Семинары / 6semteorgr

Семинар №6 по теории групп

“Если вы собираетесь описать истину, можете оставить элегантность стиля портному” Эйнштейн

Приложения теории конечных групп к квантовой механике

Задача 1. Квантовая система обладает группой симметрии C_2v. Группа состоит из 4 элементов: единичного элемента e, оси симметрии второго порядка C₂ и двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии _v и _v`, проходящих через ось C₂, относительно которых возможны отражения. Характеры 4 неприводимых представлений указаны в таблице. Проведите классификацию уровней такой системы: укажите уровень основного состояния, кратности вырождения уровней, а также поведение уровней типа B₃ при инверсии.

C2v	e	C2	v	v`
A	1	1	1	1
B1	1	-1	-1	1
B2	1	1	-1	-1
B3	1	-1	1	-1

Решение. Группа абелева. Все ее представления одномерны. Все уровни не вырождены. Полностью симметричное состояние A отвечает основному состоянию. Волновая функция уровня B₃ меняет знак при повороте на  вокруг оси симметрии. При отражении (инверсии) относительно плоскости v волновая функция четна, а при отражении относительно плоскости v` - нечетна.

Задача 2. Постройте неприводимые представления группы симметрии квантово-механической системы с гамильтонианом Ĥ=p̑_x²/2m+U₀x⁴. Какова кратность вырождения уровней такой системы?

Решение. Группа G состоит из двух элементов: e, I. (I – инверсия, замена х на -х). Группа абелева. Групповая операция: ee=e, eI=I, II=e. Все неприводимые представления группы одномерны. Уровни не вырождены.

G	e	I
(1)	1	1  четные волновые функции
(2)	1	-1  нечетные волновые функции

Задача 3. Невозмущенная система обладает группой симметрии тетраэдра T_d, в которой трехкратно вырожденный уровень имеет характеры:

Td	e	8C3	3C2	6d	6S4
F	3	0	-1	1	-1

Здесь S₄ – поворот вокруг оси C₄ с одновременным отражением в плоскости, перпендикулярной оси (это, так называемая, зеркально-поворотная ось); _d – отражение от плоскости, проходящей через диагональ тетраэдра.

Система подвергается воздействию возмущения с симметрией D₃. На сколько подуровней и какого типа (A, B, E) расщепится трехкратно вырожденный уровень F?

Характеры неприводимых представлений группы D₃

D3	e	2C3	3C2
A	1	1	1
B	1	1	-1
E	2	-1	0

Решение. Группа D₃ является подгруппой группы T_d. В группе 6 элементов. Возмущенный гамильтониан обладает симметрией группы D₃. Для группы D₃ неприводимые представления группы T_d оказываются приводимыми. Надо разложить приводимое представление F группы тетраэдра по неприводимым представлениям группы D₃ и найти, сколько раз каждое неприводимое представление группы D₃ входит в приводимое представление F. Вопрос решается с помощью формул (7) и (9) лекции №8:

_i = _a_^()_i . Здесь _i – характер i-того класса приводимого представления; ^()_i – характер i-того класса неприводимого представления . a_ - целое число, показывающее, сколько раз данное неприводимое представление D^() входит в приводимое. На основании условия ортогональности характеров неприводимых представлений: _ig_i^()_i^()*_i=|G|_ величину a_ легко найти (формула (9) лекции №8):

a_ = (1/|G|)_ig_i_i^()*_i (1) Отсюда:

a_A = (1/6)(131 + 210 + 311) = 1

a_B = (1/6)(131 + 210 + 3(-1)1) = 0

a_E = (/6)(132 + 2(-1)0 + 301) =1

Таким образом, трехкратно вырожденный уровень F расщепляется на два подуровня – невырожденный уровень типа A и двукратно вырожденный уровень типа E. Вырождение не снимается полностью.

Задача 4. Невозмущенная система обладает группой симметрии C_3v. Возмущение обладает группой симметрии C_s, состоящей из двух элементов – единичного e и отражения в плоскости _v, проходящей через ось симметрии C₃. Исчезнет ли вырождение двукратно вырожденного уровня E?

Характеры неприводимых представлений группы C_3v

C3v	e	2C3	3v
A	1	1	1
B	1	1	-1
E	2	-1	0

Характеры неприводимых представлений группы C_s

Cs	e	v
A	1	1
B	1	-1

Решение. Задача решается аналогично предыдущей. С_s – это подгруппа группы C_3v.

a_A = (1/2)(12 + 10) = 1

a_B = (1/2)(12 + (-1)0) =1

Таким образом, двукратно вырожденный уровень E расщепляется на два невырожденных подуровня – типа A и типа B. Вырождение снимается полностью.

Задача 5. Определить правила отбора для матричного элемента M_ik z-компоненты дипольного момента d_z: M_ik=_i^()*d_z_k^()dq, если волновые функции ^() и ^() преобразуются по одному из неприводимых представлений группы C_3v. Дипольный момент является полярным вектором (мы получим правила отбора для дипольного перехода). Как изменятся правила отбора для z-компоненты магнитного момента m=(1/2c)[r,v] (правила отбора для магнитно-дипольного перехода)?

Характеры неприводимых представлений группы С_3v

C3v	e	2C3	3v
A	1	1	1
B	1	1	-1
E	2	-1	0

Решение. Компонента дипольного момента d_z направлена по (или против) оси симметрии группы C_3v, поэтому она не меняется при поворотах на 2/3 и на 4/3. Кроме того, дипольный момент d_z не меняется при отражении относительно плоскости, проходящей через ось симметрии z. Поэтому d_z преобразуется по представлению A группы C_3v.

Матричный элемент M отличен от нуля, если в прямом произведении неприводимых представлений содержится единичное представление A.

Матричный элемент M преобразуется по прямому произведению неприводимых представлений D^()D^()D^(A) группы D₃. D^() принимает значения: A, B или E; те же значения принимает D^(). Характеры неприводимых представлений в прямом произведении представлений перемножаются (лекция №8).

Прямое произведение характеров неприводимых представлений волновых функций.	Результирующие характеры с указанием представления
AA	1 1 1 = A (неприводимое)
AB	1 1 -1 = B (неприводимое)
AE	2 -1 0 = E (неприводимое)
BB	1 1 1 = A (неприводимое)
BE	2 -1 0 = E (неприводимое)
EE	4 1 0 = A + B + E (приводимое)

EE – приводимое представление, его следует разложить на неприводимые представления по формуле (1). Мы это делали на лекции №8.

a_A=(1/6)(141+211+301)=1; a_B=((1/6)(11+211+30(-1))=1; a_E=(1/6)(142+2(-1)1+300)=1

Далее надо получить характеры прямого произведения волновых функций c преобразованием A, по которому преобразуется d_z. Но это преобразование единичное, его характеры тоже единицы, поэтому в результате мы получим ту же таблицу характеров, которая приведена выше. Посмотрим на результаты прямого произведения представлений (2-ой столбик таблицы), и поймем, содержится ли среди них единичное представление A. Очевидно, что представление A содержится в первой, четвертой и шестой строчках, т.е. возможен переход из состояния A в то же состояние A; из состояния B в В и из состояния E в E. AA; BB; EE.

Магнитный момент является аксиальным вектором. Его компонента mz=(1/2c)(xv_y-yv_x). При отражении относительно плоскости, проходящей через ось симметрии z, например, плоскость zy, у не меняется, а x меняется на -x. Следовательно, m_z меняется на -m_z и преобразуется по неприводимому представлению B. В результате аналогичного расчета правила отбора для m_z будут следующие: AB; EE.

Проверьте результат!

Задача 6. При условиях задачи 5 получить правила отбора для компонент m_x и m_y магнитного момента.

Решение. Компоненты x и y любого вектора “натянуты” на два орта или, в гильбертовом пространстве, на две волновые функции. Поэтому эти компоненты преобразуются по двумерному неприводимому представлению группы C_3v – неприводимому представлению E. Дополним предыдущую таблицу прямого произведения волновых функций, получив их прямое произведение с неприводимым представлением E.

Прямое произведение представлений всего матричного элемента M	Результирующие характеры с указанием представления
AAE	2 -1 0 = E (неприводимое)
ABE	2 -1 0 = E (неприводимое)
AEE	4 1 0 = A+B+E (приводимое)
BBE	2 -1 0 = E (неприводимое)
BEE	4 1 0 = A+B+E (приводимое)
EEE	8 -1 0 = AE+BE+EE=E+E+A+B+E=A+B+3E

Разложим приводимое представление в последней строке EEE на неприводимые:

a_A=(1/6)(18+21(-1))=1; a_B=(1/6)(18+21(-1))=1; a_E=(1/6)(28+2(-1)(-1))=3

Возможны переходы между состояниями, когда прямое произведение представлений содержит единичное, т.е. AE; BE; EE.

Задача 7. При условиях задачи 5 получить правила отбора для скалярной величины f.

Решение. Поскольку скалярная величина не меняется при любом преобразовании симметрии, то она преобразуется по единичному представлению A. Поэтому для нее допустимы только переходы между состояниями с одной симметрией, т.е. относящиеся к одному неприводимому представлению. Если волновые функции преобразуются по неприводимым представлениям группы C_3v, то возможны переходы AA, BB, EE.

Непрерывные группы – группы Ли

Представление генераторов на гладких (дифференцируемых) функциях

Для любой группы G действие ее элемента g на функцию (q) происходит по правилу:

g(q)=(g^-1q).

Генераторы группы Ли определяются при значениях параметров _i<<1 в окрестности единичного элемента группы g(0)=I соотношениями

g(_i) = g(0) + _ig/_i|_i=0 = I + _iX_i,

где X_i=g/_i|_i=0 - генераторы (инфинитезимальные операторы) группы.

В окрестности единичного элемента получим

g(q)  (I +iXi)(q).

Задача 1. Найти генераторы и коммутационные соотношения генераторов следующих групп Ли.

Решение.

1 Группа x`=ax+b (a0).

Это однопараметрическая абелева группа.

Единичный элемент a=1, b=0.

Инфинитезимальные преобразования имеют вид:

x`=(1+a)x + b = x + xa + b.

g(x) = (g^-1x) = (x - xa - b)  (x) + [/(x-xa-b)][(x-xa-b)/(a)]|_a=b=0 +

+ [/(x-xa-b)][(x-xa-b)/(b)]|_a=b=0 =

= (x) +[- x/x - /x](x)

X₁=-x/x, X₂=-/x.

Вычислим коммутатор [X₁, X₂].

[-x/x, -/x] = x2/x2 - /x(x/x) = (- /x) = X₂

[X₁,X₂]=X₂

Очевидно, что коммутатор не приводит к новому оператору, а является лишь одним из инфинитезимальных преобразований группы.

2 Линейная группа GL(2) в случае двух измерений:

x`=ax+by; y`=cx+dy. det(A)=|a b|  0.

|c d|

Если x и y рассматривать как компоненты вектора r, то r`=Ar.

Линейная группа в двух измерениях изоморфна группе матриц 22 c матричным умножением в качестве групповой операции.

Единичному элементу соответствует двурядная единичная матрица. Групповое умножение AB=C.

Конкретно в качестве примера линейной группы рассмотрим группу двумерных вращений. Это однопараметрическая группа:

x`= xcos - ysin

y`= xsin + ycos.

Инфинитезимальное преобразование имеет вид:

x`= x - y

y` = x + y.

g(x,y)=[g^-1(x,y)]  [(x+y), (-x+y)]  (x,y) + [/(x+y)][(x+y)/()]|_=0 +

+ [/(-x+y)][(-x+y)/()]|_=0 = (x,y) + [y/x - x/y]

Генератор группы X=(y/x - x/y).

Обозначим J_z=iX = [x(-i/y) – y(-i/x)] = (xp̑_y – yp̑_x)

Мы получили компоненту момента J_z.

Покажем, ка выглядит генератор X в матричной форме. Матрица поворота вокруг оси z

g() = | cos -sin |

| sin cos |

X = g/|=0 = | 0 -1 |

| 1 0 |

Покажем, что разложение Тейлора I + X + (1/2!)(X)² + (1/3!)(X)³ + ... = g().

Имея в виду, что X² = -I, найдем:

g() = I + X + (²/2!)(-I) + (³/3!)(-X) + (⁴/4!)I + (⁵/5!)X + ... =

= | [1-(²/2!)+(⁴/4!)+...] ; [-+(³/3!)+...] | = | cos -sin |

| [-(³/3!)+ .... ] ; [1-(²/2!) + ... ] | | sin cos |

Задача 2. Показать. что группа O(4) локально изоморфна прямому произведению двух групп, каждая из которых изоморфна группе O(3).

Решение. Группа O(4) является группой вещественных ортогональных преобразований в четырехмерном пространстве. Эта группа оставляет инвариантной квадратичную форму

x²+y²+z²+t²=inv.

Группа имеет шесть существенных параметров. В ортогональной группе с матрицами размерности n число существенных параметров равно r=n(n-1)/2. Генераторы группы аналогичны генераторам группы вращений в трехмерном пространстве:

A₁ = z/y - y/z, A₂ = x/z - z/x, A₃ = y/x - x/y;

B₁ = x/t - t/x, B₂ = y/t - t/y, B₃ = z/t - t/z.

Коммутационные соотношения имеют вид:

[A₁,A₂] = A₃, [A₂,A₃] = A₁, [A₃,A₁] = A₂,

[B₁,B₂] = A₃, [B₂,B₃] = A₁, [B₃,B₁] = A₂,

[A₁,B₁] = [A₂,B₂] = [A₃,B₃] = 0,

[A₁,B₂] = B₃, [A₁, B₃] = -B₂,

[A₂, B₁] = -B₃, [A₂,B₃] = B₁,

[A₃,B₁] = B₂, [A₃,B₂] = -B₁.

Эти коммутаторы описывают структуру соответствующей этой группе алгебры Ли.

Перейдем к новому базису генераторов, состоящих из операторов:

J_i = (A_i+B_i)/2; K_i = (A_i-B_i)/2.

Соотношения коммутации примут вид:

[J₁,J₂] = J₃, [J₂,J₃]=J₁, [J₃,J₁] = J₂, (*)

[K₁,K₂]=K₃, [K₂,K₃] = K₁, [K₃,K₁] = K₂, (**)

[J_i,K_j] = 0 (***)

Коммутационные соотношения (*) и (**) полностью совпадают с коммутаторами момента, т.е. с коммутаторами группы вращений в трехмерном пространстве O(3). Коммутационные соотношения (***) свидетельствуют о независимости операторов J_i и K_i, поскольку эти операторы коммутируют между собой. Следовательно, группа O(4) распадается на произведение двух независимых групп, каждая из которых имеет ту же алгебру Ли, что и группа O(3). Группа O(4) локально изоморфна прямому произведению двух групп, каждая из которых изоморфна группе O(3).