Семинары / 1semteorgr

Семинар №1 по теории групп

Знания – это страшная сила!

Матрицы

Пусть А – это матрица размерности nn.

Обозначения:

A^T – транспонированная матрица.

A* - комплексно сопряженная матрица.

A⁺ - эрмитовски сопряженная матрица.

I_n – единичная матрица nn.

При транспонировании и эрмитовском сопряжении матрицы меняются местами (AB)^T=B^TA^T; (AB)⁺=B⁺A⁺.

Какими бывают матрицы:

A – симметричная матрица, если A=A^T.

A – антисимметричная (или кососимметичная) матрица, если A=-A^T.

А – эрмитовская матрица, если A=A⁺.

А – антиэрмитовская матрица, если A=- A⁺.

A – унитарная матрица, если A⁺A=AA⁺=I

A^-1 – обратная матрица, если AA^-1=A^-1A=I.

A – вырожденная матрица, если для нее не существует обратной матрицы, т. е. det(A)=0. В противном случае матрица называется невырожденной det(A)0.

Умножение матриц осуществляется по закону:

(AB)_ij = _kA_ikB_kj. (1)

Важной характеристикой матрицы является ее след:

Sp(A) = _i=1 ⁿ A_ii. (2)

Еще одной важной характеристикой матрицы является ее детерминант (или определитель):

Det(A) = _ijk...sA_i1A_j2A_k3...A_sn, (3)

где _ijk...s – совершенно антисимметричный тензор n-того ранга. Тензор содержит n индексов {ijk...s}, каждый из которых может принимать значения от 1 до n. Он равен единице (=1) при расположении индексов в порядке 123...n или при их четной перестановке, равен минус единице (=-1) при нечетной перестановке из 123...n, при любых двух одинаковых индексах этот тензор равен нулю (например, _122...s=0). Это обобщение тензора Леви-Чивиты третьего ранга. Тензор Кронекера _ik и совершенно антисимметричный тензор _ikj...s образуют систему инвариантных тензоров, которые сохраняют свой вид при переходе от одной n-мерной координатной системы к другой.

Произведение двух совершенно антисимметричных тензоров выражается через детерминант от символов Кронекера:

_ik...n<sub>i`k`...n`</sub> = ii` ik` ... in`  (4)

ki` kk` ...kn`

. . . . . . . . . . . . . 

ni` nk` ... nn`

Обратная матрица выражается через элементы прямой матрицы:

(A^-1)_ji = [(n-1)!det(A)]^-1 _ik...sA_{kk`</sub>...A<sub>ss`}_jk`...s`. (5)

Задача 1. Показать, что след цикличен: Sp(AB...CD) = Sp(DAB...C) и т. д.

Решение. Sp(AB...CD) = _i [(AB...C)D]_ii = (AB...C)_jkD_kj = D_kj(AB...C)_jk = (DAB...C)_kk  Sp(DA...C).

Задача 2. Показать, что det(A)det(B)=det(AB).

Решение. Рассмотрим для простоты двурядные матрицы.

A = a₁₁ a₁₂, B = b₁₁ b₁₂

a₂₁ a₂₂ b₂₁ b₂₂

det(A)=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁, det(B)=b₁₁b₂₂-b₁₂b₂₁.

Совершенно антисимметричный тензор второго ранга _ik=1 при i=1, k=2; _ik=-1 при i=2, k=1; _ik=0 при i=k, _ik = 0 1.

-1 0 По формуле (3):

det(A)det(B)=_ika_i1a_k2_i`k`b_{i`1</sub>b<sub>k`2} = _{ii`</sub> <sub>ik`}  (a_i1a_k2b_{i`1</sub>b<sub>k`2}) = (ii`<sub>kk`</sub> - _{ik`</sub><sub>ki`})(a_i1a_k2b_{i`1</sub>b<sub>k`2}) =

_{ki`</sub> <sub>kk`}

=a_i1b_i1a_k2b_k2– a_i1b_i2a_k2b_k1 = (a₁₁b₁₁+a₂₁b₂₁)(a₁₂b₁₂+a₂₂b₂₂) – (a₁₁b₁₂+a₂₁b₂₂)(a₁₂b₁₁+a₂₂b₂₁) =

=a₁₁b₁₁a₁₂b₁₂+a₁₁b₁₁a₂₂b₂₂+a₂₁b₂₁a₁₂b₁₂+a₂₁b₂₁a₂₂b₂₂–a₁₁b₁₂a₁₂b₁₁-a₁₁b₁₂a₂₂b₂₁-a₂₁b₂₂a₁₂b₁₁-a₂₁b₂₂a₂₂b₂₁=a₁₁a₂₂b₁₁b₂₂+a₁₂a₂₁b₁₂b₂₁-a₁₁a₂₂b₁₂b₂₁-a₁₂a₂₁b₁₁b₂₂=(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)(b₁₁b₂₂-b₁₂b₂₁).

Можно исходить из правой стороны равенства в условии задачи.

Обозначим AB=C, c_ik=a_ijb_jk.

det(AB)=det(C)=c₁₁c₂₂-c₁₂c₂₁=(a_1jb_j1)(a_2jb_j2)-(a_1jb_j2)(a_2jb_j1)=(a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁)(a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂)-(a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂)(a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁)=a₁₁a₂₂b₁₁b₂₂+a₁₂a₂₁b₁₂b₂₁-a₁₁a₂₂b₁₂b₂₁-a₁₂a₂₁b₁₁b₂₂=(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)(b₁₁b₂₂-b₁₂b₂₁)

Задача 3. Рассмотрим унитарную матрицу U (UU⁺=U⁺U=I) с единичным детерминантом det(U)=1. Эти матрицы осуществляют представление группы SU(n). Представим U в виде U=exp(iA). Показать, что матрица A обладает нулевым следом Sp(A)=0.

Решение. Сначала покажем, что матрица A эрмитовская. Действительно:

U⁺=exp(-iA⁺), U⁺U=exp(-iA⁺)exp(iA)=exp(i(A-A⁺)=1. Отсюда A⁺=A.

Всякая эрмитовская матрица может быть приведена к диагональной форме с помощью унитарного преобразования SAS⁺, где S унитарная матрица SS⁺=1. Пусть матрица A имеет диагональный вид (без потери общности). Вычислим детерминант матрицы U.

det(U) = 1 = det[exp(iA)] = det{I+(1/1!)iA+(1/2!)(iA)²+(1/3!)(iA)³+...}=

=det{1 0 ... 0 + (1/1!)ia₁₁ 0 ... 0 + (1/2!)(ia₁₁)² 0 ... 0 + ... + (1/k!)(ia₁₁)^k 0 ... 0 + ...} =

0 1 ... 0 0 ia₂₂ ... 0  0 (ia₂₂)² 0...0 0 (ia₂₂)^k 0...0

 . . . . . .   . . . . . . . .  . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . 

0 . . . . 1 0 . . . .ia_nn 0 . . . . (ia_nn)² 0 . . . . (ia_nn)^k

= det [1+(1/1!)(ia₁₁)+(1/2!)(ia₁₁)²+(1/3!)(ia₁₁)³+...] 0 ... 0= detexp(ia₁₁) 0 ... 0=

 0 [1+1(1/1!)(ia₂₂)+(1/2!)(ia₂₂)²+(1/3!)(ia₂₂)³+...] 0...0 0 exp(ia₂₂) 0...0

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . .

0 ... 0 [1+(1/1!)(ia_nn)+(1/2!)(ia_nn)²+(1/3!)(ia_nn)^k+...]  0 ... 0 exp(ia_nn) 

= exp[i(a₁₁+a₂₂+...+a_nn)] = exp[iSp(A)] =1

Отсюда Sp(A)=0.

Задача 4. Рассмотрим повороты в трехмерном евклидовом пространстве (группа SO(3)). В частном случае поворот вокруг оси z на угол  определяется соотношениями

x`=xcos - ysin Матрица двумерного поворота O = cos -sin

y`=xsin + ycos sin cos

z`=z

Введем матрицы Паули _x = 0 1, _y = 0 -i, _z = 1 0 .

1 0 i 0 0 -1

Образуем матрицу X=r =_xx+_yy+_zz =  z; x-iy

x+iy; - z

Показать, что поворот матрицы X на угол  вокруг оси z осуществляется унитарной матрицей

U = exp(-i/2) 0 , т. е. X`=UXU⁺

 0 exp(i/2) 

Решение. Сначала покажем, что матрица U является унитарной.

UU⁺= exp(-i/2) 0 exp(i/2) 0  = I

 0 exp(i/2) 0 exp(-i/2)

X`=UXU⁺=exp(-i/2) 0  z; x-iy exp(i/2) 0 =exp(-i/2) 0 exp(i/2)z; exp(-i/2)(x-iy)=

 0 exp(i/2)  x+iy; -z 0 exp(-i/2)  0 exp(i/2) exp(i/2)(x+iy); -exp(-i/2)z

=z; exp(-i)(x-iy)=z; (cos-isin)(x-iy) =z; (xcos-ysin)-i(xsin+ycos) =z`; x`-iy`.

exp(i)(x+iy); -z  (cos+isin)(x+iy); -z (xcos-ysin)+i(xsin+ycos); -z x`+iy`;- z`

Задание на дом

Покажите, что множество двурядных матриц {I, i₂, -I, -i₂} является группой.

I = 1 0 ; ₂ = 0 -i

0 1 i 0

Матрицы Паули удовлетворяют соотношению

_i_k=_ik + i_iks_s.