Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 10.2. WKB осциллятор+дельта-функция.ppt
Осцилляторный потенциал + дельта-функция
2 2
( )
2
m x
U x x
В квазиклассическом приближении найти энергетический спектр в потенциале
1
| |
1
( ) e
| |
a
x
p dx
C
x
p
1
| |
2
( ) e
| |
x
a
p dx
C
x
p
2
1
( ) sin
4
2
a
II
x
C
x p dx
p
1
1
( ) sin
4
2
x
I
a
C
x p dx
p
a
a
x
( )U x
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
, , 0
2 2
p m x
H x H P
m
Гамильтониан коммутирует с оператором чётности
Нечётные решения
( ) ( )
0 0 0
II I
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0 0
0
II I
II I
x
d x d x
dx dx
Записать в явном виде (использовать условия применимости квазиклассики)?
Условия сшивки (почему они совпадают с точными условиями?)
Условия сшивки
Или (из-за чётности потенциала)
0
2 1
0
0
2 1
0
1 1
sin sin 0
4 4
2 (0) 2 (0)
(0) (0)
1 1
cos cos 0,
2 4 2 4
(0) 2
a
a
a
a
C C
p dx p dx
p p
C p C p
p dx pdx
p mE
2 1
0
2 1
0
1
sin 0
4
1
cos 0
4
a
a
C C p dx
C C p dx
Возможные условия квантования
1 2
0 0
1 3
sin 0 ,
4 4
a a
p dx p dx n C C
Есть ещё условие нечётности волновой функции!
1 2
0 0
1 1
cos 0 ,
4 4
a a
p dx p dx n C C
Условие нечётности
( ) ( )
II I
x x
2 2 1
1 1 1
( ) sin sin ( ) sin
4 4 4
2 2 2
a x x
II I
x a a
C C C
x pdx p dx x p dx
p p p
Условие квантования
1 2
0 0
1 3
sin 0 ,
4 4
a a
p dx p dx n C C
Найти энергии нечётных уровней?
Энергии нечётных уровней
( )
1
2 1
2
n
E n
Условия сшивки
Чётные решения
( ) ( )
I II
x x
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
0
0 0 0
2
0
II I
II I
x
d x d x
m
dx dx
Записать в явном виде (использовать условия применимости квазиклассики)?
Условия сшивки
0
2 1
0
2
0 0
0
1
1 1
sin sin 0
4 4
2 (0) 2 (0)
(0)
2 1 1
sin cos
2 (0) 4 4
(0)
1
cos 0
2 4
a
a
a a
a
C C
p dx p dx
p p
C p
m
p dx p dx
p
C p
p dx
Условие нетривиальности решения с учётом чётности в.ф.
0 0
0
0 0
1 1
cos sin
4 4
1 2 1 1
sin sin cos 0
4 (0) 4 4
a a
a a
a
p dx p dx
m
p dx p dx p dx
p
0 0
1 1
cos sin
4 (0) 4
a a
m
p dx p dx
p
С учётом чётности в.ф.
Записать уравнение для энергии в явном виде?
Уравнение для энергии
cos sin
2 4 (0) 2 4
E m E
p
Обозначения
2 2
2
,
2
o
m a
k
E
m
Уравнение для энергии
cos sin
2 4 2 4
o
E E
ka
Параметр длины в осцилляторном потенциале
1/ 2
/
o
a m
Исследовать в пределе сильно- (a) и слабо- (b) проницаемого барьера?
) 1, ) 1
o o
a b
ka ka
!
(0 ) (1)
(0 )
(0 )
cos sin
2 4 2 4
o
E E
E
k a
Сильно проницаемый барьер
1
o
ka
(0) (1)
E E E "
Ищем решение в виде разложения
Нулевое приближение
(0 )
cos 0
2 4
E
Первое приближение
Чётные уровни энергии для сильно проницаемого барьера
( ) (0)
(0) 2
1 2 2 1
2 , 2
2 2
n n
n o
m
E n k n
k a
Слабо проницаемый барьер
1
o
ka
!
Уравнение для энергии
tan
2 4
o
ka
E
(0) (1)
E E E "
Ищем решение в виде разложения
Нулевое приближение
(0)
tan 0
2 4
E
(0 ) (1)
(0 )
(0 )
(0 )
2
2
tan ,
2 4
o
E E
k a
mE
k
Первое приближение
Нечётные уровни энергии для слабопроницаемого барьера
(0)
( ) (0)
2
2
1 2 1
2 1 , 2 1
2 2
o
n n
k a
m
E n k n
Другая форма записи
(0)
( ) ( )
2
o
n n
k a
E E
#
( )
0
E
( )
0
E
( )
1
E
( )
1
E
Схема уровней в «энергетическом пространстве»
Как изменится схема уровней при замене барьера на яму, ?
0
$