Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 12.1. ТВ 2D ротатор вырожд.ppt
Теория возмущений.
Плоский ротатор (первое возбуждённое состояние)
Уравнение Шрёдингера для заряженного 2D ротатора в однородном электрическом поле
0
ˆ
( ) ( )H V E
x
y
z
,m q
0
E
Невозмущённый гамильтониан
2 2
(0) (0) (0)
0 0
2 2
(0) 2 (0)
ˆ
ˆ ˆ
, ( ) ( )
2
1
, , ( ) e
2
2
z
m m m
im
m m
l
H H E
I
m
E I r
I
«Возмущающий» потенциал
0 0
( ) cos cos
e
V q qE r dE
Первое возбуждённое (вырожденное) состояние
Общие соотношения
0
ˆ
l l l
H V E
(0) (0) (0)
0ˆn n n
H E
Уравнение Шрёдингера
«Невозмущённое» уравнение Шрёдингера
Решение уравнения Шрёдингера
(0)
l nl n
n
c
Получить уравнение на коэффициенты разложения с учётом вырождения?
Уравнение Шрёдингера в «представлении взаимодействия»
(0)
,
ml l m mn nl
n
c E E V c
Обозначения
l
номер вырожденного уровня (обозначает энергию состояния)
, ,l l l
нумеруют состояния l-ого вырожденного уровня
(обозначают квантовые числа состояний для данного уровня)
В нашем случае
l
обозначает первое возбуждённое состояние
| | 1l m
, ,l l l
обозначают проекцию момента импульса
, , 1l l l m
(0)
,
,
l l l l l l l l n nl
l n l l
c E E V c V c
Уравнение для коэффициентов, относящихся к l-ому уровню
(0) (1) (2)
(0) (1)
(1)
,
,
, ,
l
l l l l l l
nl nl
E E E E
c c c
c c n l l
Разложения для энергии и коэффициентов по порядку малости
Первое приближение для энергии?
(0) (1) (0)
l l l l l l
l
c E V c
Первое приближение
Записать в нашей ситуации?
(0) (1) (0)
11 11 1 1 11
(0) (0) (1)
11 11 11 1 1
0
0
c V E V c
V c c V E
Нулевое приближение для первого возбужденного состояния ротатора
Вычислить матричные элементы?
Вспомогательные формулы
2
0
0
e e e e
4
im i i in
mn
dE
V d
0
0
( ) cos e e
2
i i
dE
V dE
0
, 1 , 1
2
mn m n m n
dE
V
Нулевое приближение для первого возбужденного состояния ротатора (продолжение)
(0) (1)
11
(0) (1)
11
0
0
c E
c E
(1)
0E
Написать уравнение Шрёдингера для коэффициентов во втором порядке?
Надо знать коэффициенты разложения при индексах, отвечающих разным уровням?
(0) (2) (1)
,
l l l n nl
n l l
c E V c
Уравнение для коэффициентов, относящихся к l-ому уровню. Второй порядок
Уравнение для коэффициентов при индексах, отвечающих разным уровням
(1) (0) (0) (0)
nl l n nl l l
l
c E E V c
(0)
(1)
(0) (0)
nl l l
nl
l n
l n
V c
c
E E
или
Подставим в уравнение
(0) (2) (1)
,
l l l n nl
n l l
c E V c
(0) (2) (0)
(0) (0)
,
l n nl
l l l l
l n l l
l n
V V
c E c
E E
Уравнение Шрёдингера. Второе приближение (продолжение)
Найти матрицу
(0) (0)
,
l n nl
l l
n l l
l n
V V
A
E E
0
, 1 , 1
2
mn m n m n
dE
V
Полезные формулы
1 1 10 01
12 21
11
(0) (0) (0) (0) (0) (0)
,
1 1 0 1 2
n n
n l l
n
V V V V
V V
A
E E E E E E