Семинары / 5semteorgr

Семинар №5 по теории групп

Великого математика Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. “Ах, этот-то? – вспомнил Гильберт. – Он стал поэтом. Для математика у него было слишком мало воображения.”

Теория характеров и построение неприводимых представлений групп.

Задача 1. Показать, что сумма характеров всех элементов группы для всякого неединичного представления равна нулю.

Решение. Воспользуемся формулой (3) лекции 7 для ортогональности характеров (суммирование по элементам группы):

_g^|G|^()(g)^()*(g) = |G|_. (1)

В качестве -того неприводимого представления возьмем единичное представление, все характеры которого равны 1. Так как 1, то формула (1) дает:

_g^|G|^()(g)=0.

Далее рассмотрим построение неприводимых представлений абелевых групп и их связь с приводимым регулярным представлением на примере группы C₃.

Задача 2. Рассмотрим группу C₃ – это группа вращений треугольника на угол r=2/3 (или этот элемент обозначают C₃) и на угол r²=4/3 (C₃²). Группа абелева, содержит три элемента: e, C₃, C₃² (C₃³=e). С помощью регулярного представления группы найти все ее одномерные неприводимые представления и составить таблицу их характеров.

Решение. Построим таблицу умножения группы C₃

C3	e	r	r2
e	e	r	r2
r	r	r2	e
r2	r2	e	r

Построим регулярное представление C₃. Оно имеет размерность 3.

D(e) = 1 0 0 Для построения D(r) выпишем перестановку элементов 3-ей строки  1 2 3 

 0 1 0  3 1 2 

 0 0 1 

D(r) =  0 1 0 Выпишем перестановку для D(r²)  1 2 3 

0 0 1   2 3 1

 1 0 0 

D(r²) =  0 0 1 

 1 0 0 

 0 1 0 

Характеры регулярного представления: _R(e)=3, _R(r)=0, _R(r²)=0. Регулярное представление приводимо. Приведем его матрицы к ящично-диагональной форме, чтобы разбить на неприводимые представления. Но неприводимые представления абелевой группы одномерны, поэтому в каждом “ящике” матрицы приводимого представления будет стоять одно число, следовательно, мы должны привести матрицы регулярного представления к диагональной (а не к квазидиагональной форме). Для этого необходимо найти собственные числа матриц:

D(r)x=x (x - собственный вектор матричного оператора D(r) с координатами x(a,b,c,)).

 0 1 0a  = b  = a 

 0 0 1 b  c   b 

 1 0 0 c  a   c

Отсюда b=a, c=b, a=c. Перемножая три равенства, получим ³=1e^i2k. Отсюда ₁=1 (k=0), ₂=e^i2/3 (k=1) и ₃=e^i4/3² (k=2). Для матрицы D(r²) аналогичные выкладки дают: c=a, a=b, b=c. Собственные значения для  остаются теми же.

Матрицы D(r) и D(r²) становятся диагональными, как и матрица D(e):

D(r) =  1 0 0  D(r²) =  1 0 0  D(e) =  1 0 0 

0  0   0 ² 0  0 1 0 

 0 0 ² 0 0   0 0 1 

Итак, регулярное представление распадается на три одномерных неприводимых представления (111) – единичное представление, два неединичных представления: (1, , ²), (1, ², ). Эти же значения определяют и характеры неприводимых представлений.

Покажем, что сумма характеров неединичных представлений равна нулю (задача 1).

1++²=1+e^i2/3+e^i4/3=1+cos(2/3) +cos(4/3)+isin(2/3)+isin(4/3)=1+(-1/2)+(-1/2)+i(3/2)+i(-3/2)=0

Кроме того, =(-1/2)+i(3/2); *=(-1/2)-i(3/2); ²=(-1/2)+i(-3/2); ²*=(-1/2)-i(-3/2).

Таким образом =²*, ²=*, и, следовательно, два неединичных одномерных представления сопряжены друг другу.

Таблица характеров неприводимых представлений группы C₃

C3	e	C3	C32
(1)	1	1	1
(2)	1		2
(3)	1	2=*	=2*

Проверим соотношение ортогональности характеров неприводимых представлений: _ig_i^()_i^()*_i=|G|_

Применим эту формулу к первому и третьему представлениям: 11+1+1²=0

Применим эту формулу ко второму и третьему представлениям:

11+(*)*+²(²*)*=1+²+⁴=1+²+=0

Далее рассмотрим получение неприводимых представлений некоторых неабелевых групп.

Задача 3. Рассмотрим группу C_3v. Она состоит из 6 элементов: e, C₃ (поворот на угол 2/3 вокруг главной оси z), C₃² (поворот на угол 4/3), три элемента являются комбинацией отражения _v относительно плоскости, проходящей через главную ось (z) без вращения и c вращением на указанные выше углы. В этой группе три класса: (e), (C₃, C₃²) и (3_v). Поэтому существуют три неприводимых представления размерности n₁, n₂, n₃.

n₁²+n₂²+n₃²=6.

Единственное решение этого уравнения имеет вид n₁=n₂=1, n₃=2. Мы имеем два одномерных неприводимых представления и одно двумерное неприводимое представление. Найти характеры этих представлений.

Решение. Простейшее одномерное неприводимое представление – единичное. Так как _v²=e, то собственные значения _v=1. Таким образом, _v может действовать на любые базисные функции либо _v=+, либо _v=-. Мы получаем два одномерных неприводимых представления группы C_3v: единичное (симметричное) с характерами 1 и второе (несимметричное) с характером класса _v =-1. Равенство, определяющее условие ортогональности характеров неприводимых представлений:

_ig_i^()_i^()*_i = |G|_ выполнено.

Для ==2: 111+211+3(-1)(-1)=6. Для =1, =2: 111+211+31(-1)=0

Характеры двумерного неприводимого представления можно найти тоже из соотношения ортогональности. Характер класса единичного элемента (e)=2, обозначим характеры двумерного представления класса C₃ - (C₃), а класса _v - (_v). Запишем соотношение ортогональности характеров:

12+21(C₃)+31(_v)=0 (ортогональность с первым одномерным представлением)

12+21(C₃)+3(-1)(_v)=0 (ортогональность со вторым одномерным представлением)

Отсюда (С₃)=-1, (_v)=0

Таблица характеров неприводимых представлений группы C_3v

C3v	e	2C3	3v
(1)	1	1	1
(2)	1	1	-1
(3)	2	-1	0