; K₃=a, b, c.

Задача 2. Найти сопряженные элементы симметрической группы (группы перестановок) S₃.

Решение. Группа S₃ имеет порядок |G|=3!=6.

g₁=e=123, g₂=123(12), g₃=123(23), g₄=123(13), g₅=123, g₆=123

123 213 132 321 231 312

Для элемента g₂=123 обратный элемент g₂^-1=213. Действительно 123213=123=e

213 123 213123 123

Вычислим элемент g₂g₄g₂^-1=123123213=123123=123=(23)

213321123 213231 132

g₃g₄g₃^-1=(12)=g₂, g₅g₄g₅^-1=(12)=g₃, g₆g₄g₆^-1=(23)=g₂

Элемент g₂ соответствует нечетной перестановке. Нетрудно заметить, что все полученные сопряженные с ним элементы тоже соответствуют нечетным перестановкам.

K₁=e=g₁

K₂=g₄~g₂~g₃ – класс нечетных перестановок.

Оставшиеся элементы g₅ и g₆ принадлежат четным перестановкам и тоже образуют класс.

K₃=g₅~g₆ - класс четных перестановок.

Покажите, что K₃ – это класс, соответствующий четным перестановкам.

Задача 3. Показать, что все подгруппы с индексом k=2 являются инвариантными подгруппами.

Решение. G=H+g₁H. G=H+Hg₂  g₁H=Hg₂  g₁=g₂g  gH=Hg или gHg^-1=HN.

Задача 4. Найти инвариантные подгруппы в группе G задачи 1.

Решение. На основании утверждения задачи 3 инвариантной подгруппой является подгруппа

H₁:(e, d, f)

Задача 5. Найти фактор-группу для следующих групп:

1 Для группы целых чисел по сложению, кратных 2, (Z_2n) по подгруппе чисел, кратных 4 (Z_4n).

2. Для циклической группы G ={e, a, a², a³, a⁴ (a⁵=e)}

3 Для группы G задачи 1.

Решение.

1 GZ_2n=2n= ... -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 ...

Z_4n=4n= ... -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12 ... G=Z_4n + (Z_4n+2)

F=Z_2n/Z_4n. Обозначим F₁=Z_4n=E. Фактор-группа состоит из 2х элементов

F₁=E и F₂=E+2.

2 Инвариантных подгрупп в этой группе нет, равно как нет подгрупп, так как по следствию из теоремы Лагранжа группа порядка 5 не имеет делителей, отличных от 1 или 5, так как 5 – простое число.

3 Инвариантная подгруппа N: e, d, f. G=N+aNE+Ea

Фактор-группа F: E, a.

Задача 4. Найти центр группы для (а) абелевой циклической группы G: e, a, a², a³ (a⁴=e); (б) для группы G задачи 1.

Решение. Центром группы называется совокупность самосопряженных элементов группы, т. е. элементов, для которых gag^-1=a.

В случае (a) группа абелева, каждый элемент абелевой группы самосопряжен. Действительно:

gag^-1= gg^-1a=a. Поэтому вся группа является центром группы.

В случае (б) инвариантная подгруппа N с элементами e, d, f является абелевой. Однако ее элементы не коммутируют с элементами a, b, c. Поэтому единственным самосопряженным элементом является единичный элемент e.

Изоморфизм и гомоморфизм

Задача 5. Покажите, что группа перестановок S₃ гомоморфна группе G: +1, -1 (с групповой операцией умножения).

Решение. Отобразим все четные перестановки в +1, а все нечетные – в -1 и далее установим гомоморфизм отображения. Единичный элемент группы S₃ отобразится в единичный элемент группы G, т. е. в 1.

e=123  +1, g₅=123 +1, g₆=123+1 (четные перестановки)

123 231 312

g₂=123 -1, g₃=123 -1, g₄=123 -1 (нечетные перестановки)

213 132 321

Проверим операцию группового умножения.

Например, g₂g₅=123123=123=g₃  (-1)(+1)=(-1). Операция сохраняется, так как g₃ -1.

213231 132

Проверим еще g₃g₄=123123=123=g₅ (-1)(-1)=+1. Операция сохраняется, так как g₅+1.

132321 231

Остальные соотношения проверяются аналогично.

Проверьте некоторые из оставшихся соотношений.

Задача 6. Установить изоморфизм группы G {G: g₁=e=1, g₂=i, g₃=-1, g₄=-i} и матричной группы G`

{G`: g`₁=e`=I, g`₂=i₂, g`<sub>3</sub>=-I, g`₄=-i₂}.

I=10, i₂=i0-i=0 1

01 i 0 -10

Решение. Сначала убедимся, что G и G` являются группами.

В множестве G операция умножения не выводит элементы за пределы группы. Выполняется ассоциативность. Существует единичный элемент e=1. Существуют обратные элементы:

e^-1=1, g₂^-1=-i=g₄, g₃^-1=-1=g₃, g₄^-1=i=g₂. G является группой.

Для множества G`было установлено, что G` образует группу в задании первой лекции (или первого семинара): единичный элемент e`=I. Матрицы Паули подчиняются соотношению

_i_k=_ik+i_iks_s. Отсюда _i²=I. Поэтому ₂₂=I=e` ₂^-1=₂, (i₂)^-1=-i₂.

Операция умножения не выводит элементы за пределы множества. Ассоциативность выполняется.

Построим отображение: e=1  e`=I, g<sub>2</sub>=i  g`₂=i₂, g₃=-1  g`<sub>3</sub>=-I, g<sub>4</sub>=-i  g`₄=-i₂.

Покажем, что данное отображение сохраняет групповое умножение.

g₂g₃=-i=g₄  g`<sub>2</sub>g`₃=(i₂)(-I)=-i₂=g`₄.

g₂g₄=1=e  g`<sub>2</sub>g`₄=(i₂)(-i₂)=I=e`.

g₃g₄=i=g₂  g`<sub>3</sub>g`₄=(-I)(-i₂)=i₂=g`₂.

Представления групп

Задача 7. Найти регулярное представление и одномерное представление фактор-группы для циклической группы из 4 элементов:

G = {e, a, a², a³}(a⁴=e)

Решение. Группа G абелева, группа изоморфна группе C₄. Составим таблицу умножения группы.

Таблица умножения группы

G	e a a2 a3
e a a2 a3	e a a2 a3 a a2 a3 e a2 a3 e a a3 e a a2

Матрицы регулярного представления группы имеют размерность, равную порядку группы, в нашем случае это n=4. Сначала строим единичную матрицу размерности 4, для отображения единичного элемента: D(e) =1000

0100 

0010 

0001

Для получения D(a) нумеруем элементы первой строки таблицы умножения 1,2,3,4. Элемент e с номером 1 при умножении на а во второй строке переходит на 4 место, т.е. 14. Аналогично, элемент a c номером 2 в первой строке переходит на 1 место во второй строке, т.е. 21; a² с номера 3 переходит на место 2, т.е. 32, a³ с номера 4 переходит на место 3, т.е. 43. Образуем перестановку из 4 элементов 1 2 3 4 

 4 1 2 3 

Подействуем этой перестановкой на единичную матрицу D(e), сопоставим полученной матрице отображение D(a). Действие перестановки на единичную матрицу происходит следующим образом: 14 означает, что первая строка единичной матрицы становится четвертой, 21 означает, что вторая строка единичной матрицы становится первой, далее третья строка становится второй, а четвертая – третьей. Матрица D(a) имеет вид:

0100

0010 = D(a)

0001 

1000 

Аналогично строятся матрицы D(a²) и D(a³). Для D(a²) перестановка  1 2 3 4 

 3 4 1 2 

следует из третьей строки таблицы умножения, и D(a²) имеет вид (проверьте!):

 0010  0001 

0001  = D(a²) 1000  = D(a³) (Проверьте!)

1000  0100 

0100  0010

Регулярное представление – точное, так как каждому элементу группы соответствует своя матрица. Это представление приводимое. Характеры (следы - суммы диагональных элементов) равны (e)=4 – это размерность представления. (a)=(a²)=(a³)=0.

Фактор-группа группы G из двух элементов F=(E, aE), где E=N=(e, a²) – инвариантная подгруппа.

Можно отобразить E в единицу (частный случай единичной матрицы), aE=a отобразить в -1. Групповая операция выполняется. EED(E)D(E)=1, EaD(e)D(a)=-1, aa=aEaED(a)D(a)=1. Действительно, aa=aEaE=aaE=a(a, a³)=(a², a⁴)=(a², e)=N=E.

Задание на дом

Покажите, что все группы G порядка |G|=3 изоморфны друг другу.