Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 11.1. WKB Нейтроны в поле Земли.ppt
Задача
Для ультрахолодных нейтронов в квазиклассическом приближении найти связь энергии частиц
с максимальной высотой подъёма в гравитационном поле Земли.
Ультрахолодные нейтроны,очень"медленные нейтроны,"со скоростями"порядка"5"м/сек."
Термин «У. н.» объясняется тем, что примерно с такой же скоростью двигались бы
молекулы газа при температуре ниже 0.02"K. У. н. обладают малой кинетической энергией
(порядка 10-7эв),"недостаточной для преодоления слабого отталкивания ядрами большинства
химических элементов, и поэтому полностью отражаются от поверхности многих материалов.
Рис. 1."Схема эксперимента по наблюдению квантовых уровней энергии нейтронов в
гравитационном поле Земли. Ультрахолодные нейтроны влетают в узкий зазор между
плитой и поглотителем и, подпрыгнув несколько раз, долетают до счетчика нейтронов.
Если высота прыжков составляет доли миллиметра, эти прыжки описываются уже не
классической, а квантовой физикой. Измеряя поток нейтронов в зависимости от ширины
зазора, можно обнаружить квантование нейтронного движения по вертикали.
Схема из статьи Thomas"J."Bowles, 2002."Quantum physics: Quantum effects of gravity
Движение нейтрона в однородном гравитационном поле
2
ˆ
ˆ
2
p
H mgz
m
Гамильтониан нейтрона в однородном магнитном поле
Интегралы движения?
mg
z
y
x
Интегралы движения
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, , 0
x y
H p H p
2 2 2
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
2
x y z
p p p
H mgz
m
Собственные волновые функции?
Волновая функция
/
/
e e
, ,
2 2
y
x
ip y
ip x
z z
Уравнение Шрёдингера для волновой функции ?
Собственные волновые функции
z
2
2
2 2
2
( )
( ) 0, , ( )
2 2 2
y
x
p
p
d z
E U z z E E U z mgz
m dz m m
Граничные условия?
( ) 2p z m E mgz
Уравнение Шрёдингера для волновой функции
z
z
( )U z mgz
1
( ) sin
4
2
h
I
z
C
z p dz
p
1
| |
( ) e
| |
z
h
p dz
II
C
z
p
E
Граничные условия
( 0) 0z
Условие применимости квазиклассики
3
1
m F
p
Квазиклассика работает вплоть до нуля!
h
Условие квантования?
Условие квантования
0
1
( 0) sin 0
4
2
h
I
C
z p dz
p
0
1
sin 0
4
h
p dz
0
3
4
h
p dz n
Значения энергии?
Значения энергии
1/ 2
1
3
2
0 0 0
8
3
2 1 2 1
9 4
h h
E E
mgz
p dz mE dz mE d n
E mg mg
1/ 3
2/3
2
1/ 3
2 2
9 3
,
8 4
n
n n
E
E mg n h
mg
Квазиклассический ответ для основного уровня n=0
1/ 3
( ) 2 2
0
1.84
WKB
E mg
Точный ответ для основного уровня n=0
1/ 3
( ) 2 2
0
1.86
exact
E mg
