Семинары / 4semteorgr

Семинар №4 по теории групп

В одном из своих выступлений на конференции Жолио-Кюри сказал: “Чем дальше эксперимент от теории, тем ближе он к Нобелевской премии.”

Представления групп. Условие ортогональности. Характеры.

Задача1. Найти регулярное представление циклической группы из 4 элементов G (e, a, a², a³, (a⁴=e))

Решение. Это абелева группа, изоморфная группе С₄. Ее таблица умножения имеет вид:

G	e a a2 a3
e a a2 a3	e a a2 a3 a a2 a3 e a2 a3 e a a3 e a a2

Матрицы регулярного представления группы имеют размерность, равную порядку группы, в нашем случае это n=4. Сначала строим единичную матрицу размерности 4, для отображения единичного элемента: D(e) =1000

0100 

0010 

0001

Для получения D(a) нумеруем элементы первой строки таблицы умножения 1,2,3,4. Элемент e с номером 1 при умножении на а во второй строке переходит на 4 место, т.е. 14. Аналогично, элемент a c номером 2 в первой строке переходит на 1 место во второй строке, т.е. 21; a² с номера 3 переходит на место 2, т.е. 32, a³ с номера 4 переходит на место 3, т.е. 43. Образуем перестановку из 4 элементов 1 2 3 4 

 4 1 2 3 

Подействуем этой перестановкой на единичную матрицу D(e), сопоставим полученной матрице отображение D(a). Действие перестановки на единичную матрицу происходит следующим образом: 14 означает, что первая строка единичной матрицы становится четвертой, 21 означает, что вторая строка единичной матрицы становится первой, далее третья строка становится второй, а четвертая – третьей. Матрица D(a) имеет вид:

0100

0010 = D(a)

0001 

1000 

Аналогично строятся матрицы D(a²) и D(a³). Для D(a²) перестановка  1 2 3 4 

 3 4 1 2 

следует из третьей строки таблицы умножения, и D(a²) имеет вид (проверьте!):

 0010  0001 

0001  = D(a²) 1000  = D(a³) То же для D(a³) (проверьте!)

1000  0100 

0100  0010

Регулярное представление – точное, так как каждому элементу группы соответствует своя матрица. Это представление приводимое. Характеры (следы - суммы диагональных элементов) равны (e)=4 – это размерность представления. (a)=(a²)=(a³)=0.

Задача 2. Найти одномерное представление фактор-группы группы G (e, a, b, c, d, f), рассмотренной на предыдущих занятиях.

Решение. Вернемся к группе порядка 6, которой мы занимались на прошлых семинарах G (e, a, b, c, d, f) с таблицей умножения:

G	e a b c d f
e a b c d f	e a b c d f a e d f b c b f e d c a c d f e a b d c a b f e f b c a e d

Мы получили ее инвариантную подгруппу N (e, d, f). По этой инвариантной подгруппе группа разлагается по смежным совокупностям в форме двух слагаемых (индекс инвариантной подгруппы N равен 2) G=N+aN.

Для получения фактор-группы в качестве единичного элемента E берется инвариантная подгруппа N: E=N, в качестве второго элемента F₂ берется второе слагаемое в разложении по смежным совокупностям F₂=aN=aE или просто пишут – a. Фактор-группа F состоит из двух элементов F (E, a) и является циклической. Групповая операция сохраняется:

EE=E, Ea=a, aa=E. (1)

Получим одномерное представление фактор-группы. Имея в виду таблицу умножения группы, можно гомоморфно отобразить E в 1 (E1, т.е. три элемента группы G (e, d ,f)1 ), второй элемент a можно отобразить в -1 (a-1, т. е. три элемента группы (ae=a, ad=b, af=c) -1). Проверим правило умножения фактор-группы (1). Оно действительно выполняется: EE=E  11=1, Ea=a  1(-1)=-1, aa=E  (-1)(-1)=1.

У самой группы G есть тривиальное единичное представление G1 (это представление есть у каждой конечной группы).

Задача 3. Является ли указанное ниже представление приводимым, если матрицы представления имеют вид

 a b 0 

c d 0 

0 0 f 

Решение. Такие матрицы имеют квазидиагональную форму, и потому представление можно разложить на два более простых неприводимых представления. Действительно, поскольку матрица имеет размерность 3, то введем в линейном векторном пространстве L₃ размерности 3 базис из трех единичных ортонормированных векторов (e₁, e₂, e₃). Подействуем на произвольный вектор пространства x=x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃ матрицей представления:

 a b 0  x₁   ax₁+bx₂ 

 c d 0  x₂  =  cx₁+dx₂ 

 0 0 f  x₃   fx₃ 

Это означает, что координаты x₁ и x₂ преобразуются независимо от координаты x₃, и полное линейное пространство L₃ разлагается на два инвариантных подпространства L₂ и L₁ L₃=L₁+L₂. Первые две компоненты x₁ и x₂ любого вектора x преобразуются только в подпространстве L₂, а третья компонента вектора – только в подпространстве L₁. Оба подпространства ортогональны друг другу, так как ортогональны их базисные единичные векторы.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть происходит вращение частицы в плоскости (xy) вокруг оси z на угол . Тогда координаты x, y, z меняются следующим образом:

x`=xcos - ysin

y`=xsin + ycos

z`=z

Образуем матрицу представления (матрицу поворота):

 cos -sin 0 

 sin cos 0 

 0 0 1

Матрица представления имеет квазидиагональную форму, поэтому координаты x и y преобразуются независимо от координаты z, что мы понимали с самого начала, исходя из постановки задачи.

Задача 4. Построить неприводимые представления группы D₃ и проверить формулу ортогональности матричных элементов неприводимых представлений:

_g D^()_ij(g)D^()_km*(g) = (|G|/n_)__ik_jm

Убедиться, что характеры всех представлений, соответствующих одному классу, совпадают. Проверить ортогональность характеров неприводимых представлений.

Решение. В группе D₃ три класса, и, следовательно, три неприводимых представления.

Единичное (тривиальное) неприводимое представление D⁽¹⁾ имеет вид:

D(e)=1, D(r)=1, D(r²)=1, D(p)=1, D(pr)=1, D(pr²)=1.

Одномерное неприводимое представление D⁽²⁾ фактор-группы F{E, Ep} имеет вид:

D(E)=1 {D(e)=1, D(r)=1, D(r²)=1}, D(Ep)=1 {D(p)=-1, D(pr)=-1, D(pr²)=-1}.

Двумерное неприводимое представление D⁽³⁾ имеет вид:

D(e) = 1 0, D(r) = cos -sin, D(r²)=D(r)D(r), D(p)=0 1, D(pr)=D(p)D(r), D(pr²)=D(p)D(r²),

0 1 sin cos 1 0

где =2/3; cos(2/3)=-1/2; sin(2/3)=3/2.

D(e)=1 0, D(r)=-1/2 -3/2, D(r²)=-1/2 3/2; D(p)=0 1, D(pr)=3/2 -1/2, D(pr²)=-3/2 -1/2.

0 1  3/2 -1/2 -3/2-1/2 1 0 -1/2-3/2 -1/2 3/2 

Проверим равенство:

_g D⁽³⁾₁₁(g)D⁽³⁾₂₂(g) = 11 + (-1/2)(-1/2) + (-1/2)(-1/2) + 00 + (3/2)(-3/2) + (-3/2)(3/2) = 0.

Проверим еще одно равенство:

_g D⁽²⁾₁₁(g)D⁽³⁾₁₁(g) = 11 + 1(-1/2) + 1(-1/2) + (-1)0 + (-1)(3/2) + (-1)(-3/2) = 0.

Проверим третье равенство, не обращающееся в нуль, которое должно быть равно 6/2=3:

_g D⁽³⁾₁₂(g)D⁽³⁾₁₂(g) = 00 + (-3/2)(-3/2) + (3/2)(3/2) + 11 + (-1/2)(-1/2) + (-1/2)(-1/2) = 3.

Классы сопряженных элементов группы D₃: K₁{e}, K₂{r, r²}, K₃{p, pr, pr²}

Характеры.

K₁{e}: ⁽¹⁾(e)=1, ⁽²⁾(e)=1, ⁽³⁾(e)=2.

K₂{r, r²}: ⁽¹⁾(r)=⁽¹⁾(r²)=1, ⁽²⁾(r)=⁽²⁾(r²)=1, ⁽³⁾(r)=⁽³⁾(r²)=-1.

K₃{p, pr, pr²}: ⁽¹⁾(p)=⁽¹⁾(pr)=⁽¹⁾(pr²)=1, ⁽²⁾(p)=⁽²⁾(pr)=⁽²⁾(pr²)=-1,

⁽³⁾(p)=⁽³⁾(pr)=⁽³⁾(pr²)=0.

^()_i можно рассматривать как вектор в r-мерном пространстве (r – число классов в группе) с компонентами ^()₁, ^()₂, ..., ^()_r.

Для группы D₃ получим:

⁽¹⁾[1,1,1]; ⁽²⁾[1,1,-1]; ⁽³⁾[2,-1,0].

Все три вектора ортогональны друг другу в соответствии с условием ортогональности характеров неприводимых представлений.

_i^r g_i^()_i^()_i* = |G|_ (сумма берется по классам сопряженных элементов)

Действительно, например:

_i g_i⁽¹⁾_i⁽²⁾_i = g₁⁽¹⁾₁⁽²⁾₁ + g₂⁽¹⁾₂⁽²⁾₂ + g₃⁽¹⁾₃⁽²⁾₃ = 111 + 211 + 31(-1) = 0.

Контрольная работа для аттестации на 8 неделе

Задана циклическая группа порядка |G|=6. G{e, a, a², a³, a⁴, a⁵}(a⁶=e)

Найдите классы сопряженных элементов, инвариантную подгруппу, фактор-группу. Постройте регулярное представление группы и представление фактор-группы.

