2.4. Разложение сигналов по гармоническим функциям. Ряды Фурье.

Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Как уже было сказано выше, периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:

s(t) =S_n exp(jnt), S_n = S(n), 2/T, (1)

где весовые коэффициенты S_nряда определяются по формуле:

S_n = (1/T)s(t) exp(-jnt) dt. (2)

Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jnt)с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентовS(n) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду:= 2/Т(илиf =1/T). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную₁ = 1 = 2/T(илиf₁ =1/T), называютосновнойчастотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектраn₁ при n>1 называют гармониками сигнала. ЗначенияS(n)по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными.

С чисто математических позиций множество функций exp(jnt), -<n<образует бесконечномерный базис линейного пространстваL²[a,b] ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициентыS_nпо (2) представляют собой проекции сигналаs(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигналs(t) в форме ряда Фурье (1) – это бесконечномерный вектор в пространствеL²[a,b], точка с координатамиS_nпо базисным осям пространстваexp(jnt). Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (2) с использованием тождества Эйлера

exp(±jt) =cos(t) ±jsin(t)

можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:

S_n = (1/T)s(t) [cos(nt) - j sin(nt)] dt = А_n - jB_n. (3)

A_n ≡ A(n) = (1/T)s(t) cos(nt) dt, (4)

B_n ≡ B(n) = (1/T) s(t) sin(nt) dt. (5)

На рис. 4 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(n) = A(-n), так как при вычислении значений A(n) по формуле (4) используется четная косинусная функция cos(nt) = cos(-nt). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(n) = -B(-n), так как для ее вычисления по (5) используется нечетная синусная функция sin(nt) = - sin(-nt).

Рис. 4. Сигнал и его комплексный спектр.

Комплексные числа дискретной функции (3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплекс. экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:

S_n = R_n exp(j_n), (3')

R_n² ≡ R²(n) = A²(n)+B²(n),_n ≡ (n) = arctg(-B(n)/A(n)).

Рис. 5. Модуль и аргумент спектра.

Модуль спектра R(n) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ - сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов(n)) - двусторонним спектром фаз или ФЧХ. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(n) = R(-n), а спектр фаз нечетную:(n) = -(-n). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рис. 4, приведен на рис. 5. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее -происходит сброс значения -2).

Если функция s(t) является четной, то все значения B(n) по (5) равны нулю, т.к. четные функцииортогональнысинусным гармоникам и подынтегральное произведениеs(t)·sin(nt) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функцииs(t) обнуляются все значения коэффициентов А(n) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 6(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции, а на рис. 6(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.

Рис. 6. Ортогональность функций.

При n = 0 имеем В_о= 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

S₀ ≡ A_o ≡ R_o ≡ (1/T) s(t) dt.