Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ . Его общим решением является функция, т.е.

Частное решение уравнения можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения , методом вариации произвольных постоянных, состоящим в следующем. Пусть – общее решение уравнения .

Заменим в общем решении постоянные и неизвестными функциями и и подберем их так, чтобы функция была решением уравнения .

Найдем производную

Подберем функции и так,чтобы

Тогда ,

.

Подставляя выражение для , , в уравнение , получим:

+

,

или

+

Поскольку и – решения уравнения , то выражения в квадратных скобках равны 0, а потому .

Таким образом, функция будет частным решением уравнения , если функции и удовлетворяют системе уравнений и :

Определитель системы , так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений и уравнения . Поэтому система имеет единственное решение и , где и - некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим и , а затем по формуле составляем частное решение уравнения .