Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 1.1. Обозначения Дирака.ppt
ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИРАКА
Краткий математический обзор формального аппарата квантовой механики см.
Елютин, Кривченков, Квантовая механика
Примеры.
1. Квантовый осциллятор находится в n-ом состоянии, т.е. квантовая частица находится в гармоническом
потенциале, обладает энергией . Известны собственные волновые функции в
координатном, импульсном и энергетическом представлениях.
1/ 2
n
E n
2. Атом водорода в s-состоянии, т.е. электрон находится в поле протона, обладает энергией
, квадрат момента и проекция момента импульса равны нулю.
Известны собственные волновые функции в координатном, импульсном и энергетическом
представлениях.
4 2
1 0 0
/(2 )
n l m e
E m e
Для краткого обозначения состояния системы Дирак предложил использовать значок (кет-вектор)
С математической точки зрения кет-вектор является вектором в абстрактном векторном пространстве. Как
и со всяким обычным вектором, его можно складывать с другим кет-вектором, а также умножать на
комплексные числа. Можно также определить правило соответствия между двумя множествами кетвекторов, т.е. задать оператор, действующий на кет-векторы.
1 2
( )C C C iC
кет-вектор, описывающий то же состояние системы, что и кет-вектор
C C
кет-вектор, описывающий состояние системы, получающееся с помощью
суперпозиции состояний и
Ключевое понятие квантовой механики – понятие состояния системы.
Пример.
Квантовый осциллятор находится в n=0-ом состоянии, т.е.
квантовая частица находится в гармоническом потенциале, обладает энергией ,
Известны собственные волновые функции в координатном, импульсном и энергетическом
представлениях.
/ 2
n
E
0n
2
0
1/ 4
2
2
1
( ) exp
2
2
n
x
x
a
a
1/ 4
2 2 2
0
2 2
( ) exp
2 2
n
a p a
p
0
1
0
( )
0
n
E
в.ф. в координатном представлении
в.ф. в импульсном представлении
в.ф. в энергетическом представлении
Как и для обычного вектора, для кет-векторов можно определить скалярное произведение. Для
этого Дирак ввёл так называемый бра-вектор
†
Обозначение скалярного произведения
Расшифровка скалярного произведения на примере осциллятора в координатном представлении
( ) ( )
m n mn
m n dx x x
Расшифровка скалярного произведения на примере осциллятора в энергетическом представлении
0
1
0 1 1 0 0 0
0
m n
Физическая интерпретация скалярного произведения
cosa b a b
В случае «обычных» векторов скалярное произведение
при b=1 равно проекции вектора на направление вектора
a
b
Какая ситуация в случае Дираковских кет- и бра-векторов?
x
кет-вектор состояния осциллятора, в котором он обладает определённой координатой
n
кет-вектор состояния осциллятора, в котором он обладает определённой энергией
Проекция кет-вектора на кет-вектор - скалярное произведение
n
x
x n
имеет смысл амплитуды вероятности того, что осциллятор с энергией будет обнаружен в окрестности точки
n
E
x
( )
n
x n x
Принцип суперпозиции в обозначениях Дирака
Рассмотрим произвольное состояние квантового осциллятора
Разложим кет-вектор этого состояния по собственным состояниям квантового осциллятора
n
n
a n
Домножим на бра-вектор
m
n n mn m
n n
m a m n a a
Ещё одна форма записи принципа суперпозиции
Единичный оператор
n n
n n n n
ˆ
1
n
n n
Операторы в обозначениях Дирака
Оператор - правило соответствия между двумя множествами кет-векторов
ˆ
, ,
k l
f k k l l
В явном виде это равенство формально совпадает с действием матрицы на столбец. Покажем это на примере
квантового осциллятора.
ˆ
l k
l l f k k
ˆ
,
nl
l k
n l l n f k k n l
ˆ
k
n n f k k
,n k
волновые функции состояний и осциллятора в энергетическом представлении
0
1
,n
0
1
,k
0 11 12 13 0
1 21 22 23 1
f f f
f f f
Матричные элементы оператора в энергетическом представлениях
ˆ ˆ
( ) ( )
n k
n f k dx x f x
Матричные элементы оператора в координатном представлениях
11 12 13
21 22 23
0
ˆ
0 1 0 1
0
n k kn
f f f
n f k a f f f a f
Матрица произведения операторов в энергетическом представлениях
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
i i
n f g k n f i i g k n f i i g k
Матричный элемент произведения операторов
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
ˆ
ˆ
f f f g g g
n f g k f f f g g g
Операторы в обозначениях Дирака.
Непрерывный спектр (координатное представление)
ˆ
x dx x f x x
,x x
волновые функции состояний и осциллятора в координатном
представлении
ˆ
( ) ( , ) ( )x dx x f x x x dx F x x x
ˆ
( , )F x x x f x
ядро оператора в координатном представлении
ˆ
f
Единичный оператор
1dx x x
Действие оператора
Ядро произведения операторов в координатном представлении
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
n f g k n f dx x x g k dx n f x x g k
Матричный элемент произведения операторов. Непрерывный спектр
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,x f g x dx x f x x g x dx F x x G x x