Семинары / 7semteorgr

Семинар №7 по теории групп

При обсуждении выдвинутой Гейзенбергом теории Нильс Бор сказал: “Нет никакого сомнения, что перед нами безумная теория. Вопрос состоит только в том, достаточно ли она безумна, чтобы быть правильной.”

Группа SU((2) и изотопическая инвариантность сильных взаимодействий

Экспериментальные исследования ядерных сил привели к гипотезе о зарядовой независимости ядерного (сильного) взаимодействия между нейтронами и протонами, обобщением которой является гипотеза об изотопической инвариантности сильных взаимодействий барионов (сильно взаимодействующих частиц с полуцелым спином) и мезонов (сильно взаимодействующих частиц с целым спином). В теории изотопической инвариантности предполагается, что мезоны и барионы образуют изотопические мультиплеты, описываемые неприводимыми представлениями группы SU(2).

Частицы в одном изотопическом мультиплете имеют разные заряды и рассматриваются как различные состояния одной и той же частицы, соответствующие различным собственным значениям оператора T₃. Операторы T_i коммутируют с операторами углового момента и спина, поэтому все частицы в изомультиплете имеют один и тот же спин. Заряд каждой компоненты изомультиплета связан с оператором T₃ формулой Гелл-Манна – Нашиджимы:

Q=T₃+Y/2.

Квантовое число Y называется гиперзарядом.

Матрица гиперзаряда Y кратна единичной в любом заданном представлении SU(2).

Таблица некоторых изотопических мультиплетов. В скобках указаны массы частиц в MeV.

Гиперзаряд Y	Изоспин T	Барионы	Мезоны
+1 0 0 -1	1/2 1 0 1/2	p (938,2), n (939,5) +(1189), 0(1192), -(1197) 0(1115) 0(1314), -(1321)	K+(493,8), K0(497,8) +(139,6), 0(134,9), -(139,6) 0(548,8) K0(497,8), K-(493,8)

Если взглянуть на таблицу масс элементарных частиц, станет ясно, например, что массы нейтрона и протона удивительно близки друг к другу. Можно интерпретировать этот факт, как указание на то, что здесь мы имеем дело с двумя проявлениями одной и той же частицы, названной нуклоном (если выключить электромагнитные взаимодействия, достаточно слабые по сравнению с сильными взаимодействиями), подобно тому, как электроны со спинами, направленными вверх и вниз, представляют собой разные состояния одной частицы, а не две разные частицы. Характеристика нейтрона и протона с учетом их сходства по отношению к сильному взаимодействию почти во всем математически аналогична спину и называется изоспином (изотопическим спином).

Изоспин вводится с учетом того, что нуклон можно рассматривать как систему, обладающую внутренней степенью свободы с двумя разрешенными состояниями – протоном (p) и нейтроном (n). Поэтому возникает симметрия SU(2), в которой (p, n) образуют фундаментальное представление – изотопический дублет. Такая симметрия является математической копией спиновой симметрии.

Для изоспиновых генераторов выполняются те же коммутационные соотношения: [T_i,T_j] = i_ijkT_k.

В фундаментальном представлении для генераторов (матриц Паули) принимаются обозначения:

T_j = (1/2)_j, где ₁= 0 1 ; ₂ =  0 -i ; ₃ =  1 0  (_i_j = _ij + i_ijk_k)

 1 0 i 0   0 -1

Они действуют на протонное и нейтронное состояния, представляемые в виде базисных спиноров:

p = 1; n = 0  N = p

0 1 n

Частице с наибольшим положительным зарядом отвечает максимальное значение проекции T₃.

Такой подход оказывается удобным. В виде иллюстрации рассмотрим систему двух нуклонов. Каждый нуклон имеет спин ½ (со спиновыми состояниями  и ), и, согласно правилам сложения моментов, система может иметь спин S=1 или S=0. Состав этих состояний, триплетного и синглетного по спину:

|S=1, M_s=1> = 

|S=1, M_s=0> = (1/2)( + ) (1)

|S=1, M_s=-1> = 

|S=0, M_s=0> = (1/2)( - )

Подобным же образом постулируется, что оба нуклона T=1/2, причем T₃=+1/2 для протона, T₃=-1/2 для нейтрона, образуют три симметричные и одну антисимметричную комбинации. Состояние с полным изоспином нуклон-нуклонной системы T=1 и T=0 могут быть построены аналогично спину:

|T=1, T₃=1> = pp

|T=1, T₃=0> = (1/2)(pn+np) (2)

|T=1, T₃=-1> = nn

|T=0, T₃=0> = (1/2)(pn-np)

Здесь p и n – волновые функции протона и нейтрона.

Некоторые примеры предсказаний и запретов, следующих из изотопической инвариантности

Задача 1. Известно, что векторный мезон ⁰-мезон, частица со спином S=1, распадается по каналу

⁰⁺^-.

Чему равен изоспин ⁰-мезона, если изотопический спин -мезонов равен T_=1, а спин -мезонов S_=0?

Решение. Включив в рассмотрение дополнительную изотопическую переменную (третью проекцию изоспина), мы можем считать оба -мезона, ⁺ и ^-, тождественными частицами, т. е. рассматривать их как два разных состояния одной частицы – пиона с проекциями изоспина T₃=+1 и T₃=-1, соответственно. Волновая функция двух тождественных -мезонов (бозонов) должна быть четной (симметричной). Четность определяется произведением пространственной четности обоих пионов P=(-1)^L (L – суммарный орбитальный момент пионов), определяющей четность координатной волновой функции, и четности изотопической части волновой функции (-1)^T, где T – суммарный изоспин пионов.

Так как спин ⁰-мезона равен 1, то из закона сохранения момента следует, что суммарный орбитальный момент пионов равен L=1. Суммарный изоспин двухпионного состояния может быть равен T=0, 1, 2. Но поскольку волновая функция бозонов должна быть четной, то (-1)^L(-1)^T=1. Значит, изоспин ⁰-мезона равен T=1. -мезон должен существовать в трех состояниях ⁺, ⁰, ^-, что подтверждено экспериментально.

Задача 2. Показать, что векторный мезон ⁰ (спин 1, изоспин 0) не распадается на два пиона.

Решение. Этот факт легко объяснить (исходя из предыдущей задачи) сохранением изоспина, поскольку изоспин -мезона T_=0, то (-1)^L(-1)^T1.

Задача 3. Построить симметричную по изоспиновым переменным волновую функцию трех -мезонов (спин пиона равен нулю) с изоспином T=1, на которые распадается нейтральная частица A с изоспином T=1. Изоспин в реакции сохраняется.

Решение. Полная волновая функция пионов должна быть симметричной. Это следствие обобщенного принципа Паули: волновая функция системы бозонов должна быть симметрична по совокупности изотопических, спиновых и пространственных переменных. Волновая функция трех пионов симметрична по пространственным переменным, а спин пионов равен нулю, поэтому амплитуда должна быть симметрична и по изоспиновым переменным.

Построим симметричную по изоспиновым переменным волновую функцию трех пионов с суммарным зарядом Q=0 и с полным изоспином T_3=1. (T_=1; T_3,+ =1, T_3,0=0, T_3,-=-1)

Сначала построим возможные изоспиновые состояния для двух пионов.

Для двух пионов возможны состояния с T=0,1,2. Обозначения здесь соответствуют тому, что, например, ⁺₁ есть первый -мезон с зарядом +. Чтобы получить все состояния, надо действовать понижающим оператором T_- на максимальное значение T₃.

T_-|T, T₃> = [(T+T₃)(T-T₃+1)]^1/2|T, T₃-1> (*)

Изоспин T=2 содержит симметричные комбинации волновых функций

T=2, T₃=2: |2, 2> = |⁺₁⁺₂> (1)

T=2, T₃=1: (1/2)(|⁺₁⁰₂> + |⁰₁⁺₂>) (2)

T=2, T₃=0: (1/6)(|⁺₁^-₂> + |^-₁⁺₂> + |⁰₁⁰₂> + |⁰₂⁰₁>)  (16)(|⁺₁^-₂> + |^-₁⁺₂> + 2|⁰₁⁰₂>) (3)

Для T=1 состояния должны быть ортогональными состояниям T=2.

T=1, T₃=1: (1/2)(|⁺₁⁰₂> - |⁰₁⁺₂>) (4)

T=1, T₃=0: (12)(|⁺₁^-₂> - |^-₁⁺₂>) (5)

Для T=0 состояния должны быть ортогональны состояниям T=2 и T=1.

T=0, T₃=0: Построим общий вид волновой функции с T=0 и T₃=0 и потребуем, чтобы она была ортогональна состояниям |T=2, T₃=0> и |T=1, T₃=0>.

|T=0, T₃=0> = N(a|⁺₁^-₂> + b|^-₁⁺₂> + c |⁰₁⁰₂>) (6)

N – нормировочный множитель, а, b, c – пока произвольные числа.

Из ортогональности (6) и (5) следует, что a = b. Из ортогональности (6) и (4) следует, что a+b+2c=0,

т. е. b=a, c= -a. Тогда с учетом нормировки получим:

|T=0, T₃=0> = (1/3)(|⁺₁^-₂> + |^-₁⁺₂> - |⁰₁⁰₂>) (7)

Построим теперь волновую функцию трех -мезонов. Поскольку распадающаяся частица A является по условию задачи нейтральной, то к состоянию с волновой функции |T=0,T₃=0> можно добавить только ⁰-мезон. Для этого возьмем волновую функцию третьего пиона ⁰ и умножим ее на волновую функцию системы двух пионов с T=0, после чего симметризуем полученную волновую функцию по индексам. Символически запишем:

|T=1 T₃=0>|_3 = ⁰₃(⁺₁^-₂ + ^-₁⁺₂ - ⁰₁⁰₂) + ⁰₂(⁺₁^-₃ + ^-₁⁺₃ - ⁰₁⁰₃) +

+ ⁰₁(⁺₂^-₃ + ^-₂⁺₃ - ⁰₂⁰₃) (8)

Для распада нейтральной частицы A с сохранением изоспина T=1 и, конечно, заряда, если к (7) прибавить ⁺ -мезон или ^--мезон, то суммарный заряд не будет сохраняться.

Отношение вероятностей распада W(A⁰⁰⁰)/W(A⁺^-⁰) = 33/66 = 1/4.

Проверить изотопическую симметрию можно с помощью изотопических соотношений между амплитудами и сечениями разных реакций, происходящих между частицами одних изотопических мультиплетов. Рассмотрим классический пример – получение на основании изотопической инвариантности изотопических соотношений для сечений пион-нуклонного рассеяния.

Задача 4. Получить соотношения между амплитудами и сечениями процессов:

⁺p  ⁺p (амплитуда процесса F⁺) (1*)

^-p  ⁰n (амплитуда процесса F⁰) (2*)

^-p ^-p (амплитуда процесса F^-) (3*)

Решение. В пион-нуклонной системе полный изоспин системы может быть равен либо T=3/2, либо T=1/2. Таким образом, шесть возможных состояний системы N разбиваются на четыре состояния с T=3/2 и два состояния с T=1/2. Эти четыре и два состояния являются неприводимыми представлениями группы изоспина SU(2).

Рассмотрим сначала состояния с T=3/2. Максимальный заряд в мультиплете отвечает состоянию T=3/2 T₃=3/2 и равен Q=2 (состояние ⁺p). Будем строить состояния с T₃=1/2, -1/2, -3/2 с помощью действия понижающего оператора T_- = T_-() + T_-(N) на состояние |T=3/2, T₃=3/2> (формула(*)).

T_-|3/2,3/2> = (3) |3/2,1/2> = (T_-() + T_-(N))|⁺p> = (2)|⁰p> + |⁺n>

|3/2,3/2> = |⁺p> (1`)

|3/2,1/2> = (2/3) |⁰p> + (1/3) |⁺n> (2`)

T_-|3/2,1/2> = 2 |3/2,-1/2> = (T_-() + T_-(N)) [(2/3) |⁰p> + (1/3) |⁺n>] =

= (2/3) 2 |^-p> + (2/3) |⁰n> + (1/3)2 |⁰n> = 2/3 |^-p> + 2(2/3) |⁰n>

|3/2,-1/2> = (1/3) |^-p> + (2/3) |⁰n> (3`)

T_-|3/2,-1/2> = 3 |3/2,-3/2> = (T_-()+ T_-(N))[1/3 |^-p> + (2/3) |⁰n>] = (1/3) |^-n> + (2/3)2 |^-n>

|3/2, -3/2> = |^-n> (4`)

Состояния с изоспином T=1/2 ортогональны состояниям с T=3/2:

|1/2, 1/2> = (2/3) |⁺n> - (1/3) |⁰p> (5`)

|1/2, -1/2> = (1/3) |⁰n> - (2/3) |^-p> (6`)

Из соотношений (1`-6`) следует:

|⁺p> = |3/2,3/2> (7`)

|^-p> = (1/3) |3/2,-1/2> - (2/3) |1/2,-1/2> (8`)

|⁰n> = (2/3) |3/2,-1/2> + (1/3) |1/2,-1/2> (9`)

Обозначим амплитуды перехода <3/2|S|3/2>=f_3/2; <1/2|S|1/2>=f_1/2. Тогда из (7`-9`) и (1*-3*) получим:

F⁺ = f_3/2; F⁰ = (2)/3(f_3/2 – f_1/2); F^- = (1/3)(f_3/2 +f_1/2).

Действительно, например, найдем амплитуду F⁰:

F⁰ = <⁰n|S|^-p> = {((2/3)<3/2,-1/2| + (1/3)<1/2,-1/2}|S|{(1/3)|3/2,-1/2> - (2/3)|1/2,-1/2>} =

= 2/3(f_3/2 – f_1/2)

Сравним между собой сечения процессов (1*-3*) при одинаковых энергиях сталкивающихся частиц и при одинаковых спиновых состояниях. Особенно интересен случай, когда f_3/2>>f_1/2. При энергиях пиона порядка 100 MeV и полной энергии реакции N-рассеяния порядка 1200 MeV процесс рассеяния происходит через резонансное состояние с T=3/2 (-изобару). В этой области энергий можно пренебречь амплитудой перехода с T=1/2. Тогда получаются соотношения между полными сечениями процессов (1*-3*) вблизи -резонанса:

⁺  ⁰  ^- = 9  2  1