Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 6. Спин. Проекция на вектор n.ppt
Задача
Электрон находится в состоянии с определённой проекцией спина на направление
sin cos ,sin sin ,cosn
Измеряется проекция спина на ось Ox. Найти возможные значения указанной
проекции, получаемые в результате эксперимента и вероятности их измерения.
n
z
y
x
Решение в обозначениях Дирака
1/2, 1/2 1/ 2
n n n
j s j s s
Кет-вектор состояния электрона
Собственные кет-векторы оператора
ˆ
ˆ
x x
j s
1/2,
x x
s s s
Принцип суперпозиции
1/ 2
x
x
n s x
s
s C s
Уравнения на собственные значения
ˆ ˆ
,
n n n n x x x x
s s s s s s s s
Вероятность измерить значение равна
x
s
2
x
x s
w s C
Формальное решение в обозначениях Дирака
Домножим на бра-вектор
1/ 2
x x x x x
x x
x n s x x s s s s
s s
s s C s s C C
ˆ
ˆ ˆ
, , 1/ 2 ,
x n n x
s s sn s s
и решить уравнения на собственные значения
Осталось придать смысл значкам
ˆ
ˆ
,
n n n x x x x
sn s s s s s s s
Единственное представление, в котором «значкам» Дирака можно придать смысл,
является матричное -представление.
z
ss
ˆ ˆ ˆ ˆ
n x x y y z z
s n s n s n s
Решим уравнение
ˆ
n n n
sn s s s
Найти явный вид оператора (использовать формулу Эйлера)
ˆ
n
s
0 1 0 1 0
sin cos sin sin cos
ˆ
1 0 0 0 1
2 2 2
n
i
s
i
Явный вид оператора
ˆ
n
s
Или
cos sin e
1
ˆ
2
sin e cos
i
n
i
s
Записать уравнение в матричном виде
ˆ
n n n
sn s s s
Матричное уравнение
cos sin e
sin e cos
i
i
a a
b b
Система уравнений
cos sin e 0
sin e cos 0
i
i
a b
a b
Собственные значения и векторы?
1 cos
1 e tan e
sin 2
i i
b a a
Собственные значения
2 2 2
cos sin 0 1
Собственные векторы
Условие нормировки?
2 2 2 2
2 2
1 1 tan 1 cos
2 2
a b a a
Условие нормировки
Выбираем соответствующую фазу и получаем
Найти второй собственный вектор?
cos
2
1/ 2
sin e
2
n
i
s
Второй собственный вектор
sin
2
1/ 2
cos e
2
n
i
s
Поверить ортогональность?
1/ 2 1/ 2 ?
n n
s s
Ортогональность
cos
2
1/ 2 1/ 2 sin , cos e 0
2 2
sin e
2
i
n n
i
s s
Решить уравнения на собственные значения?
ˆ
x x x x
s s s s
Решение уравнения
ˆ
x x x x
s s s s
можно получить, если в предыдущей задаче положить
, 0 1,0,0
2
n
Таким образом
1 1
1 1
1/ 2 , 1/ 2
1 1
2 2
x x
s s
2
1/ 2 ?
x x n
w s s s
Найти вероятности
2
2
2
2
1
1/ 2 1/ 2 1/ 2 cos sin e
2 2 2
1
1/ 2 1/ 2 1/ 2 cos sin e
2 2 2
i
x x n
i
x x n
w s s s
w s s s
Ответ
Проверить нормировку