15_Poverkhnosti_vtorogo_poryadka
.doc.
Тогда в новой прямоугольной системе координат исследуемая поверхность имеет уравнение
(19) |
(более подробно переход от уравнения (1) к уравнению (19) будет обсуждаться при исследовании общего уравнение квадрики, см. §18).
А. Пусть все три числа отличны от нуля. Тогда по аналогии с предложением 1 из §14 можно построить преобразования переноса такие, что уравнение (19) примет вид
. |
(20) |
А.1. Пусть одинакового знака. Имеются три возможности.
А.1а. Если знак противоположен знаку , то уравнение (20) можно переписать в виде
(1) |
. |
Т.е. полученная поверхность является эллипсоидом.
А.1б. Если знак совпадает со знаком , то (20) принимает вид
(2) |
– |
– мнимый эллипсоид.
А.1в. Если , то (20) принимает вид
(3) |
. |
Этому уравнению удовлетворяет единственная точка, а именно нулевая точка .
А.2. Пусть два из чисел имеют один знак, а третье – противоположный им знак.
А.2а. Если , то умножая на и переставляя, если нужно, переменные, уравнение (20) можно привести к одному из следующих видов
(4) |
– |
– однополостный гиперболоид,
(5) |
– |
– двуполостный гиперболоид.
А.2б. Если , то (20) принимает вид:
(6) |
– |
– уравнение конуса.
Б. Пусть одно равно нулю. Будем считать, что . Тогда переносом по и уравнение (19) приводится к виду
. |
(21) |
Б.1. Если , то после переноса по из (21) получаем
.
Б.1а. Если и имеют одинаковый знак то (заменяя при необходимости на ) получаем
(7) |
– |
– эллиптический параболоид.
Б.1б. Если и – разных знаков, то получаем
(8) |
– |
– гиперболический параболоид.
Б.2. Если в (21) , то (21) является цилиндрической поверхностью и возможны следующие случаи.
Б.2а. имеют одинаковый знак, противоположный знаку :
(9) |
– |
– эллиптический цилиндр.
Б.2б. , имеют одинаковый знак:
(10) |
– |
– мнимый эллиптический цилиндр.
Б.2в. имеют одинаковый знак, :
(11) |
– |
– пара мнимых пересекающихся плоскостей.
Б.2г. и имеют различные знаки, :
(12) |
– |
– гиперболический цилиндр.
Б.2д. и имеют различные знаки, :
(13) |
– |
– две пересекающиеся плоскости.
В. Пусть , . Тогда уравнение (19) после переноса по принимает вид:
. |
(22) |
В.1. Пусть хотя бы одно из не равно нулю. Выполним поворот координатной системы вокруг оси на угол такой, что
,
где .
Тогда новые координаты связаны со старыми формулами
,
и уравнение (22) в новой системе координат принимает вид
.
Далее после переноса вдаль получаем уравнение вида
(14) |
– |
– параболический цилиндр.
В.2. Если , то уравнение (22) имеет вид
и возможны следующие три случая.
В.2а. :
(15) |
– |
– пара параллельных плоскостей.
В.2б. :
(16) |
– |
– пара мнимых параллельных плоскостей.
В.2в. :
(17) |
– |
– пара совпадающих плоскостей.