Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 1.2. Матричная теория момента в обозначениях Дирака.ppt
МАТРИЧНАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА В ОБОЗНАЧЕНИЯХ ДИРАКА
2 2
ˆ
ˆ
z z z z
z z
j Jj j Jj
j Jj J Jj
Исходные формулы – коммутационные соотношения
ˆ ˆ ˆ
,
i k ikl l
j j ie j
ikl
e
абсолютный антисимметричный тензор третьего ранга
2 2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, 0,
k x y z
j j j j j j
Частный случай – пространственный момент импульса
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
j l r p
Одновременно измеримы квадрат момента и одна из проекций. Согласно общепринятым
правилам, выберем в качестве «спиновых» квантовых чисел, характеризующих состояние
системы выберем следующие
В дальнейшем величину будем называть спиновым моментом или, кратко, моментом.
ˆ
j
Матричный элемент коммутатора
2 2 2
2 2
2 2
2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
z z
z z
z z z z z z
z z z z z z z z
J j J j
z z z z z z z z
j j
z
J j j j Jj J j j j Jj J j j j Jj
J j j J j J j j Jj J j j J j J j j Jj
J J j J j J j j Jj J J j j Jj Jj Jj
J J j
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
0
z z z z z
j Jj J J j j Jj J J J j j Jj
Вводим операторы
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , 0
x y
j j i j j j
Отличны от нуля только матричные элементы с одинаковым квадратом момента
ˆ ˆ
z z z z JJ
J j j Jj Jj j Jj
Матричные элементы x,y -проекций момента
1
ˆ ˆ ˆ
2
z x z z z z z JJ
J j j Jj Jj j Jj Jj j Jj
ˆ ˆ ˆ
2
z y z z z z z JJ
i
J j j Jj Jj j Jj Jj j Jj
Матричные элементы проекций момента и их линейных комбинаций отличны от нуля только
при одинаковых значениях квадрата момента J!
Ограниченность значений z-проекции момента
2 2 2 2 2 2
2 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
0
z z
z
z z z z z x y z
z x z z x z z y z z y z
j j
z x z z y z
j
Jj j j Jj J j Jj j j Jj
Jj j Jj Jj j Jj Jj j Jj Jj j Jj
Jj j Jj Jj j Jj
Таким образом
min maxz
j j j
Коммутатор
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , ,
z x z y z xzy y yzx x y x x y
j j j j i j j ie j i ie j i j j j i j
ˆ ˆ ˆ
,
z
j j j
Или
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , ,
ˆ ˆ ˆ
2
x y x y y x x y
yxz z xyz z z
j j j i j j i j i j j j j
i ie j ie j j
Коммутатор
Или
ˆ ˆ ˆ
, 2
z
j j j
Выберем состояние с заданной z-проекцией
ˆ
z
j Jj
ˆ
z z z z
j Jj j Jj
Построим из него новое состояние
Подействуем на него оператором z- проекции
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1
z z z z z z
j j Jj j j j Jj j j Jj
Таким образом
ˆ
1
z
z Jj z
j Jj Jj
max min
ˆ ˆ
0, 0j Jj j Jj
Из ограниченности z-проекции момента следует
Но
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 4 2
x y z z z
j j j j j j j j j j j j j j
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
z z z z
j j j j j j j j j
Или
Поэтому
2 2 2
max max max max max max
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
z z
j Jj J Jj j j j j Jj j j Jj
2 2 2
min min min min min min
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
z z
j Jj J Jj j j j j Jj j j Jj
Или
2 2
max max min min
0j j j j
max min max min
1 0j j j j
Из физических соображений выбираем
max min
j j j
2
1J j j
Таким образом для собственных значений квадрата момента находим
ВАЖНЕЙШЕЕ СЛЕДСТВИЕ
1 3
0, ,1, ,
2 2
j
Матричные элементы «повышающего» и «понижающего» операторов
Рассмотрим диагональный элемент
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
1 1 1
z
z z z z z z
j
z z z z z z
jj j j jj jj j jj jj j j j
jj j jj jj j jj jj j jj
С другой стороны
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( 1)
( )( 1)
z z z z z z z z
z z
jj j j jj jj j j j jj j j j j
j j j j
Используя неопределённость фазы волновой функции, находим
ˆ ˆ
1 1 ( )( 1)
z z z z z z
jj j jj jj j jj j j j j
Контрольный вопрос. Чему равно?
ˆ ˆ
1 ? ?
z z
j jj j jj
Ответ
ˆ
1 ( )( 1)
z z z z
j jj j j j j jj
ˆ
( )( 1) 1
z z z z
j jj j j j j jj
ˆ
1
z
z jj z
j jj jj
1
ˆ
1
z
z z jj z z
jj j jj jj jj
Вспомогательные формулы
